1、專題11.如圖，/ MON=90 ，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A、B 分別在邊 OM ,運(yùn)動(dòng)時(shí)，A 隨之在 OM 上運(yùn)動(dòng)，矩形 ABCD 的形狀保持不變，其中 程中，點(diǎn) D 到點(diǎn) O 的最大距離為_(kāi) .此時(shí)， AB=2 , BC=1 , OE=AE=2AB=1。DE=_冷：_丿-了- , OD 的最大值為:相交于點(diǎn) O,延長(zhǎng) AB至點(diǎn) E,使 BE=AB，連ABCD2.如圖， 已知菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC、 BD 接 CE.(1)求證：四邊形 BECD 是平行四邊形；的面積.試題解析：(1)v四邊形 ABCD 是菱形， BE=CD.四邊形 BECD 是平行四邊形.AB=CD ,AB / C

2、D.;又vBE=AB,/ BE / CD,v四邊形 BECD 是平行四邊形，又v四邊形 ABCD 是菱形， AC / BAO=30/ AC=4、3 OA=OC=23OB=OD=2.BD=4.菱形 ABCD BD / CE. / ABO=丄 BD,OA=OC.丄AC BD的面積=2/ E=60 . / BOA=9014-3 4 8-32ON 上，當(dāng) B 在邊 ON 上AB=2 , BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)如圖，取 AB的中點(diǎn)E,連接OE、DE、OD ,vOD f ir3如圖所示，在菱形 ABCD 中，AB=4 ,/ BAD=120 , AEF 為正三角形，點(diǎn) E、F 分別 在菱形的邊 BC . CD 上

3、滑動(dòng)，且 E、F 不與 B . C . D 重合.(1 )證明不論 E、F 在 BC . CD 上如何滑動(dòng)，總有 BE=CF ;(2)當(dāng)點(diǎn) E、F 在 BC . CD 上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF 和厶 CEF 的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大(或最小)值.解：(1)證明：如圖，連接 AC , 四邊形 ABCD 為菱形，/ BAD=120 , / BAE+ / EAC=60 ,/ FAC+ / EAC=60 ,AZBAE= / FAC。： / BAD=120 ,二/ ABF=60 。山 ABC 和 ACD 為等邊三角形。二/ ACF=60 , AC=AB。二/

4、 ABE= / AFC。在 ABE 和厶 ACF 中，/BAE= / FAC , AB=AC , / ABE= / AFC ,ABE ACF (ASA )。二 BE=CF。 ACF，貝 U SAABE=S ACF。二 S 四邊形 AECF=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC，是定值。作 AH 丄 BC 于 H 點(diǎn)，貝 U BH=2 ,1 1: 2 2S四邊形四邊形AECFSABCBC AH BC AB BH 4 322。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形 AEF 的邊 AE 與 BC 垂直時(shí)，邊 AE 最短.故厶 AEF 的面積會(huì)隨著 AE 的變化而變化， 且當(dāng) AE最短

5、時(shí)，正三角形 AEF 的面積會(huì)最小，又 SACEF=S 四邊形 AECF - SAAEF，則此時(shí)厶 CEF 的面積就會(huì)最大.二 SACEF=S 四邊4J3123 J 2322勺勺3形 AECF - SAAEF2o CEF 的面積的最大值是3。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。4如圖， ABC 中，點(diǎn) 0 是邊 AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 過(guò) 0 作直線 MN / BC ,設(shè) MN 交/ BCA 的 平分線于點(diǎn) E，交/ BCA 的外角平分線于點(diǎn) F.(1) 探究：線段 0E 與 OF 的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2) 當(dāng)點(diǎn) 0 運(yùn)動(dòng)到何處，且 A

6、BC 滿足什么條件時(shí)，四邊形 AECF 是正方形？CEF 的面積發(fā)生變化。理由如下：由(1)得厶 ABE 也(2)四邊形 AECF 的面積不變，(3) 當(dāng)點(diǎn) 0 在邊 AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形 BCFE 會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說(shuō) 明理由.解：(1)OE=OF .理由如下：TCE 是/ ACB 的角平分線，二/ ACE= / BCE ,又 MN /NEC= / ECB ,二/ NEC= / ACE ,二 OE=OC,vOF 是/ BCA 的外角平分線，/ OCF= / FCD，又TMN / BC ,二/ OFC= / ECD ,二/ OFC= / COF ,二 OF=OC ,二 OE

7、=OF;(2) 當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)，且厶 ABC 滿足/ ACB 為直角的直角三角形時(shí)，四邊形 AECF 是正方形.理由如下：當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，又TEO=FO,四邊形 AECF 是平行四邊形，/ FO=CO , AO=CO=EO=FO , AO+CO=EO+FO，即 AC=EF，四邊形 AECF 是矩形. 已知 MN / BC,當(dāng)/ ACB=90 ，則/ AOF= / COE= / COF= / AOE=90 , AC 丄 EF ,四邊形 AECF 是正方形；(3) 不可能.理由如下：如圖， CE 平分/ ACB , CF 平分/ ACD，/ ECF=2

8、/ ACB+2/ ACD=2(/ ACB+/ ACD ) =90 ,若四邊形 BCFE 是菱形，則 BF 丄 EC,但在 GFC 中，不可能存在兩個(gè)角為90,所以不存在其為菱形.故答案為不可能.-VD專題2i趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示)小亮同學(xué)隨機(jī)地在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針，若直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是 2 和 1,則針扎到小正方形(陰影)區(qū)域的概率是 _【解析】根據(jù)題意分析可得：正方形 ABCD 邊長(zhǎng)為 V22+ 12-V ,故面積為 5;陰影部分邊長(zhǎng)為 2-1=1 , 面積為 1 ;則針扎到小正方形(陰影)區(qū)域的概率是即兩部分

9、面積的比值為1/5.2如圖，四邊形 ABCD 是菱形，BE 丄 AD、BF 丄 CD，垂足分別為 E、F.(1) 求證:BE=BF ;(2) 當(dāng)菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC=8 , BD=6 時(shí)，求 BE 的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2) BE=24/5【解析】 本題主要考查菱形的性質(zhì)和三角形全等的證明，同時(shí)還考查了菱形面積的兩種求法.(1)證明：四邊形 ABCD 是菱形， AB=CB，/ A= / C, / BE 丄 AD、BF 丄 CD , / AEB= / CFB=90 , 在厶 ABE 和厶 CBF中，ZA = ZCAB = CB /AEB - CFB =OF ABECBF ( AA

10、S ), BE=BF .(2)如圖,8對(duì)角線 AC=8 , BD=6 ,對(duì)角線的一半分別為 4、3,菱形的邊長(zhǎng)為/42+ 32=5 ,菱形的面積=5BE=1/2X8X6,解得 BE=24/5 .3 如圖，在 Rt ABC 中，/ B = 90, AC = 60 cm,/ A = 60，點(diǎn) D 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CA 方 向以4cm/s 的速度向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) E 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D, E 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 ts(0t |-3|=二；(3)KDP 與KDC 底邊都是 AD，面積相等所以高相等，ADC 高就是 C 到 AD 的距離，即 C 縱坐標(biāo)