1、第14講 解析幾何常見?？寄Ｐ透呖碱A測一：垂直弦模型 1已知拋物線的焦點是，若過焦點的直線與相交于，兩點，所得弦長的最小值為4（1）求拋物線的方程；（2）設，是拋物線上兩個不同的動點，為坐標原點，若，為垂足，證明：存在定點，使得為定值【解析】解：（1）設直線的方程為,聯立得,所以,所以,當時，,解得,所以拋物線的方程為設直線的方程為,因為，則，即,又,所以,解得,聯立,得,所以,則直線的方程為,所以直線過定點,記作點，當點與點不重合時，為直角三角形，當為的中點時，當點與點重合，為中點時，所以存在點,使得為定值22已知橢圓，、是橢圓上的兩點（）求橢圓的方程；（）是否存在直線與橢圓交于、兩點，交軸

2、于點，使成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由【解析】解：（）根據題意可得，解得，所以橢圓的方程為（）假設存在這樣的直線，由已知可得直線的斜率存在，設直線方程為，由，得，設，則，由，得，即，即，故，代入解得或所以的取值范圍為，3已知曲線上的任意一點到點的距離與到直線的距離相等（）求曲線的方程；（）若不經過坐標原點的直線與曲線交于，兩點，且求證：直線過定點【解析】（）解：因為曲線上的任意一點到點的距離與到直線的距離相等，根據拋物線的定義可知，曲線的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，故曲線的方程為；（）證明：設直線，聯立方程組，可得，所以，所以，因為線段為直線的圓過點，所以為直角

3、三角形，故有，所以，化簡可得，又因為，所以，所以，因為，所以，所以，解得或，因為直線不過原點，所以，故，所以直線，令，則，所以直線恒過定點4已知橢圓的左、右兩個焦點分別是，焦距為2，點在橢圓上且滿足，（）求橢圓的標準方程；（）點為坐標原點，直線與橢圓交于，兩點，且，證明為定值，并求出該定值【解析】解：（）依題意，所以由，得，于是，所以，所以，因此橢圓的方程為（）證明：當直線的斜率存在時，設直線，由消去得，由題意，則，因為，所以，即，整理得而，設為原點到直線的距離，則，所以，而，所以當直線的斜率不存在時，設，則有，不妨設，則，代入橢圓方程得，所以，所以綜上5已知拋物線焦點為，拋物線上一點的橫坐標

4、為2，且（）求此拋物線的方程；（）過點做直線交拋物線于，兩點，求證：【解析】（）解：設拋物線，點，則有，所以拋物線的方程為；（）證明：當直線斜率不存在時，此時，解得，滿足，；當直線斜率存在時，設，聯立方程，設，則，則，即有綜上，成立6已知，為橢圓上的兩個動點，滿足（1）求證：原點到直線的距離為定值；（2）求的最大值；（3）求過點，且分別以，為直徑的兩圓的另一個交點的軌跡方程【解析】（1）證明：當直線的斜率不存在時，由代入橢圓方程可得：，解得，此時原點到直線的距離為當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立，化為，則，化為，化為，化為，原點到直線的距離綜上可得：原點到直線的距離為定值（2）解：由（

5、1）可得，當且僅當時取等號的最大值為（3）解：如圖所示，過點，且分別以，為直徑的兩圓的另一個交點的軌跡滿足：，因此，三點共線由（1）可知：原點到直線的距離為定值分別以，為直徑的兩圓的另一個交點的軌跡方程為高考預測二：內接直角三角形模型7在直角坐標系中，點到、的距離之和是4，點的軌跡與軸的負半軸交于點，不過點的直線與軌跡交于不同的兩點和（1）求軌跡的方程；（2）當時，求與的關系，并證明直線過定點【解析】解：（1）點到，的距離之和是4，的軌跡是長軸長為4，焦點在軸上焦距為的橢圓，其方程為（2）將，代入曲線的方程，整理得，因為直線與曲線交于不同的兩點和，所以設，則，且顯然，曲線與軸的負半軸交于點，所

6、以，由，得將、代入上式，整理得，所以，即或經檢驗，都符合條件當時，直線的方程為顯然，此時直線經過定點點即直線經過點，與題意不符當時，直線的方程為顯然，此時直線經過定點點，且不過點綜上，與的關系是：，且直線經過定點點8已知橢圓的中心在坐標原點，左、右焦點分別為，為橢圓上的動點，的面積最大值為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切（1）求橢圓的方程；（2）若直線過定點且與橢圓交于，兩點，點是橢圓的右頂點，直線與直線分別與軸交于，兩點，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由【解析】解：（1）由題意橢圓的中心在坐標原點，左、右焦點分別為，為橢圓上的動點，的

7、面積最大值為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切可得，解得，所以橢圓的方程是 （4分）（2）以線段為直徑的圓過軸上的定點當直線斜率不存在時以線段為直徑的圓的方程為：，恒過定點（5分）當直線斜率存在時 設，由得設，則有，（7分）又因為點是橢圓的右頂點，所以點由題意可知直線的方程為：，故點直線的方程為：，故點 （8分）若以線段為直徑的圓過軸上的定點，則等價于恒成立 （9分）又因為，所以恒成立又因為，所以解得故以線段為直徑的圓過軸上的定點 （12分）（或設請酌情給分）9過拋物線上不同兩點、分別作拋物線的切線相交于點，（1）求點的軌跡方程；（2）已知點，是否存在實數使得？若存在，求出的值，

8、若不存在，請說明理由【解析】解法（一（1）設，由，得：，（4分）直線的方程是：即同理，直線的方程是：，（6分）由得：、點的軌跡方程是（8分）（2）由（1）得：，所以故存在使得（14分）解法（二（1）直線、與拋物線相切，且，直線、的斜率均存在且不為0，且，設的直線方程是，由得：（4分）即即直線的方程是：同理可得直線的方程是：，（6分）由得：故點的軌跡方程是（8分）（2）由（1）得：，故存在使得（14分）10已知橢圓，點、分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線（不與軸重合）交于，兩點（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求的面積；（3）是否存在直線，使得點在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；

9、若不存在，說明理由【解析】解：（1）由、得：（2分）橢圓的標準方程為：； （4分）（2）因為，所以過、的直線的方程為：，即，（6分）解方程組，得，（8分）；（10分）（2）結論：不存在直線使得點在以為直徑的圓上理由如下：設，則假設點在以線段為直徑的圓上，則，即，因為，所以，（12分）解得：或，（14分）又因為，所以點不在以為直徑的圓上，即不存在直線，使得點在以為直徑的圓上（16分）11已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為，為橢圓的左頂點（1）求橢圓的標準方程；（2）已知過點的直線與橢圓交于，兩點若直線垂直于軸，求的大??；若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；

10、如果不存在，請說明理由【解析】解：（1）設橢圓的標準方程為，由題意知：，所以橢圓的標準方程為 （4分）（2）由（1）得設，當直線垂直于軸，的方程為，（5分）的方程與聯列得（不妨設點在軸上方），（6分）此時，（8分）當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形 （10分）證明如下：由題意可設，聯列方程組得，顯然，所以（12分）假設存在直線使得為等腰三角形，則取的中點，（13分）連接，則，記點為，所以，所以與不垂直，矛盾，故不存在直線使得為等腰三角形 （16分）高考預測三：中點弦模型12已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切、是橢圓的左、右頂點，直線過點且與軸垂直（

11、1）求橢圓的標準方程；（2）設是橢圓上異于、的任意一點，作軸于點，延長到點使得，連接并延長交直線于點，為線段的中點，判斷直線與以為直徑的圓的位置關系，并證明你的結論【解析】（本小題滿分12分）解：（1）由題意：到直線的距離為，則，橢圓的標準方程為（4分）（2）設，則，直線的方程為（6分）與聯立得：則直線的方程為（8分）即，方程可化為（10分）到直線的距離為故直線與以為直徑的圓相切（12分）13已知橢圓的左、右焦點分別為、，為上頂點，交橢圓于另一點，且的周長為8，點到直線的距離為2（）求橢圓的標準方程；（）求過作橢圓的兩條互相垂直的弦，、分別為兩弦的中點，求證：直線經過定點，并求出定點的坐標【解

12、析】解：，設，因為，直線的方程為，點到直線的距離，橢圓的標準方程：設以為中點的弦與橢圓交于，則，同理，整理得，直線過定點當直線的斜率不存在或為零時，、的中點為點及原點，直線為軸，也過此定點，直線過定點14已知，是橢圓上的三個點，是坐標原點（）當點是的右頂點，且四邊形為菱形時，求此菱形的面積；（）當點不是的頂點時，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由【解析】解：四邊形為菱形，是橢圓的右頂點直線是的垂直平分線，可得方程為設，得，解之得（舍負）的坐標為，同理可得的坐標為因此，可得菱形的面積為；四邊形為菱形，設，得、兩點是圓與橢圓的公共點，解之得設、兩點橫坐標分別為、，可得、兩點的橫坐標滿足，或且，當

13、時，可得若四邊形為菱形，則點必定是右頂點；若且，則，可得的中點必定是原點，因此、共線，可得不存在滿足條件的菱形綜上所述，可得當點不是的頂點時，四邊形不可能為菱形15已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點在橢圓上，且，的面積為（1）求橢圓的方程：（2）設橢圓的左、右頂點為，過的直線與橢圓交于不同的兩點，（不同于點，探索直線，的交點能否在一條垂直于軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請說明理由【解析】解：（1）設，左、右焦點分別為，點在橢圓上，且，的面積為，解得，解得，橢圓的方程為（2）由（1）知，當直線的斜率不存在時，直線，直線與橢圓的交點坐標，此時直線，聯立兩直線方程，解得兩直

14、線的交點坐標，它在直線上當直線的斜率存在時，設直線，代入橢圓的方程，整理，得，設直線與橢圓交點，則，直線的方程為，即，直線的方程為，即，由直線與直線的方程消去，得，直線與直線的交點在直線上綜上所述，直線，的交點必在一條垂直于軸的定直線上，這條直線的方程是16已知橢圓：過點，其左、右頂點分別為，左、右焦點為，其中，（1）求棲圓的方程：（2）設，為橢圓上異于，兩點的任意一點，于點，直線，設過點與軸垂直的直線與直線交于點，證明：直線經過線段的中點【解析】解：（1）由題意知，則，故橢圓的方程為，（2）由（1）知，過點且與軸垂直的直線的方程為，結合方程，得點，直線的斜率為，直線的方程為，因為于點，所以，

15、線段的中點坐標，令，得，因為，所以，即直線經過線段的中點17已知定圓，動圓和已知圓內切，且過點，（1）求圓心的軌跡及其方程；（2）試確定的范圍，使得所求方程的曲線上有兩個不同的點關于直線對稱【解析】解 （1）已知圓可化為，設動圓圓心，則為半徑，又圓和圓內切，即，故的軌跡是以，為焦點的橢圓，且中心為原點，故動圓圓心的軌跡方程是（2）假設具有對稱關系的兩點所在直線的方程為，代入橢圓方程中有，即若要橢圓上關于直線對稱得不同兩點存在，則需與橢圓相交，且兩交點、到直線的距離相等，即線段的中點在直線上，故，設，則，故，即高考預測四：角分線模型18已知橢圓經過點，對稱軸為坐標軸，焦點，在軸上，離心率（1）求

16、橢圓的方程；（2）求的平分線所在直線的方程；（3）在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由【解析】解：（1）設橢圓方程為橢圓經過點，離心率，橢圓方程為：；（2），方程為：，方程為：設角平分線上任意一點為，則得或斜率為正，直線方程為；（3）假設存在，兩點關于直線對稱，直線方程為代入得，中點為代入直線上，得中點為與重合，不成立，所以不存在滿足題設條件的相異的兩點19如圖，在平面直角坐標系中，橢圓，過坐標原點的直線交橢圓于，兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結，并延長交橢圓于點，設直線的斜率為（）當時，求點到直線的距離；（）證明：對任意，都有【解析】解

17、：（）當時，直線的方程為，解得，或；故，；故直線的斜率，故直線的方程為，故點到直線的距離（）證明：由題意，設，則，設，、三點共線，即，令，則，得，即，即，即，即，即，故或，當時，此時與點重合，故不成立；故，故20設是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足丨丨丨丨當點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；（）過原點且斜率為的直線交曲線于、兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點，是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【解析】解：如圖1，設，丨丨丨丨，點在圓上運動，代

18、入即得所求曲線的方程為，時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，時，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為，（）如圖2、3，設，則，兩點在橢圓上，可得，三點共線，故存在，使得在其對應的橢圓上，對任意，都有21已知橢圓經過點，的四個頂點構成的四邊形面積為（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上是否存在相異兩點，使其滿足：直線與直線的斜率互為相反數；線段的中點在軸上若存在，求出的平分線與橢圓相交所得弦的弦長；若不存在，請說明理由【解析】解：（1）由已知得，解得，橢圓的方程；（2）設直線的方程為，代入，得設，且是方程的根，用代替上式中的，可得，的中點在軸上，解得，因此滿足條件的點，存在由平面幾何知

19、識可知的角平分線方程為把代入，可得，所求弦長為322如圖，已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，且，（）求橢圓的方程；（）設、為橢圓上異于，且不重合的兩點，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實數，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由【解析】解：，又，即，是等腰直角三角形（2分），而點在橢圓上，所求橢圓方程為；（4分）對于橢圓上兩點，的平分線總是垂直于軸，與所在直線關于對稱，則，（6分），的直線方程為，的直線方程為，將代入得，在橢圓上，是方程的一個根，（8分）以替換，得到，弦過橢圓的中心，存在實數，使得（10分）當時即時取等號，又，（13分）23已知橢圓過點（）求橢圓的方程，并

20、求其離心率；（）過點作軸的垂線，設點為第四象限內一點且在橢圓上（點不在直線上），點關于的對稱點為，直線與交于另一點設為原點，判斷直線與直線的位置關系，并說明理由【解析】解：（）由橢圓方程橢圓 過點，可得所以，所以橢圓的方程為，離心率，（）直線與直線平行證明如下：設直線，設點的坐標為，由得，同理，所以，由，有，因為在第四象限，所以，且不在直線上，又，故，所以直線與直線平行24已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且以點為圓心，長為半徑的圓與直線相切（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線，分別交拋物線于點，若的平分線與軸平行，試探究：直線的斜率是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理

21、由【解析】解：（1）根據題意，得解得，所以拋物線的方程為（2）由（1）知，由的平分線與軸平行，可知直線，的斜率都存在，且不等于零兩斜率互為相反數設，直線，由，得，已知此方程的一個根為4，所以，所以，同理，所以，所以，故直線的斜率為定值25如圖，設為拋物線的焦點，是拋物線上一定點，其坐為，為線段的垂直平分線上一點，且點到拋物線的準線的距離為（1）求拋物線的方程；（2）過點任作兩條斜率均存在的直線、，分別與拋物線交于點、，如圖示，若直線的斜率為定值，求證：直線、的傾斜角互補【解析】解：（1）拋物線的方程為，直線的方程為（1分）又點在線段的垂直平分線上，且為拋物線的焦點，點的橫坐標為（2分）又點到拋

22、物線的準線的距離為，即拋物線的方程為（5分）（2）設，則又因為點，均在拋物線上，所以有，所以，故由已知得，（7分）又由已知易知，所以有從而有，（8分）又因為點，均在拋物線上，所以有，把它們分別代入式，并化簡可得：（10分）把代入，可得故直線、的傾斜角互補（12分）高考預測五：切線模型26已知左、右焦點分別為、的橢圓與直線相交于、兩點，使得四邊形為面積等于的矩形（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上一動點（不在軸上）作圓的兩條切線、，切點分別為、，直線與橢圓交于、兩點，為坐標原點，求的面積的取值范圍【解析】解：（1）可得，由矩形為面積等于可得，橢圓的方程為：（2）設，則以線段為直徑的圓的方程為，又圓的方程為，兩式相減得直線的方程為由得，設，、，則令，則，的圖象是開口朝下，且以直線為對稱軸的拋物線，故，時，函數