1、有關正態分布的研究課題纟r成員：施雷特朱博言、董聽航、孫譚霖、施雷特、孫昊指導教師：黎寧一、任務分工：朱博言、董聽航：繪制調查問卷，收集實際數據。孫譚霖：搜集并提供學習資料。施雷特、孫吳：對收集來的數據進行編輯、整理。全體組員在數據收集完成后分析數據，總結評價，共同撰寫結題報告。二、研究的背景、意義與目標：1. 背景通過我們對止態分布的初步認識，得知止態分布在生活生產、科技實 驗中具有很強的應用價值。例如通過零件尺寸的正態分布曲線，我們可以 評價工廠的生產水平；通過身高、體重的正態分布曲線，我們能得知某地 區青少年身體的發育狀況生產中，電了管的使用壽命、電容器的電容 量、零件的尺寸、鐵水的含鉛

2、量、纖維的纖度等服從正態分布；在生物學 中，同意群體的某種特征、在一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位 面積產量等，一般也服從止態分布；在氣象中，某地每年七月份的平均氣 溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位，也都近似服從正態分布。2. 意義我們希望通過進行此課題的研究，能夠提升我們以數學的思想解決實 際問題的能力，以及提高數學思維能力。同時我們可以以一種理性的思維 分析生產、生活以及科學中的一些規律與現象，為今后的學習打下一個良 好的基礎。我們也希望在探究學習的過程中，學會與人合作，學會獨立思考，學 會自主學習，培養嚴謹執著的科學精神，體會數學在自然中的應用影響、 數學的發展對人類生活的影

3、響，從而感悟科學中的美，培養學習興趣。我們知道，著名數學家高斯正是因為他細心留意生活與自然中的現象, 才總結出正態分布曲線的解析式。我想，z所以能他成為一名偉大的數學 家，其原因也盡在于此吧！善于思考、善于發現和解決問題，這是每一位 科學家所具備的品質，也是我們希望通過研究性學習所擁有的品質。3. 研究的口標：（1）通過自主學習與研究，了解正態分布的有關概念與意義，旨在拓展 課外知識與培養自主學習的能力。（2）當制定調查表、搜集數據后，學會用excel等軟件對數據進行統計 分析，體會數學理論在生活中有很強的應用性。（3）在進行研究性學習的過程屮，發展同學們z間的友誼與團結協作的 精神，為日后的

4、進一步學習打卜良好基礎。三、研究的過程：簡述課題與開題報告（2課時）組員利用課上和課余時間合作學習有關概率與正態分布的基本知識,并有所感悟與延伸。（9課時）在高一年級內及校外搜集數據。如調查學生的視力、身高、體重、生物學約品等生活實例。（3課時） 辱對數據進行列表，畫出頻率分布直方圖。同時利用計算器作出曲線圖 象。在這個過程中，我們耍學會如何處理數據，并培養嚴謹執著的科學精神。（5課時）組員共同分析并驗證止態分布曲線，體會數學規律的和諧統一性，獲 得對數學研究的快樂。（9課時）整理數據、撰寫結題報告。（4課時）四、研究的結果；（一）、正態分布的理論分析：1、概率密度曲線若數據無限增多ii組距無

5、限縮小，那么頻率分布直方圖的頂邊縮小乃 至形成一條光滑的曲線，我們稱此曲線為概率密度曲線.概率密度曲線的形狀特征：“中間高，兩頭低，左右對稱”2、正態分布與密度曲線瀕率總休在(a,b)內取值的概率上圖中概率密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像這種類型的 概率密度曲線，叫做“正態密度曲線”，它的函數表達式是1p(x) =e 2c e r冷2兀o式中的實數卩、。(。0, h £ r)是參數，分別表示總體的平均 數與標準差.不同的u , o對應著不同的正態密度曲線。3、止態密度曲線的圖像特征(1) 曲線在x軸上方，當x二u時，函數值為最大。1(2) p的值域為髙。(3) 戶(兀)的圖像

6、關于x二卩對稱。(4) 當xg ( oo, u時f(兀)為增函數 當xc ( n , +8)時減函數(5) 當u 一定時，曲線的形狀由°確定，o越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；。越小，曲線越“瘦高”，表示總體分布越集中4、正態分布：若x是一個隨機變量，對任給區間(a, b, p(avxwb)恰好是正態密度曲線下方和x軸上q,b上方所圍成的圖形的面積，則稱隨機變量x服從參數 為口和。$的正態分布,記作xn ( u、oo5、標準正態曲線 當卩=0, 丫=1時彳正態分布稱為標準正態分彳j,其相應的函數表達 式mf(x) = -=/t,xer,其相應的曲線稱為標準正態曲線。y2n

7、(二)數據分析：案例一：我們小組的同學對陳經綸中學高一年級學生身體狀況進行了 調查，內容包括：身高、體重和視力。并相應用excel作出頻率表與頻率 分布直方圖。1、身高分組頻數累積頻率頻率e147, 153)51.44%0. 014368153,159)279. 20%0. 077586159,165)10037. 93%0. 287356165,171)8963.51%0.255747171, 177)5679. 60%0. 16092177,183)5896. 26%0.166667183,189)1099. 14%0.028736189, 195)3100. 00%0.008621max

8、191min150ave16std8.ave+3 o =193.ave-3 o =144.2、體重max 二 110min 二 39ave = 5& 47std 二 11.61avc+3 o 二 93. 29ave-3 o = 23. 65sample size = 348defect ratio =0. 0%816243240 4x 56647280 聽 96104 112分組頻數累積頻率頻率32, 40)30. 86%0.00862140, 48)6397%0. 1810344& 56)11552. 01%0. 3304656, 64)7372. 99%0. 2097764

9、, 72)5588. 79%0. 15804672, 80)2595. 98%0. 07183980, 88)797. 99%0. 0201158& 96)499. 14%0.01149496, 104)299. 71%0. 005747104,112)1100. 00%0.002874lsl = 2.7target = 2. 9usl = 3. 1max = 5. 3min = 0.3ave = 4. 569std = 0.416ave+3 o=5.816ave-3 o=3. 321cpl =1.5cp = 0. 16cpk = -1. 18skewncss = -33、左眼視力4、

10、右眼視力defect ratio 二分組頻數累積頻率頻率<3.841. 15%0.0114943. 8, 4.2)6118.68%0.1752874. 2, 4. 6)14861.21%0. 4252874. 6, 5. 0)9387. 93%0.2672415. 0, 5. 342100. 00%0. 12069輙力分組頻數累積頻率頻率<3.830. 86%0.0086213& 4. 2)6318. 97%0. 1810344. 2, 4. 6)15563.51%0. 4454024. 6, 5. 0)8186. 78%0.2327595. 0, 5. 34599.71%

11、0. 129310. 0%據分析：在上面四幅圖中，紅 色的曲線是由每一組樣本的平均數 和標準弟畫出的止態分布曲線。可 以看到，總體而言，直方圖較接近 正態分布曲線，然而在這其中的有 些矩形卻并不接近。（例如在體重頻 率直方圖中x e 40, 48）的這一矩 形）針對這種現象，我們認為原因 可能是以下兩點：分組頻數累積頻率頻率0, 20)20. 40%0.00403220, 24)41.21%0.00806524, 28)62.41%0.01209728, 32)114. 63%0.02217732, 36)21& 85%0.04233936, 40)3115. 09%0. 062540

12、, 44)3121. 33%0. 062544, 48)4530. 38%0.090726(1)在頻率分布直方圖中，4& 52)5240. 85%0. 104839樣本容量越大，所分組數越多，各52, 56)5050.91%0.100806組的頻率就越接近于總體在相應各56, 60)4860. 56%0.096774組取值的概率。當樣本容量無限增60, 64)5772. 03%0. 114919大，分組的組距無限縮小時，頻率64, 68)4180. 28%0.082661分布直方圖才會是或近似是止態曲6& 72)3386. 92%0.066532線。然而在這個案例中，每組的樣7

13、2, 76)2090. 95%0.040323本容量只有348個，而且所分組組76, 80)2495. 77%0.048387距也沒有盡可能地縮小。所以才會80, 84)696. 98%0.012097導致這種現象。84, 88)1199. 20%0. 022177(2)因為在數據收集時需要88, 92)399. 80%0.006048同學們門覺填寫真實信息，所以這92, 96)1100. 00%0.002016些數據有一小部分可能是不真實 的。案例二我們小組對高一年級第一學期期中考試成績進行分析，現對 歷史成績與總分成績進行說明。1.歷史成績歷史48 12 16 20 24 28 32 36

14、 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 b8 92 96 1002.總分成績分組頻數累積頻率頻率0,410)20. 40%0.004024410, 440)51.41%0.01006440, 470)83. 02%0.016097470, 500)115. 23%0.022133500, 530)209. 26%0.040241530, 560)2113. 48%0.042254560, 590)7127. 77%0. 142857590,620)8344. 47%0. 167002620, 650)8661.77%0. 173038650, 680)9580. 89%0. 191147680,710)5491. 75%0.108652710,740)3097. 79%0. 060362740,770)11100. 00%0.022133數據分析：歷史成績的頻率分布直方圖是在眾多直方圖小最能體現正態分布特征 的直方圖。其中u =56. 18, o =14.31.我們可以清楚地看到,當x<