1、5.7正弦定理和余弦定理典例精析題型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，AB，BC1，cos C.(1)求sin A的值；(2)求的值.【解析】(1)由cos C得sin C.所以sin A.(2)由(1)知，cos A.所以cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C.所以··()11××cos B1.【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí)，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí).【變式訓(xùn)練1】在ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為，則C.【解析】Sabsin C.所以sin Ccos C.所以tan C1

2、，又C(0，)，所以C.題型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題【例2】設(shè)ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bc).【解析】(1)因?yàn)閟in2A(cos Bsin B)(cos Bsin B)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B，所以sin A±.又A為銳角，所以A.(2)由12可得cbcos A12.由(1)知A，所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcos A，將a2及代入得c2b252.×2，得(cb)2100，所以cb10

3、.來(lái)源:因此，c，b是一元二次方程t210t240的兩個(gè)根.又bc，所以b4，c6.來(lái)源:【點(diǎn)撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)算求解能力.【變式訓(xùn)練2】在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且滿足(2ac)cos B來(lái)源:bcos C.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面積.【解析】(1)在ABC中，由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，來(lái)源:代入(2ac)cos Bbcos C，整理得2sin Acos Bsin Bcos Csin Cc

4、os B，即2sin Acos Bsin(BC)sin A，在ABC中，sin A0,2cos B1，因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以B60°.(2)在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B，來(lái)源:將b，ac4代入整理，得ac3.故SABCacsin Bsin 60°.題型三正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例3】(2013陜西模擬)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的

5、C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】由題意知AB5(3)(海里)，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，所以ADB180°(45°30°)105°.在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里).又DBCDBAABC30°(90°60°)60°，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得來(lái)源:CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 2002×10×20

6、5;900，所以CD30(海里)，則需要的時(shí)間t1(小時(shí)).所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是：(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形；來(lái)源:(2)確定實(shí)際問(wèn)題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；(4)給出結(jié)論.【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東角，前進(jìn)m km后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).【解析】由題可知，在ABM中，根據(jù)正弦定理得，解得BM，要使船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90°)n.所以與的關(guān)系滿足mcos cos nsin()時(shí)，船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).總結(jié)提高1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角AB與sin Asin B是一種等價(jià)關(guān)系.2.在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化