1、立體幾何的基本關系、基本量、分析探究類.交匯點1. （河南省豫南九校2013屈高三上學期12月聯考數學（理）試題）如圖，在 &aabc中，ab = bc = 4, a'a e在線段ab上，過點e做ef / bc交ac于點f,將aaef沿ef折起到apef的位置（點a與點p重合），使得乙peb = 601（1）求證：ef丄pb （2）試問：當點e在線段ab上移動時，二而角p - fc - b的平 面角的余弦值是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理rh.2. （華附、省實、廣雅廣州一模后適應考試）如圖2,在四面體aboc 中,oc 丄 oa,oc 丄 ob2aob = 120&

2、#176;,且oa = ob = oc = .（1）設p為ac的屮點，證明:在ab上存在一點!2,使pq丄oa，并計算 的值；求二面角o - ac - 3的平面角的余弦值.3. （汕頭三月測評文科數學）（圖在右上角）如圖所示的幾何體為-簡單組合體，其底 而 abcd 為矩形，pd 丄平而 abcd,ec/pd,且 pd = 2ec.（1）若n為線段pb的中點，求證：ne丄pd若矩形abcd的周長為10, pd二2,求該簡單組合體的體積的最大值.4.（揭陽2013屆高三三月模擬考試）如圖（4）,在等腰梯形cdef屮，cb、da是梯形的 高，ae = bf = 2, ab = 2邁,現將梯形沿cb

3、、da折起，使ef/4b且ef =,得一簡單組合體abcdef如圖（5）示，已知分別為af,bd,ef的中點.(1)(2)(3)求證：mn/平而bcf； 求證：ap丄de； 當ad多長時，平iftl cdef與平面ade所成的銳二血角為60° ?圖(4)圖（5）5.（深圳寶安中學大題訓練）在直三棱柱abc-a.b.c.中，a1a=ab=3a/2 , ac=3,zcab = 90°,p. q分別為棱bb】、cc|上的點，且bp = bbi,cq = ccl.（1）求平面apq與面abc所成的銳二面角的大小.（2）在線段a|b （不包括兩端點）上是否存在一點m,使am+mc】最

4、小？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由.6.（北京市朝陽區高三年級第一次綜合練習）如圖，在四棱錐p-abcd中，平面pac丄平 jin abcd ,且 p4 丄 ac, pa = ad = 2 四丈形 abcd 滿足 bc ad f ab 丄 ad ,pe pfab = bc = l-點時分別為側棱昭pc上的點，且- = - = a .求證：ef 平面pad；(ii)(iii)當2 = g時，求異面直線bf與cd所成角的余弦值； 是否存在實數兄，使得平而afd丄平而pcd?若存在, 試求出兄的值；若不存在，請說明理由.dc7.如圖，己知四棱錐p abcd，底面abcd為菱形，p4丄平面ab

5、cd , zabc = 60°,e、f分別是bc、pc的中點.(1)判定aepd是否垂直，并說明理由。7(2)設a3 = 2,若h為pd ±的動點，若aahe |fi|積的最小值為，求四棱錐2p - abcd的體積。c&如圖，正方形abcd. abef的邊長都是1,而且平面abcd. abef互相垂直。點m 在ac ±移動，點/v在bf ±移動，若cm =bn = a (0< a <2)o(i )求mn的長；(ii)當。為何值時，mn的 長最小；(iii)當mn長最小時，求mnb面mna與面所 成的二而角q的余弦。9. 平面efgh分

6、別平行空間四邊形abcd中的cd與ab且交bd、ad、ac、bc于e、f、g、h.cd=a, ab=b, cd丄ab. (1)求證 efgh 為矩形；(2)點 e 在什么位置，sekjh最大?1（）如圖，在胃四棱柱abcd-ac屮，底而是邊長為1的菱形，側棱長為27t 7t（1）b,d, aj a.d能否垂直？請證明你的判斷；（2）當zajb.c,在一,一上變化時，求界3 2面直線ac a.b,所成角的取值范圍。答案：1.解（1）在中，： ef mbc；ef 丄力 ef ieb、ef iep, 乂; ebcep = e,： ef 丄平面 peb.乂 '： pb u 平面 peb,. :

7、.ef lpe.4 分（2）在平面peb內，經p點作pd丄be于d,由（1）矢1ef丄面peb,.ef丄pd./.pd丄面bcef.在面peb內過點b作直線bh/pd,則bh丄面bcfe以b點為 坐標原點，眈，厲，麗的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標 系.6分設 pe=x （0<x<4）又： ab = bc = 4、：. be = 4 x,ef = x、f 在 rtped 中，aped = 60°,. pd = x,de=丄x,2 2.加= 4_x丄 x二 4 丄 x,2 2c（4,00）, f（x,4x,0）,p 04-|x,xl22從而季= （x 4

8、,4廠為,0）占=-4 4-x,xi 2 2,設n1=（x0,y0, z°）是平面pcf的一個法向量,由n（ cf = 0,比 cp = 0, 丸（/一4）+ 兒（4一初=0一4心+（4討兒+a/3_n,/,xzo =010分” = （1,1,73）是平而pfc的一個法向量.乂平面bcf的一個法向量為/ =（0,0,1）.設二面角p - fc - b的平面角為a ,貝'j cos a = cos®,2因此當點e在線段ab上移動時，.面角-fc-b的平面角的余弦值為定值羋2解法一：（1）在平idiodb內作cw丄04交4b于n ,連接nc.又0a丄0c ,0a丄平面c

9、wcnc u平面0nc ,04丄nc °取q為如v的中點，則pqiincpq 丄 0a 在等腰aob 中，za0b = 2q在rtmon中,“anwonan-aqa z0ab = z0ba = 3(t在 n0nb 中，乙nob = 120°- 90° = 30° =乙nb0 ,nb = 0n = aq.5 分 = 38 分(2) 連接 pnp0 ,由0c丄oa, 0c丄03知：0c丄平面oab.又on u平面oab ,. 0c丄on乂lon 丄 04, on 1 平而aoc.又 ac u平面aoc,. on丄ac又p是ac的小點,oa=oc.ac 丄op

10、,opcon=o,ac 丄平面pon , pn u 平面pon ,.ac 丄 pn10分.乙opn為二面角o ac b的平面角在等腰 rtcoa 屮，0c = o4 = l,opv22在 rtaon 中,on = oa 耳.在 rt'pon 申,pn = yopr + on2v30612分:.cos 乙opn =pn2v3014分3. 125x24 (答案是圖片)4. (1)證明：連ac,四邊形abcd是矩形，n為bd中點、,n為4c中點，1分在aacf中，m為af +點，故mn/cf3分cfu平面bcf , mn0平面bcf , :.mn 平面bcf ；4分 (其它證法，請參照給分)

11、(2)依題意知d4丄ab,da丄ae且ab ae = a:.ad丄平面abfev ap cz 平面 abfe , :. ap 丄 aq ,tp為ef中點，:fp = ab = 2邁結合人b/ef,知四邊形abfp是平行四邊形: apiibf , ap = bf = 2而 ae = 2,pe = 2近,:.ap2 + ae2 = pe2 :. zeap = 90°,即 ap1aes又ad ae=a de u平面ade ,:.ap丄平面ade,ap丄de .(3) 解法一：如圖，分別以ap.ae.ad所在的直線為x,y,z軸建立空間肓飭坐標系設 ad = mm > 0),則 a(0

12、,0,0), d(0,0,m), e(0,2,0), p(2,0,0)、c*uuu易知平面ade的一個法向量為ap = (2,0,0), ( uu,1n pe =設平® def的一個法向量為=(兀jz),貝嘰r uun n de =故嚴+ 2y"i 2y-mz = 011分ilh rcos < ap.n >=令 x = l,則 y = l,z=-,故 n = (l,l,-) mmuuu ipnuud rapn依題意,213分14分即ad = yfi時，平面cdef與平血ade所成的銳二而角為6(t .【解法二：過點a作am丄qe交de于m點，連結pm,則de丄p

13、m,zamp為二面角a-de-f的平面角,由 zamp =60°, ap=bf=2 得 am =tan 60°23"t"11分12分乂 ad ae = am de 得 =血 + 少,3解得ad = y/2f即ad = v2平面cdef與平面ade所成的銳二面角為60j. -145.解(1)建立如圖所示空間直角坐標系a(;c,y,z)a (0, 0, 0), p (3v2 , 0, vi), q (0, 3, 2v2 ).設平面apq的一個法向量為® = (x, y, z)喬=()=>3岳 +妊= ()./?! aq = 0 => 3

14、y + 2-/2z = 0.令 z = 3,則 x = -l,j = -2v2,. n, =(-l-2v2,3)平血abc的一個法向罐® = (0,0,1)./. cos(/lph2)=3a/1 + 8 + 9v|2平面apq與面abc所成的銳角大小為45° .(1)i mj也用傳統方法求解.(并參照計分)(2)沿a.b將面aibci 面a,ba展開，連結ac1與a)b交于點m,此吋am+mc|有最 小值. za/3 = 90°, aa = ab.：. zaab = 45°,又 c】a】丄面 abb】a, ac1a）±a）b.a aaa|cj

15、'i', zaa|c1=135°aci= jaaj + 41c： - 2aa a© cos 135。= j18 + 9 + 18 = 3后 存在點m,使am+ac）取最小值為3頁.pe pf6證明：（i ）由已知，= =z ,pb pc所以ef bc.因為bc ad,所以ef ad.而ef0平面pad, 4du平而p4q,所以ef 平而pad.（ii）【天1為平面abcd丄平面pac ,平面abcdc平面pac = ac ,且p4丄ac, 所以pa丄平而abcd.所以p4丄abf pa丄ad乂因為43丄4d ,所以pa.ab.ad兩兩垂直.如圖所示，建立空間

16、直角坐標系，因為 ab = bc = , pa = ad = 2, 所以 a（0,0,0）,b（l,0,0）,c（1 丄 0）,d（0,2,0）,p（0,（）,2）當幾=丄時，f為pc中點，2所以丄），2 2所以麗=（一丄丄,1）,頁二（一1,1,0）.2 2設弄面直線bf與cd所成的角為0,所以 cos e =1 cosbf,cd） 1=1（-討,1）（-1丄0）1出+1m°所以異佛線貯與3所成角的余弦值為寧（iii）設fgjozo），則麗=（心,旳,-2）,疋=（1 丄-2）.由已知 pf = a pc,所以（兀°,九,5-2）= 2（1,1,-2）,血=a,所以兒=入

17、 所以af = （2,2,2-22）. z（）= 2 2/1.設平e afd的一個法向量為n, = （xpjpzj）,因為ad =（0,2,0）,n. - af = 0,fax. + ay, +（2-22）z. = 0,所以彳1 _即 i c ciij ad = 0. i2/= 0.令z=2,得ii】=（22 2,0,2） 設平ffipcd 的一個法向量為 n2=（x2,y2,z2）,因為 pd =（0,2,-2）,cd = （-1,1,0）,所以i>2 而=0, 即嚴2-2才0, n2-cd = 0.一兀2 + 旳=°令兀2 = 1，則址=（1丄1） 2 若平而丄平而pcd,

18、則n rn2=0,所以（22 2） +2 = 0 ,解得a =-所以當z =-時，平面afd丄平面pcd. 14分3【解析】(i) 四邊形是邸，z4bc =60°,/. ±ibc為等邊三角形.i e 是的 中 點，:.ae ±bc:又 bc/ads:. ae _ad2 分 pa_平面abcd,.匹u平面曲cd,/. pa _ae3分pa c ad = a，且pa u平面rq一辺u平面rqae 平面pjd又pd u平面rq5分/. ae _ pd6 分(u)由(1),平面pad,.el ah;meh為直角三角形，7分rtx4h 中，ae=忑, 當ah最短時，即丄pd

19、時，aahe面積的最小 此時，s 凹= eaah=nah=>/i xa£> = 2,所以 zadh = 45°,4j3所以 pa = 2. vr_abcd = &在最后面gf mx加二蘭，g民纟sr) mrn9解：(1)易證e/ch為矩形.(2) ag=x, ac”， = a, gh= x ,a mm bsepgh=gh <3f= x (7? x) =-m mmcmxx1)=abm12 2? m m(x+mx+ 44nrab廠 z加、2 加2 1xiz w h_l cab (x"i)_+tf巧時s410. 解析：菱形a0cq中，ag丄bq于q ,設acqbd = o,分別以0百,o©,oq 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設b2,o,o)，g(o,b,ox/+b2=l),則 £> (-。, 0,0), £ (0, -0), d(-a,0,2)(1) *.* dbx = (2a,0,0), a】£)= (a,b,2)，: dxb* axd = 2a2:.bq與aq不能垂直。(2) *.* zabc g , / 5 51, * a(0, b9 2)3