1、第四章 幾何圖形初步基礎知識通關4.1 幾何圖形1.幾何圖形 ：長方體、圓柱、球、長（正）方形、圓、線段、點等，以及小學學習過的三角形、四邊形等，都是從形形色色的物體外形中得出的，它們都是幾何圖形. 2.立體圖形 ：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在內 ，它們是立體圖形 . 3.平面圖形 ：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長方形、圓等）的各部分都在內，它們是平面圖形 . 4.展開圖 ：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的, 將它們的表面適當剪開, 可以展開成 . 這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖. 5. 點、線、面、體：（1）體：長方體、正方體、圓柱、圓錐、

2、球、棱柱、棱錐幾何體.幾何體也簡稱體；（2）面：包圍著體的是面；（3）線：面和面相交的地方形成線；（4）點：線和線相交的地方是點. 4.2 直線、射線、線段6.兩點確定一條直線：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線. 簡單說成：. 7.交點 ：當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線，這個叫做它們的交點 . 8.尺規作圖 ：在數學中，我們常限定用和 作圖，這就是尺規作圖. 9.中點 ：點 m 把線段 ab 分成 的兩條線段am 與mb ，點 m 叫做線段 ab 的中點. 10.兩點的所有連線中，最短 . 簡單說成：兩點之間，線段最短. 11.距離 ：連接兩點間的，叫做這兩點的距離.

3、4.3 角12.角：角也是一種基本的幾何圖形. 13.度、分、秒 ：（1）把一個周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，記作；（2）把一度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，記作；（3）把 1 分的角 60 等分，每一份叫做1 秒的角，記作 . 14.角的平分線 ：一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個的角的射線，叫做這個角的平分線 . 15.余角 ：一般地，如果兩個角的和等于（直角），就說這兩個角互為余角. 16.補角 ：類似地，如果兩個角的和等于（平角），就說這兩個角互為補角. 17.余角的性質 ：同角（等角）的余角 . 18.補角的性質 ：同角（等角）的補角 . 19.角

4、的運算 ：如果一個角的度數是另兩個角的度數的和，那么這個角就叫做另兩個角的和；如果一個角的度數是另兩個角的度數的差，那么這個角就叫做另兩個角的差. 4.4 課題學習 - 設計制作長方體形狀的包裝紙盒單元檢測一選擇題（共 10 小題）1.某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖所示的是它的展開圖，那么在原正方體中，與“神“字所在面相對的面上的漢字是（）a認b眼c確d過2.下列幾何體中，其側面展開圖為扇形的是（）abc.d3.下列說法錯誤的個數為（）57.18 571048三條直線兩兩相交，有三個交點x0 是一元一次方程若線段 papb ，則點 p 是線段 ab 的中點連接兩點間的線段，叫做兩點間的距

5、離a1 個b2 個c3 個d4 個4在平面內有a 、 b、c、d 四點，過其中任意兩點畫直線，則最多可以畫（）a4 條b6 條c8 條d無數條5下列換算中，錯誤的是（）a0.25 900b16524 16.09 c47.28 471648d80.5 80506.已知互為補角的兩個角的差為 35 ，則較大的角是（）a107.5 b108.5 c97.5 d72.5 7.如圖，在 a 、b 兩處觀測到 c 處的方位角分別是（）a北偏東65，北偏西40b北偏東65，北偏西50c北偏東25，北偏西40d. 北偏東 35 ，北偏西 50 8.如圖， aob 130，射線 oc 是 aob 內部任意一條射

6、線， od 、oe 分別是 aoc 、 boc 的角平分線，下列敘述正確的是（）a .doe 的度數不能確定b .aod eoc c aod+ boe 65d boe 2cod 9.將長方形紙片按如圖所示的方式折疊，bc 、 bd 為折痕，若abc 35，則 dbe 的度數為（）a55b50c45d6010.在圖所示的44 的方格表中，記abd ， def ， cgh ，則（）ab.c.d二填空題（共 10 小題）11.下面的幾何體中，屬于柱體的有個12.已知角 a 的余角比它的補角的還少 10，則 a13已知： a 的余角是 52 38 ，則 a 的補角是14 計 算 ： 4859+6731

7、 211215.如圖所示，在一條筆直公路 l 的兩側 , 分別有 a、b 兩個小區 , 為了方便居民出行 ,現要在公路 l 上建一個公共自行車存放點, 使存放點到 a、b 小區的距離之和最小 ,你認為存放點應該建在處（填“ c”“ e”或“ d ” ） ，理由是16.已知，在直線 ab 上有一點 c，bc 3cm ，ab 8cm，m 為線段 ab 的中點， n 為線段 bc 的中點，則 mn 17.如圖， aob 140，如果點 a 在點 o 的北偏東 20 ，那么點 b 在點 o 的南偏西第 17 題 圖 第 18 題 圖18如圖， aod 135， aoc 75， dob 105，則 bo

8、c 19.正方體切去一個塊，可得到如圖幾何體，這個幾何體有條棱20.已知 a、b、c 三點都在直線 l 上，ac 與 bc 的長度之比為 2 ：3， d 是 ab 的中點若 ac 4cm ，則 cd 的 長 為cm三解答題（共 5 小題）21.如圖， b 、 c 兩點把線段 mn 分成三部分，其比為 mb：bc ：cn 2：3：4，點 p 是 mn 的中點， pc 2cm ，求 mn 的長22.如圖，已知od 平分 aob ，oe 在 boc 內，且 boe eoc ， aoc 170（1）若知 aob 70，求 eoc 的度數；（2）若知 doe 70，求 eoc 的度數23.如圖，已知四點

9、a 、b、c、d，請用尺規作圖完成（保留畫圖痕跡）（1）畫直線 ab；（2）畫射線 ac；（3）連接 bc 并延長 bc 到 e，使得 ceab+bc ；（4）在線段 bd 上取點 p，使 pa+pc 的值最小24.已知線段 ab m （m 為常數），點 c 為直線 ab 上一點，點p、q 分別在線段bc 、ac 上，且滿足cq 2aq ，cp 2bp （1）如圖，當點c 恰好在線段ab 中點時，則pq （用含 m 的代數式表示） ；（2）若點 c 為直線 ab 上任一點，則 pq 長度是否為常數？若是，請求出這個常數；若不是，請說明理由；（3）若點 c 在點 a 左側，同時點p 在線段 ab

10、 上（不與端點重合） ，請判斷2ap+cq 2pq 與 1 的大小關系，并說明理由25.如圖 1 ，將一副直角三角尺的頂點疊一起放在點 a 處， bac 60， dae 45，保持三角尺 abc 不動，三角尺 aed 繞點 a 順時針旋轉，旋轉角度小于 180（1）如圖 2 ，ad 是eac 的角平分線，直接寫出dab 的度數；（2）在旋轉的過程中，當eab 和dac 互余時，求 bad 的值四、附加題26.如果兩個銳角的和等于 90 ，就稱這兩個角互為余角類似可以定義：如果兩個角的差的絕對值等于 90 ，就可以稱這兩個角互為垂角，例如：l 120， 230， | 1 2| 90，則 1 和

11、2 互為垂角（本題中所有角都是指大于0且小于180的角）（1）如圖， o 為直線 ab 上一點， oc 丄 ab 于點 o，oe od 于點 o，請寫出圖中所有互為垂角的角有；（2）如果有一個角的垂角等于這個角的補角的，求這個角的度數27 p 是線段 ab 上一點， ab 12cm，c，d 兩點分別從 p，b 同時向 a 點運動，且 c 點的運動速度為2cm/s，d 點的運動速度為 3cm/s ，運動的時間為 ts （1）如圖若 ap8cm ，運動 1s 后，求 cd 的長；當 d 在線段 pb 上運動時，試說明線段 ac 和線段 cd 的數量關系；（2）如果 t 2 時，cd 1.5cm，試

12、探索 ap 的值2.同一平面3.同一平面4.平面圖形6. 兩點確定一條直線7. 相交，公共點8. 無刻度的直尺，圓規9. 相等10. 線段11. 線段的長度13.1 ， 1，114. 相等15.90 16.180 17. 相等18. 相等一選擇題（共 10 小題）基礎知識通關答案單元檢測答案1 .【分析】 正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特點作答【解答】 解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“神”與“確”是相對面故選： c【知識點】 2,4 2 .【分析】 根據特殊幾何體的展開圖，可得答案【解答】 解： a、圓柱的側面展開圖是矩形，故 a 錯誤；

13、b、三棱柱的側面展開圖是矩形，故 b 錯誤；c、圓錐的側面展開圖是扇形，故 c 正確；d、三棱錐的側面展開圖是三角形，故 d 錯誤故選： c 【知識點】 2,4 3 .【分析】 依據度分秒的換算，相交線，一元一次方程的定義，線段的中點的定義、兩點間的距離的概念進行判斷即可【解答】 解： 57.18 571048，正確；三條直線兩兩相交，有一個或三個交點，錯誤； x0 是一元一次方程，正確；若線段 papb ，則點 p 不一定是線段 ab 的中點，錯誤；連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離，錯誤故選： c 【知識點】 7,9,11,13 4 .【分析】 沒有明確平面上四點是否在同一直線上，需

14、要運用分類討論思想. 分四點在同一直線上，當三點在同一直線上，另一點不在這條直線上，當沒有三點共線時三種情況討論即可【解答】 解：分三種情況：1、四點在同一直線上時，只可畫 1 條；2、當三點在同一直線上，另一點不在這條直線上，可畫 4 條；3、當沒有三點共線時，可畫 6 條所以最多可以畫 6 條故選： b 【知識點】 6,7 5 .【分析】 直接利用度分秒轉換法則分別計算得出答案【解答】 解： a、0.25 15 900，正確，不合題意；b、16 524 165.4 16.09 ，正確，不合題意；c、47.28 47 1648，正確，不合題意；d、80.5 8030，錯誤，符合題意故選：d【

15、知識點】 136 .【分析】 設較大的角為 x ，根據互為補角的兩個角的和等于 180 表示出較小的角，然后列出方程求解即可【解答】 解：設較大的角為 x ，則較小的角為 180 x 根據題意得， x（ 180 x） 35解得 x 107.5 故選： a【知識點】 16 7 .【分析】 根據方向角的定義即可判斷【解答】 解： a 處觀測到的 c 處的方向角是：北偏東 65 b 處觀測到的 c 處的方向角是：北偏西 50 故選： b【知識點】 12,13 8 .【分析】 依據 od 、oe 分別是 aoc 、 boc 的平分線，即可得出 aod+ boe eoc+ cod doe 65，結合選項

16、得出正確結論【解答】 解： od 、oe 分別是 aoc 、 boc 的平分線 aod cod ， eoc boe 又 aod+ boe+ eoc+ cod aob 130 aod+ boe eoc+ cod doe 65故選： c【知識點】 14 9 .【分析】 將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，bc，bd 為折痕，則 cbd 的度數為 90 ，然后根據平角的定義即可得到結論【解答】 解：一張長方形紙片沿 bc、bd 折疊 abc a bc， ebd e bd 而 abc+ abc+ ebd+ ebd 180 abc+ ebd 18090即 abc+ dbe 90 abc 35 dbe

17、55故選： a【知識點】 16 1 0 .【分析】 根據題意和圖得出：dgc dcg 45 ,hgf ghf 45, 再根據 dgc+ hgf+ 180，從而得出 90，然后結合圖觀察出 90， 90，最后比較大小即可【解答】 解：由題意知：dgc dcg 45同理 hgf ghf 45又 dgc+ hgf+ 180 90由圖可知 90， 90故選： b【知識點】 16 二填空題（共 10 小題）1 .【分析】 解這類題首先要明確柱體，椎體、球體的概念，然后根據圖示進行解答【解答】 解：柱體分為圓柱和棱柱，所以柱體有第一個圖形正方體、第三個圖形圓柱、第五個圖形六棱柱，第六個圖形三棱柱共 4 個

18、故答案為： 4【知識點】 2 1 2 .【分析】 根據題意和余角、補角的概念列出方程，解方程即可【解答】 解：設 a=a 由題意得 90 a（180 a） 10，解得 a60 故答案為： 60【知識點】 15,16 1 3 .【分析】 根據一個角的補角比它的余角多 90 求解即可【解答】 解： a 的余角為： 90 a，的補角為： 180 a a 的補角比 a 的余角大 90 a 的補角為： 5238+90 14238故答案為： 14238【知識點】 15,16 1 4 .【分析】 根據度分秒加減法計算法則進行解答【解答】 解： 48 59+6731 2112 11630 2112 9518

19、故答案為： 9518【知識點】 13 1 5 .【分析】 根據兩點之間線段最短可得公共自行車存放點的位置是 e 處【解答】 解：公共自行車存放點應該建在 b 處，理由是兩點之間線段最短 故答案為： e，兩點之間線段最短【知識點】 10 1 6 .【分析】 根據中點的定義，可分別求出 am、bn 的長度，點 c 存在兩種情況，一種在線段 ab 上， 一種在線段 ab 外，分類討論，即可得出結論【解答】 解：依題意可知，c 點存在兩種情況，一種在線段 ab 上，一種在線段 ab 外 c 點在線段 ab 上，如圖 1 ：點 m 是線段 ab 的中點，點 n 是線段 bc 的中點，am 4cm ，bn

20、 1.5cm， mn ab am bn 41.5 2.5cm； c 點在線段 ab 外，如圖 2 ：點 m 是線段 ab 的中點，點 n 是線段 bc 的中點am 4cm ，bn 1.5cm mn ab am+bn 84+1.5 5.5cm 綜上得 mn 得長為 2.5cm 或 5.5cm 故答案為： 2.5cm 或 5.5cm 【知識點】 9 1 7 .【分析】 結合圖形，然后求出 ob 與西方的夾角的度數，即可得解【解答】 解：如圖，根據題意得，aoc 20， cod 90 bod aob aoc cod 30點 b 在點 o 的南偏西 60故答案為： 60 【知識點】 15,19 1 8

21、 .【分析】 根據圖中角與角之間的關系即可求出答案【解答】 解： aod 135， dob 105 aob aod dob 135 105 30 aoc 75 boc aoc aob 75 30 45故答案為： 45【知識點】 19 1 9 .【分析】 通過觀察圖形即可得到答案【解答】 如圖，把正方體截去一個角后得到的幾何體有 12 條棱故答案為： 12【知識點】 2,5 2 0 .【分析】 抓住 a、b、c 三點都在直線 l 上，沒有給順序也沒有給圖，基本確定題目多解；確定兩條線段： ac 4，bc 6，畫出圖，根據題中的中點條件和和差關系即可解決問題【解答】 解： ac 與 bc 的長度之

22、比為 2 ：3，ac 4 bc 6 如圖， c 在 ab 之間時， ab ac+bc 10 d 是 ab 的中點， ad db 5 cd ad ac 541 如圖， c 在 ab 外面時， ab bcac 2 d 是 ab 的中點， ad db 1 cd ad+ac 1+4 5 故答案： 1 或 5 【知識點】 9 三解答題（共 5 小題）2 1 .【分析】 根據比例設 mb2x， bc 3x，cn 4x，然后表示出 mn，再根據線段中點的定義表示出pn ，再根據 pcpncn 列方程求出 x ，從而得解【解答】 解： mb ：bc ：cn 2：3：4 設 mb2xcm，bc 3xcm， cn

23、 4xcm mn mb+bc+cn2x+3x+4x9xcm 點 p 是 mn 的中點pn mn xcm pc pn cn 即x4x2 解得 x 4 所以， mn 9436cm【知識點】 9,11 2 .【分析】（1）可以設 boe 為 x，根據條件列方程解決，求出boe ；（2）設 boe a，則 eco 3a，根據條件列方程解決，求出boe 【解答】 解： aoc 170， aob 70 boc 100設 boe x，則 eco 3x boc boe+ eoc x+3x100 x25 eoc 25（2）設 boe a，則 eco 3a doe 70， od 平分 aob aod bod do

24、e- boe 70 a aoc 2aod+ boe+ eoc 2（ 70 a）+a+3a170a15 eoc 3a45【知識點】 14,19 2 3 .【分析】 根據直線、射線、線段的概念、兩點之間，線段最短畫圖即可【解答】 解：如圖所畫：【知識點】 8,10 2 4 .【分析】（ 1）根據已知ab m （m 為常數），cq 2aq ，cp 2bp ，以及線段的中點的定義解答；（2）根據已知 ab m （m 為常數），cq 2aq ，cp 2bp ；（3）根據題意，畫出圖形，求得 2ap+cq 2pq 0，即可得出 2ap+cq 2pq 與 1 的大小關系【解答】 解 ：（1） cq 2aq

25、，cp 2bp cq ac ，cp bc 點 c 恰好在線段 ab 中點ac bc ab ab m （m 為常數）pq cq+cp ac+ bc ab+ ab ab m；故答案為：m ；（2）cq 2aq ，cp 2bp cq ac ，cp bc ab m （m 為常數）pq cq+cp ac+ bc （ ac+bc ）ab m；故 pq 是一個常數，即是常數m ；（3）如圖：cq 2aq ，2ap+cq 2pq 2ap+cq 2（ap+aq ）2ap+cq 2ap 2aq cq 2aq 2aq 2aq 0 2ap+cq 2pq 1【知識點】 9,11 2 5 .【分析】（1）依據 ad 是e

26、ac 的角平分線，即可得出dae cad 45，再根據 bac 60，即可得到 dab 的度數；（ 2）分兩種情況討論，設bad ，依據eab 和 dac 互余，列方程求解即可【解答】 解 ：（1）如圖 2， ad 是 eac 的角平分線 dae cad 45 bac 60 dab 60 45 15；（2）分兩種情況討論：如圖，當eab 和 dac 互余時，設bad 則 bae 45， cad 60 45 +60 90解得 7.5 ；如圖，當eab 和 dac 互余時，設bad 則 bae 45， cad 60 45+ 60 90解得 97.5 ；綜上所述，當eab 和 dac 互余時， bad 的值為 7.5 或 97.5 【知識點】 14,