1、淘寶店鋪：漫兮教育3.1導數的應用(一)典例精析題型一求函數f(x)的單調區間來源:來源:【例1】已知函數f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函數f(x)的單調區間.【解析】函數f(x)x2axaln(x1)的定義域是(1，).f(x)2xa，若a0，則1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0時，f(x)的增區間為(1，).若a0，則1，故當x(1，時，f(x)0；當x，)時，f(x)0，所以a0時，f(x)的減區間為(1，f(x)的增區間為，).【點撥】在定義域x1下，為了判定f(x)符號，必須討論實數與0及1的大小，分類討論是解本題的關鍵.【變式訓練1】已知函數f(x)x2ln x

2、ax在(0,1)上是增函數，求a的取值范圍.來源:數理化網【解析】因為f(x)2xa，f(x)在(0,1)上是增函數，所以2xa0在(0,1)上恒成立，即a2x恒成立.又2x2(當且僅當x時，取等號).所以a2，故a的取值范圍為(，2.來源:來源:【點撥】當f(x)在區間(a，b)上是增函數時f(x)0在(a，b)上恒成立；同樣，當函數f(x)在區間(a，b)上為減函數時f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要根據不等式恒成立的條件來求參數的取值范圍了.題型二求函數的極值【例2】已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x±1時取得極值，且f(1)1.(1)試求常數a，b，c的值；(2)

3、試判斷x±1是函數的極小值點還是極大值點，并說明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因為x±1是函數f(x)的極值點，所以x±1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的兩根.由根與系數的關系，得 又f(1)1，所以abc1. 由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，所以當f(x)x20時，有x1或x1；當f(x)x20時，有1x1.來源:所以函數f(x)x3x在(，1)和(1，)上是增函數，在(1,1)上是減函數.所以當x1時，函數取得極大值f(1)1；當x1時，函數取得極小值f(1)1.【點撥】求函數的極值應先求導數.對于多項式函數f(x)

4、來講， f(x)在點xx0處取極值的必要條件是f(x)0.但是， 當x0滿足f(x0)0時， f(x)在點xx0處卻未必取得極值，只有在x0的兩側f(x)的導數異號時，x0才是f(x)的極值點.并且如果f(x)在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f(x)的極大值點，f(x0)是極大值；如果f(x)在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值.來源:【變式訓練2】定義在R上的函數yf(x)，滿足f(3x)f(x)，(x)f(x)0，若x1x2，且x1x23，則有()A. f(x1)f(x2)B. f(x1)f(x2)C. f(x1)f(x2)D.不確定【解析】由f(

5、3x)f(x)可得f3(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以函數f(x)的圖象關于x對稱.又因為(x)f(x)0，所以當x時，函數f(x)單調遞減，當x時，函數f(x)單調遞增.當時，f(x1)f(x2)，因為x1x23，所以，相當于x1，x2的中點向右偏離對稱軸，所以f(x1)f(x2).故選B.題型三求函數的最值【例3】 求函數f(x)ln(1x)x2在區間0,2上的最大值和最小值.【解析】f(x)x，令x0，化簡為x2x20，解得x12或x21，其中x12舍去.來源:又由f(x)x0，且x0,2，得知函數f(x)的單調遞增區間是(0,1)，同理， 得知函數f(x)的單調遞減區間是(1,

6、2)，所以f(1)ln 2為函數f(x)的極大值.又因為f(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0為函數f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2為函數f(x)在0,2上的最大值.【點撥】求函數f(x)在某閉區間a，b上的最值，首先需求函數f(x)在開區間(a，b)內的極值，然后，將f(x)的各個極值與f(x)在閉區間上的端點的函數值f(a)、f(b)比較，才能得出函數f(x)在a，b上的最值.【變式訓練3】(2008江蘇)f(x)ax33x1對x1,1總有f(x)0成立，則a.【解析】若x0，則無論a為何值，f(x)0恒成立.當x(0,1時，f(x)0可以化為a，設g(x)，則g(x)，x(0，)時，g(x)0，x(，1時，g(x)0.因此g(x)maxg()4，所以a4.當x1,0)時，f(x)0可以化為a，此時g(x)0，g(x)ming(1)4，所以a4.綜上可知，a4.總結提高1.求函數單調區間的步驟是：(1)確定函數f(x)的定義域D；(2)求導數f(x)；(3)根據f(x)0，且xD，求得函數f(x)的單調遞增區間；根據f(x)0，且xD，求得函數f(x)的單調遞減區間.2.求函數極值的步驟是：(1)求導數f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)判斷f(x)在方程根左右的