1、專題11 解三角形 命題規律內 容典 型已知三角形中的邊角求其余邊角或面積2020年高考全國卷理數7利用正余弦定理解平面圖形2018年高考全國理數已知三角形的邊角關系或三角形的面積解三角形2018年高考全國理數以解答題形式考查利用正余弦定理解決三角形問題2019年高考全國卷理數正弦定理、余弦定理在實際問題中的應用2020年高考山東卷15命題規律一 已知三角形中的邊角求其余邊角或面積【解決之道】畫出對應于的圖形，標出已知條件，分析已知與未知，選擇合適的正弦定理或余弦定理或面積公式，計算出需要計算得量.【三年高考】1.【2020年高考全國卷理數7】在中，則（ ）A B C D【答案】A【解析】在中

2、，根據余弦定理：，可得 ，即，故，故選A2.【2018年高考全國理數】在中，則（ ）ABC D【答案】A【解析】因為所以，故選A.3.【2019年高考全國卷理數】的內角的對邊分別為.若，則的面積為_【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，4.【2018年高考浙江卷】在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若，b=2，A=60°，則sin B=_，c=_【答案】，3【解析】由正弦定理得，所以由余弦定理得（負值舍去）.命題規律二 利用正余弦定理解平面圖形【解決之道】求解平面圖形中的計算問題，關鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數據化歸到三角形中，利用正弦定理

3、或余弦定理建立已知和所求的關系具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯系，交叉使用公共條件，求出結果【三年高考】1.【2019年高考浙江卷】在中，點在線段上，若，則_，_【答案】，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而，所以.2.【2018年高考全國理數】在平面四邊形中，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由題設知，所以.由題設知，所以.（2）由題設及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.命題規律三已知三角形的邊角關系或面積解三角形【解決之道】解決此類問

4、題，若已知三角形面積，利用面積公式化為關于邊角的方程式，若已知邊角關系，可以利用正弦定理或余弦定理將給出的邊角關系化為純邊或純角關系，通過解方程求出邊或角.【三年高考】1.【2018年高考全國理數】的內角的對邊分別為，若的面積為，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由題可知，所以，由余弦定理，得，因為，所以，故選C.命題規律四以解答題形式考查利用正余弦定理解決三角形問題【解決之道】畫出對應于的圖形，標出已知條件，分析已知與未知，若已知邊角關系，利用正弦定理或余弦定理將其化為純邊或純角的條件，通過解方程解出邊或角，涉及到面積，利用面積公式轉化條件或計算面積，遇到周長或面積問題的最值（范圍）問題，通

5、常利用正弦定理或余弦定理化為某個角或邊的函數問題，利用三角函數或解不等式求解，注意角或邊的范圍.【三年高考】1.【2019年高考全國卷理數】的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設（1）求A；（2）若，求sinC【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得因為，所以（2）由（1）知，由題設及正弦定理得，即，可得由于，所以，故2.【2019年高考全國卷理數】ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求B；（2）若ABC為銳角三角形，且c=1，求ABC面積的取值范圍【解析】（1）由題設及正弦定理得因為sinA0，所以由，可得，故因為，故，因此B=60°（2）由題設及

6、（1）知ABC的面積由正弦定理得由于ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，從而因此，ABC面積的取值范圍是3.【2019年高考北京卷理數】在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（1）求b，c的值；（2）求sin（BC）的值【解析】（1）由余弦定理，得.因為，所以.解得.所以.（2）由得.由正弦定理得.在中，B是鈍角，所以C為銳角.所以.所以.4.【2019年高考天津卷理數】在中，內角所對的邊分別為已知，（1）求的

7、值；（2）求的值【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即又因為，得到，由余弦定理可得（2）由（1）可得，從而，故5.【2019年高考江蘇卷】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【解析】（1）因為，由余弦定理，得，即.所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.6.【2018年高考天津卷理數】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）設a=2，c=3，求b和的值.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因為，可得B=（2）在

8、ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因為a<c，故因此， 所以， 7.【2018年高考北京卷理數】在ABC中，a=7，b=8，cosB=（1）求A；（2）求AC邊上的高【答案】（1）；（2）【解析】（1）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得=，sinA=B（，），A（0，），A=（2）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如圖所示，在ABC中，sinC=，h=，AC邊上的高為命題規律五 正弦定理、余弦定理在實際問題中的應用【解決之道】認真閱讀題，畫出圖形，標出圖中的已知與未知，分析已知與未知之間的聯系，選

9、擇正弦定理或余弦定理或相關知識求解.【三年高考】1.【2020年高考北京卷10】2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（ Day）歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似，數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數充分大時，計算單位圓的內接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術平均數作為的近似值按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達方式是（ ）A BC D 【答案】A【解析】當時，設圓半徑為，內接正六邊形邊長為，則，設外切正六邊形邊長為，則，當時，又，2.【2020年高考山東卷15】某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的

10、界面如圖所示為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，是圓弧與直線的切點，是圓弧與直線的切點， 四邊形為矩形，垂足為，到直線和的距離均為，圓孔半徑為，則圖中陰影部分的面積為 【答案】【解析】過作交于，交于，過作交于，設，由已知可得，又，解得扇形面積，設圓孔的半徑為，則半圓孔的面積為，則，陰影部分面積為，面積為3.【2019年高考江蘇卷】如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）規劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA規劃要求：線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足

11、），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）在規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離【答案】（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.'因為PBAB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規劃要求.若Q

12、在D處，連結AD，由（1）知，從而，所以BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；當OBP90°時，對線段PB上任意一點F，OFOB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規劃要求.設為l上一點，且，由（1）知，B=15，此時；當OBP>90°時，在中，.由上可知，d15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA15，點Q只有位于點C的右側，才能

13、符合規劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當PBAB，點Q位于點C右側，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OHl，垂足為H.以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（4，3），直線AB的斜率為.因為PBAB，所以直線PB的斜率為，直線PB的

14、方程為.所以P（13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）若P在D處，取線段BD上一點E（4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規劃要求.若Q在D處，連結AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因為，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規劃要求；當OBP90°時，對線段PB上任意一點F，OFOB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規劃要