1、一元二次方程的解集及其根與系數的關系【學習目標】(1) 從函數觀點看一元二次方程.(2) 會結合一元二次函數的圖像，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數，了解 函數的零點與方程根的關系.【學習重難點】一元二次方程的解集及其根與系數的關系【學習過程】、知識點一：b2 4ac ()的取值與根的個數間的關系b2 4ac ( )根的情況b2 4ac>0方程ax2 + bx + c = 0 ( aK)有兩個不相等的實數根，即b Jb2 4acb Jb2 4ac馮，X212a22ab2 4ac= 0方程ax2 + bx+ c 0 (a)有兩個相等的實數根，即X1 X2 b石b2 4ac<0

2、方程ax2 + bx+ c 0 (a)無實數根、知識點二：一元二次方程根與系數的關系,、十_ca一一bc若 xi, X2是一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0 (a0 的兩個根，貝U xi + X2= , xiX2=；.aa應用一元二次方程的根與系數的關系時，常有以下變形：(1 ) x2+ x2=( x2 + 2xiX2 + x2) 2X1X2 =(xi + x2)2 2X1X2；(2) (X1X2) 2=( X1 + X2) 24X1X2；(3)|X1 -X2|X1X2 X1X2 $4X1X2(4)11x1x2X1X2X-!X2(5)X2X1X2X2x1 xf 2x1x2XX2x1x2

3、X1X2基礎自測:1. 方程X2 2 3kx + 3k2 = 0的根的情況是（）A .有一個實數根B. 有兩個不相等的實數根C. 有兩個相等的實數根D. 沒有實數根解析：=( 2 3k) 2 12k2 = 12k2 12k2 = 0.答案：C2. 已知X1, X2是關于x的方程x2+ bx 3 = 0的兩根，且滿足X1 + X2 3x1X2 = 5,那么b 的值為（）A. 4B. 4C. 3D. 3解析：由題知 X1+ X2= b, X1X2= 3, 則 X1 + X2 3x1X2= b 3X( 3)= 5, 解得b = 4.答案：A3. 若代數式x2 6x+ 5的值是12,則x的值為()A.

4、 7或1B. 1 或一5C. 1 或5D. 不能確定解析：由題意得 x2 6x+ 5= 12, x2 6x + 5 12= 0,x6土:三6+ 282解得 X1 = 1, X2 = 7 .故選 A .答案：A4. 已知一元二次方程x2 2x 1 = 0的兩根分別為X1, X2,則 =.X1 x2解析：因為X1 , X2是方程x2 2x 1= 0的兩個根, 所以 Xl + X2= 2, X1X2= 1 , 所以丄丄=22 .X1 x2 X1X2答案：2題型一：方程根個數的判斷及應用例1：若關于X的不等式X - 1的解集為x<1，試判斷關于X的一元二次方程X2+ ax + 12=0的根的情況

5、.解析：解不解式Xa1，得x<1 + a，而不等式X -1的解集為x<1，所以1 + -= 1,2 2 2 2解得a = 0，所以一元二次方程的根的判別式 = a2 4= 4<0，所以關于x的一元二次方程x2 + ax + 1 = 0沒有實數根.先求出a再判斷根的個數狀元隨筆| (1)解一元一次不等式，利用解集求 a.(2) = a2 4,利用 >0 = 0， <0的情況討論根的情況. 方法歸納：對于一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0 (a0，有(1)當 >0時，方程有兩個不相等的實數根X1,b Vb24acX2 =2a(2)當= 0時，方程有兩個相

6、等的實數根X1 = X2 =b2a；(3) 當 <0時，方程沒有實數根.跟蹤訓練1:已知關于x的一元二次方程3x2 2x+ k= 0，根據下列條件，分別求出k的范圍.(1) 方程有兩個不相等的實數根；(2) 方程有兩個相等的實數根.解析：=( 2) 24X 3= 4 (1 3k).(1)因為方程有兩個不相等的實數根,所以 >0 即 4 (1 3k) >0,1所以k<§.(2)因為方程有兩個相等的實數根,所以= 0,即 4 (1 3k)= 0,1所以k = 3題型二：直接應用根與系數的關系進行計算例2:已知一元二次方程2x2 + 3x 4 = 0的兩根為xi與X

7、2，求下列各式的值:(1) |X1 X2|.解析：由一元二次方程根與系數的關系，得3X1+X2= 2，X1X2= 2.(1)因為3414，所以|X1 X2 |=x1 x2412(X1 X2)2=( X1 + X2)2 4X1X2= 2 2 4X( 2)9 / 9三、教材反思在求含有一元二次方程兩根的代數式的值時，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、 化繁為簡的作用.在計算時，要先根據原方程求出兩根之和與兩根之積， 再將代數式變形為局 部含有兩根之和與兩根之積的形式，然后代入求值.跟蹤訓練2:已知一元二次方程X2+ 3x 1 = 0的兩根分別是X1，X2，請利用根與系數的關 系求：(1)丄丄X

8、1 X2解析：根據一兀二次方程根與系數的關系，得 X1 + X2= 3， X1X2= 1 .(1)X2X1X2X1X2題型三：應用根與系數的關系求字母系數的值或范圍1例3:已知關于x的方程x2(k + 1) x+4k2 + 1= 0,根據下列條件，求出k的值.(1) 方程兩實根的積為5;(2) 方程的兩實根X1，X2，滿足|X1|= X2.解析：= ( k + 1) 2 4X 1k2 1 = 2k 3，4A>, k 弓.1(1) 設方程的兩個根為 X1, X2, X1X2= 4k2+ 1= 5,k2= 16, k = 4或 k= 4 (舍).3(2) 若 X1 >(0 則 X1 =

9、 X2, A= 0, k= 2°5255方程為 X2 X + 16= 0, X1 = X2= 4>0 滿足.若 X1<0,則 X1 + X2 = 0, 即卩 k+ 1 = 0, k= 1.5方程為X2+ 5= 0而方程無解，3所以k 1,所以k= 2方法歸納：利用一元二次方程根與系數的關系求待定字母的值時，務必注意根與系數的關系的應用前 提條件，即AMO跟蹤訓練3:(1) 關于X的方程x2( m+ 6) X + m2= 0有兩個相等的實數根，且滿足 X1 + X2= X1X2,則m的值是()A. 2 或 3B. 3C. 2D. 3 或 2(2) 已知：方程2x2( k+

10、1) x + k + 3= 0的兩根之差為1,則k的值為.解析：(1)： X1+X2= m + 6, X1X2= m2, X1 + X2 = X1X2, m+ 6= m2,解得m = 3或m= 2.方程x2( m + 6) x + m2 = 0有兩個相等的實數根， A= b2 4ac= ( m + 6) 2 4m2 = 3m2+ 12m+ 36 = 0,解得m = 6或m= 2.- m = 2.k 1X1 X2(2)設X1, X2為方程的兩個根，則2 ,X1X2k 3k+ 1|xi X2|= 1, 2 2 ( k+ 3)= 1, k = 9 或 k = 3.檢驗當k = 9或k= 3時，40立

11、.答案：(1) C(2) 3 或 9四、課時作業(一) 選擇題1 .已知關于x的一元二次方程3x2 + 4x 5= 0,下列說法正確的是()A .方程有兩個相等的實數根B. 方程有兩個不相等的實數根C. 方程沒有實數根D. 方程的根的情況無法確定解析：= 42 4X 3X( 5)= 76>0,方程有兩個不相等的實數根.故選 B .答案：B2. 若關于x的一元二次方程x2 + 2 (m 1) x + m2 = 0的兩個實數根分別為X1, X2,且X1+ X2>0, X1X2>0，則m的取值范圍是()八1A. m<21 口B. m<2且 m0C. m<1D. m

12、<1 且 m01解析： = 2 ( m 1) 2 4m2= 8m + 4>Q mc,X1 + x2= 2 (m 1) >0, X1X2= m >0,二 m<1, m0.1綜上，m<2且m0.故選B.答案：B3. 關于x的一元二次方程x2+( a2 2a) x + a 1 = 0的兩個實數根互為相反數，則 a的 值為()A. 2B . 0D. 2 或 0解析：根據根與系數的關系，得一(a2 2a)= 0,解得ai = 0, a2 = 2,v當a= 2時，原 方程為x2 + 1 = 0,無解，二a = 0.答案：B4. 若關于x的一元二次方程x2+ 2 (k 1

13、) x + k2 1 = 0有實數根，則k的取值范圍是 ( )A. k >1B. k>1C. k<1D. k<1解析：關于x的一元二次方程x2 + 2 (k 1) x + k2 1 = 0,有實數根， = b24ac= 4 (k 1) 2 4 (k2 1)= 8k + 8>0 解得 k<1 故選 D. 答案：D(二) 填空題5. 已知代數式7x (x + 5)+ 10與代數式9x 9的值互為相反數，則x=.解析：根據題意，得7x (x+ 5)+ 10+ 9x 9= 0, 整理得 7x2 + 44x+ 1 = 0,v a= 7, b = 44, c= 1 ,

14、= 442 28= 1908,44 ±1 908 22±353 x =14=7.答案:22±3 5376. 已知X1, X2是關于x的一元二次方程x2 5x + a = 0的兩個實數根，且xj x2 = 10,則a =.解析：由題知：x1 + X2 = 5, X1X2= a. 因為 xj X； =( X1 + X2) (X1 X2)= 10,所以 X1 X2= 2,所以(X1X2) 2=( X1 + X2) 24x1X2= 25 4a = 4,21所以a=.21答案：217. 關于x的一元二次方程(m 5)x2 + 2x+ 2 = 0有實數根，則m的最大整數值是

15、. 解析：關于x的一元二次方程(m 5) x2 + 2x + 2= 0有實數根，= 4 8(m 5) >0,且m 5工0解得m<5.5，且m5, m的最大整數值是 4.答案：4(三) 解答題8. 解下列方程：(1) x2= 2 5x 2;(2) (3x+ 2) (x + 3)= x + 14.解析：(1)整理成一般式，得x2 2 5x + 2 = 0,a= 1, b= 2 5, c= 2, = 20 4X 1 x= 12>0,則 X1=：.j5+ 3, X2= ；.；5 3.(2)方程整理得 3x2 + 10x 8 = 0,t a= 3, b= 10, c= 8,2 = 10

16、0+ 96= 196,二 X1 = 3, X2= 4.9. 若關于x的方程x2+ 2x m+ 1 = 0沒有實數根，試說明關于X的方程X2 + mx + 12m= 1 一定有實數根.解析：方程X2+ 2x m+ 1 = 0沒有實數根，此方程的判別式 = 224X1X( m+ 1) <0,解得m<0.而方程 X2+ mx+ 12m= 1 的根的判別式 = ? 4X 1( 12m 1)= m248m + 4,/ mv0,.°. m2>0, 48m>0.°. m2 48m+ 4>0,即' >0方程x2+ mx+ 12m= 1有兩個不等的實數根，即一定有實數根.尖子生題庫：10. 已知關于x的一元二次方程x2( 2k 1) x + k2 + k 1 = 0有實數根.(1) 求k的取值范圍；(2) 若此方程的兩個實數根X1, X2滿足X12 X；