1、x x 學年第1 學期計算方法課程考試試卷（ a ）開課二級學院：理學院，考試時間： x 年_ 月_ 日時考試形式：閉卷、開卷，允許帶計算器入場考生姓名：學號：專業：班級：題序一二三四五六七總分得分評卷人一、填空（每個空3 分，共 27 分）1，設*2.6718,2.671xx，則*x有 _位有效數字2，*2.8451x是經四舍五入得到的近似值，則其相對誤差*re_ 3，設)6,2,3(x，則1x_，x_ 4，設0)(xf, 則由梯形公式計算的近似值t 和定積分badxxfi)(的值的大小關系為 _ 5, 設(0)1,(1)3,(2)4,(3)2ffff，01 2 3f， ，_ 6, 對點),

2、 2, 1(),(niyxii擬建立模型2bxay，則ba ,滿足的正規方程組為_ 7，若ba,滿足的正規方程組為：nininiiiiininiiiyxbxaxybxna1112111則xy與之間的關系式為_ 8，對冪法迭代公式)()1(kkaxx當k充分大時有常數s使)()1(kksxx，則a的按模最大的特征值1_ 裝訂線二、設( 2)0 ,(0)2 ,(2)8fff，求)(xp使)()(iixfxp,)2, 1 , 0(i；又設mxf)(，則估計余項)()()(xpxfxr的大小。 （15 分）三、設(0)1,(0.5)5 ,(1)6 ,(1.5)3 ,(2)2fffff，( )kfm (

3、2,3,4)k，（1）計算20)(dxxf， （2）估計截斷誤差的大小（12 分）寂涯網絡 xxxx 學年第1 學期計算方法課程試卷a 第 1 頁 共 4 頁寂涯網絡 xxxx 學年第1 學期計算方法課程試卷a 第 2 頁 共 4 頁四、設方程012523xx在 2,1內有實根，試寫出迭代公式,2,1,0)(1kxxkk使kx，并說明迭代公式的收斂性。（10 分）五、設有線性方程組bax，其中582,3015515103531ba（1）求alu分解 ; (2) 求方程組的解(3) 判斷矩陣a的正定性（ 14 分）裝訂線寂涯網絡 xxxx 學年第1 學期計算方法課程試卷a 第 3 頁 共 4 頁

4、六、設有線性方程組bax，其中144212441a，試討論 jacobi 迭代法和gauss-seidel迭代法的收斂性。 （14 分）七、設i jn naa是n階實對稱正定矩陣，a經過一次高斯消元計算變為211aota，其中t為行向量，o是零列向量，試證明2a是對稱正定矩陣（8 分）xx xx 學年第 1 學期計算方法課程考試試卷（ b）開課二級學院：理學院，考試時間： xx 年_12_月_31_日時考試形式：閉卷、開卷，允許帶計算器入場考生姓名：學號：專業：班級：題序一二三四五六七八總分得分評卷人一、填空（每空3 分，共 27 分）1，牛頓 柯特斯求積公式的系數)3(1c_ 2, 設x的相

5、對誤差為，則x的相對誤差為_3, 設*4.5585x是經四舍五入得到的近似值，則xx*_ 4, 設(2,2, 8)x，則1x_，x_ 5，對實驗數據),2 , 1(),(niyxii擬建立模型1abxy，則,a b滿足的正規方程組為_ 6, 若ba,滿足的正規方程組為：211242111nniiiinnniiiiiiinax byx ax bx y則xy與之間的關系式為_ 7，若1是1a的按模最大的特征值，則a的按模最小的特征值為_ 8，對冪法迭代公式)()1(kkaxx當k充分大時有常數qp,使六、設方程324100 xx在 2,1內有實根，試寫出迭代公式, 2 , 1 ,0)(1kxxkk

6、使kx。 （ 10 分）裝訂線七、設a是非奇異矩陣，矩陣序列kx滿足)2(1kkkaxixx，若1)(0axi，證明：1limaxkk（8 分）xx xx 學年第 1 學期計算方法課程試卷（ a）參考答案及評分標準開課二級學院：理學院，學生班級： 07 數學,07 信算 1,2 教師：何滿喜一、填空（共 27 分，每空 3 分）1， 3 2，411043， 11 6 4，it5，136，211242111nniiiinnniiiiiiinax byx ax bx y7，1abxy8，s二（共 15 分）、由公式得0010012012(3)( )(),(),()()311(2)(2)22622(

7、 )( )(2) (2)33!168 3(2) (2)366273 3p xf xf xxxxf xxxxxxxxxxxxfr xxx xmmxx xm三（共 12 分）、根據給定數據點的個數應該用復化simpson 公式計算由公式得20)(dxxf4)2()1(2)5.1 ()5.0(4)0(3fffffh=47621h2)(2880),()4(414fhabsfr3hhmm2,144028800213若用其它公式計算正確，且誤差比以上的誤差大時只給過程分數8 分，扣除方法分數4 分。四、（10 分）把方程012523xx等價變為以下方程：512xx2 計算方法課程試卷a 參考答案及評分標準

8、第1 頁 共3 頁,512)(xx取2,)5(1212)(3xx則有2有因此對21x, 1616122)51 (1212)5(1212)(33xx2,)(1是收斂的式所以由定理可知迭代公kkxx即迭代公式512)(1kkkxxx收斂于方程在區間2,1內根上。2五、（14 分）因為13521352,31 01 58310251 53 055055a b5（1）a=lu=5000105311050130013(2) 方程組的解為; 121321xxx3（3） 由于 a=500010531105013001=100010531511105013001所以矩陣a 是對稱正定的3六（14 分）、1104

9、4()202 ,440bdda2031bi2所以10)(1b，由定理可知簡單（jacobi）迭代法收斂。312100044044()2 100020810 ,244 1000016 24bilu22(3232)0ib2所以2()164 141b，由定理可知seidel 迭代法不收斂。3 計算方法課程試卷a 參考答案及評分標準第2 頁 共3 頁七（8 分）、證：2a的元素為)1(11111111)1(i jijijjijijiaaaaaaaaaa，因此2a為對稱矩陣。2記1001001,11211111niimmlaam，則211211110000aooaaaalltt2對任意 n-1 維非零向

10、量0 x，作ttxx), 0(0，記xlyt1，則0,0ayyyt，2而0,0), 0()()(020020021101111xaxxaxxaooaxxallxxlaxlayytttttttttt，從而2a為正定矩陣。2 計算方法課程試卷a 參考答案及評分標準第3 頁 共3 頁課程編號： 12000044北京理工大學 2010-2011 學年第一學期xx 級計算機學院數值分析期末試卷a卷班級學號姓名成績注意：答題方式為閉卷。 可以使用計算器。請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。一、填空題（2 02）1.設 x=0.231是精確值 x*=0.229 的近似值，則 x 有位

11、有效數字。2.設32,1223xa， a_ _， x _ _，ax_ _ (注意：不計算 ax的值) 。3.非線性方程 f(x)=0 的迭代函數 x= (x)在有解區間滿足，則使用該迭代函數的迭代解法一定是局部收斂的。4.若f(x)=x7 x3 1 ， 則f20,21,22,23,24,25,26,27= ，f20,21,22,23,24,25,26,27,28= 。5.區間a,b上的三次樣條插值函數s(x)在a,b上具有直到階的連續導數。6.當插值節點為等距分布時， 若所求節點靠近首節點， 應該選用等距節點下牛頓差商公式的（填寫前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求節點靠近尾節點，應該選

12、用等距節點下牛頓差商公式的（填寫前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估計結果的舍入誤差，應該選用插值公式中的。7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系數 ai(x)的特點是：niixa0)(；所以當系數 ai(x)滿足，計算時不會放大f(xi)的誤差。8.要使20的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取位有效數字。9.對 任 意 初 始 向 量x(0)及 任 意 向 量g ， 線 性 方 程 組 的 迭 代 公 式x(k+1)=bx(k)+g(k=0,1, ) 收 斂 于 方 程 組 的 精 確 解x* 的 充 分 必 要 條 件是。10. 由下列數據所確定的插值多項式的次數最高是。x 0

13、0.5 1 1.5 2 2.5 y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 11. 牛頓下山法的下山條件為。12. 線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1,n)來實現的，其中的殘差 ri，(i=0,1,n)。13. 在非線性方程 f(x)=0 使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區間存在唯一解，且f(x) 的 二 階 導 數 不 變 號 ， 則 初 始 點x0的 選 取 依 據為。14. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數、迭代計算。二、判斷題 (在題目后的 ( )中填上“”或“” 。) （101）1、 若 a 是 n 階非奇異矩陣， 則線性方程組 axb 一

14、定可以使用高斯消元法求解。( ) 2、 解 非 線 性 方 程 f(x)=0的 牛 頓 迭 代 法 在 單 根x* 附 近 是 平 方 收 斂 的 。( ) 3、 若 a 為 n 階方陣，且其元素滿足不等式),.,2, 1(1niaanijjijii則 解 線 性 方 程 組ax b的 高 斯 塞 德 爾 迭 代 法 一 定 收 斂 。( ) 4、 樣條插值一種分段插值。( ) 5、 如果插值結點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。( ) 6、 從實際問題的精確解到實際的計算結果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、 截斷誤差及舍入誤差。( ) 7、 解 線性 方 程 組 的 的 平

15、方根 直 接 解 法 適 用 于任 何 線 性 方 程 組 axb。( ) 8、 迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計,直到最后一步迭代計算的舍入誤差。( ) 9、 數值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差舍入誤差。( ) 10 、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。( ) 三、計算題（58+10）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。(計算時小數點后保留5 位)。112123454321321321xxxxxxxxx2、用牛頓埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式p4(x)，并寫出其截斷誤差的表達式(設 f(x)在插值

16、區間上具有直到五階連續導數)。xi0 1 2 f(xi) 1 -1 3 f (xi) 1 5 3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法的迭代 公式，并簡單說明收斂的理由。4、設 y=sinx，當取 x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式計算x=1.75的函數值時，函數值y0, y1, y2應取幾位小數 ? 5、已知單調連續函數y=f(x)的如下數據：xi-0.11 0.00 1.50 1.80 f(xi) -1.23 -0.10 1.17 1.58 若用插值

17、法計算， x 約為多少時 f(x)=1。(計算時小數點后保留5 位)。6、應用牛頓法于方程，導出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。 （計算時小數點后保留4 位)。課程編號： 12000044北京理工大學 xx-2010 學年第二學期xx 級計算機學院數值分析期末試卷a卷班級學號姓名成績注意：答題方式為閉卷。 可以使用計算器。33846512321432431421xxxxxxxxxxxx01)(2xaxf請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。四、填空題（ 2 02）15. 設 x=0.231是精確值 x*=0.229 的近似值，則 x 有2 位有效數字。16. 設3

18、2,1223xa， a _5 _， x _ 3_，ax_15_ _。17. 非線性方程 f(x)=0 的迭代函數 x= (x)在有解區間滿足| (x)| 1 ，計算時不會放大f(xi)的誤差。22. 要使20的近似值的相對誤差小于0.1%，至少要取4 位有效數字。23. 對 任 意 初 始 向 量x(0)及 任 意 向 量g ， 線 性 方 程 組 的 迭 代 公 式x(k+1)=bx(k)+g(k=0,1, ) 收 斂 于 方 程 組 的 精 確 解x* 的 充 分 必 要 條 件 是(b)1 。24. 由下列數據所確定的插值多項式的次數最高是5 。x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y

19、=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 25. 牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|0 。28. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數、選取初值、迭代計算。五、判斷題（ 101）10、若 a 是 n 階非奇異矩陣，則線性方程組 axb 一定可以使用高斯消元法求解。( ) 11、解 非線 性方 程 f(x)=0 的牛 頓迭代法 在單 根 x* 附近是平方收 斂的。( ) 12、若 a 為 n 階方陣，且其元素滿足不等式),.,2,1(1niaanijjijii則 解 線 性 方 程 組ax b的 高 斯 塞 德 爾 迭 代 法 一 定 收 斂 。( ) 13、樣條插值一種分段

20、插值。( ) 14、如果插值結點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。( ) 15、從實際問題的精確解到實際的計算結果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。( ) 16、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組axb。( ) 17、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計,直到最后一步迭代計算的舍入誤差。( ) 18、數值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差舍入誤差。( ) 10 、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。( ) 六、計算題（ 510）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。112123454

21、321321321xxxxxxxxx解答：（1，5，2）最大元 5 在第二行，交換第一與第二行：112412345321321321xxxxxxxxxl21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化為：8.152.06.26.10.42.0123453232321xxxxxxx（-0.2,2.6）最大元在第三行，交換第二與第三行：6.10.42.08.152.06.2123453232321xxxxxxxl32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化為：38466.00.384628.152.06.212345332321xxxxxx回代得：00010. 199999.500005

22、. 3321xxx2、用牛頓埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式p4(x)，并寫出其截斷誤差的表達式(設 f(x)在插值區間上具有直到五階連續導數)。xi0 1 2 f(xi) 1 -1 3 f (xi) 1 5 解答：做差商表xi f(xi) fxi,xi+1 fxi.xi+1.xi+2 fxi,xi+1,xi+2,xi+3 fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4 0 1 1 -1 -2 1 -1 1 3 2 3 4 3 0 2 3 5 1 -2 -1 p4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) r4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)

23、(x-1)(x-2)(x-2) 3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應用雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法的迭代 公式，并簡單說明收斂的理由。解答：交換第二和第四個方程，使系數矩陣為嚴格對角占優：雅克比迭代公式：4、設 y=sinx，當取 x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式計算x=1.75的函數值時，函數值y0, y1, y2應取幾位小數 ? 5、已知單調連續函數y=f(x)的如下數據：xi-0.11 0.00 1.50 1.80 f(xi) -1.23 -0.10 1.17 1.58

24、若用插值法計算， x 約為多少時 f(x)=1。(計算時小數點后保留5 位)。6、應用牛頓法于方程，導出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。 （計算時小數點后保留4 位)。33846512321432431421xxxxxxxxxxxx01)(2xaxf65843312431432321421xxxxxxxxxxxx65843312431432321421xxxxxxxxxxxx華南農業大學期末考試試卷（a 卷）2007 學年第二學期考試科目：數值分析考試時間： 120 分鐘學號姓名年級專業題號一二三四總分1 2 3 4 5 6 得分評閱人一、判斷題（每小題2 分，共 10 分）1. 用計

25、算機求1000100011nn時，應按照n從小到大的順序相加。（）2. 為了減少誤差 ,應將表達式20011999改寫為220011999進行計算。（）3. 用數值微分公式中求導數值時，步長越小計算就越精確。（）4. 采用龍格庫塔法求解常微分方程的初值問題時，公式階數越高，數值解越精確。（）5. 用迭代法解線性方程組時，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數矩陣及其演變方式有關，與常數項無關。（）二、填空題（每空2 分，共 36 分）1. 已知數 a 的有效數為0.01 ，則它的絕對誤差限為_ ，相對誤差限為_. 2. 設1010021,5 ,1301ax則1a_ ，2x_ ，ax_. 3. 已知

26、53( )245 ,f xxxx則 1,1,0f, 3, 2,1,1,2,3f . 4. 為使求積公式1123133( )()(0)()33f x dxa fa fa f的代數精度盡量高，應使1a，2a，3a，此時公式具有次的代數精度。5. n階方陣 a 的譜半徑()a與它的任意一種范數a的關系是. 6. 用迭代法解線性方程組axb時，使迭代公式(1)( )(0,1,2,)kkxmxnk產生的向量序列( )kx收斂的充分必要條件是 . 7. 使用消元法解線性方程組axb時，系數矩陣a可以分解為下三角矩陣l和上三角矩陣u的 乘 積 ， 即.al u若 采 用 高 斯 消 元 法 解axb， 其

27、中4221a， 則l_，u_；若使用克勞特消元法解axb，則11u_ ；若使用平方根方法解axb，則11l與11u的大小關系為_ （選填： ， =，不一定）。8. 以步長為1 的二階泰勒級數法求解初值問題(0)1yxyy的數值解，其迭代公式為_. 三、計算題（第13、6 小題每題8 分，第 4、5 小題每題7 分，共 46 分）1.以02x為初值用牛頓迭代法求方程3( )310f xxx在區間(1,2)內的根，要求（1）證明用牛頓法解此方程是收斂的；（2）給出用牛頓法解此方程的迭代公式，并求出這個根（只需計算12,x x計算結果取到小數點后4 位） 。2.給定線性方程組1231231230.4

28、0.410.40.820.40.83xxxxxxxxx（1）分別寫出用jacobi 和 gauss-seidel迭代法求解上述方程組的迭代公式；（2）試分析以上兩種迭代方法的斂散性。3.已知函數( )yf x在如下節點處的函數值x-1 0 1 2 y1 4 3 0 （1）建立以上數據的差分表；（2）根據后三個節點建立二階牛頓后插公式2( )p x，并計算(1.1)y的近似值；（3）采用事后估計法計算（2）中近似值的截斷誤差（結果保留四位小數）。4.已知如下數據表，試用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多項式。x -1 0 1 2 y 1 2 5 0 5.已知函數( )yf x在以下節點處的函數值

29、，利用差商表求(3)f和(3)f的近似值。6.寫出前進歐拉公式、后退歐拉公式，并由這兩個公式構造一個預估校正公式求解下列常微分方程的數值解。22(01,0.2)(0)0yxyxhyx 1 3 4 y 2 1 8 四、 （ 8 分） 已知 n+1 個數據點( ,)(0,1,2, )iix yin，請用多種方法建立這些數據點之間的函數關系，并說明各種函數的適用條件。華南農業大學期末考試答案及評分標準（a 卷）2007 學年第二學期考試科目：數值分析一、判斷題： （每小題2 分，共 10 分）1. 2. 3. 4. 5. 二、填空題： （每空 2 分，共 36 分）1.0.005或20.510，0.

30、52. 5, 26,153.0,24. 1,0,1,35. ( )aa6.()1m7. 1042, 1,102128. 11()(1)2nnnnnnyyxyxy或11.52.50.5,0,1,2,nnnyxyn三、解答題（第14 小題每題8 分，第 5、6 小題每題7 分，共 46 分）1. （1）證明：3( )31f xxx，由于a) (1)30,(2)10,ffb) 2( )330(1 ,2),fxxxc) ( )60(1,2),fxxx即( )fx在(1,2)上不變號，d) 對于初值02x，滿足(2)(2)0,ff所以用牛頓迭代法求解此方程是收斂的。4 分（2）解：牛頓迭代法的迭代公式為

31、312()31()33nnnnnnnnf xxxxxxfxx2 分取初值02x進行迭代，得11.8889,x1 分21.8795.x1 分2. 解： （1）jacobi 迭代公式為(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.40.410.40.820.40.83kkkkkkkkkxxxxxxxxx2 分gauss-seidel迭代公式為(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.40.410.40.820.40.83kkkkkkkkkxxxxxxxxx2 分（ 2 ）jacobi迭代 矩 陣 的 特征 方 程 為0.40.40.40.800.40.

32、8， 展 開 得30.960.2560，即(0.8)(0.40.505)(0.40.505)0，從而得123-1.0928,0.8000,0.2928，（或由單調性易判斷必有一個大于1 的特征根，）因此迭代矩陣的譜半徑等于必大于1，所以 jacobi 迭代法發散。2 分gauss-seidel迭代矩陣的特征方程為0.40.40.40.800.40.8，展開得2(0.8320.128)0，解得1230,0.628,0.204,迭代矩陣的譜半徑小于 1，所以 gauss-seidel迭代法收斂。2 分3. 解： （1）建立差分表xyy2y3y101214303134222 分（2）建立牛頓后插公式

33、為223202211232214( )()()()!()()()pxxxxxxxx則所求近似值為21 12 79( . ).p3 分（3）根據前三個節點建立牛頓后插公式為1221431112312124( )( )()()!()()pxxxxxx xxx則121 12 68( )( . ).p根據事后誤差估計法122220 90 91( )()( . )( . )xrxppx故截斷誤差20 91 12 792 680 04712 1.( . )( .).r3 分4. 解：設所求二次最小平方逼近多項式為22012( ).p xaa xa x根據已知數據，得01211 111002,1115124

34、0amaaya2 分則4268268 ,468186m mm y1 分建立法方程組為0124268268468186aaa2 分解得0123.5,1.5,1.5.aaa1 分從而得所求一次最小平方逼近多項式為21( )3.5 1.51.5.p xxx1 分5. 解：設2( )p x為已知節點數據的插值二次多項式。構造如下差商表：xy一階差商二階差商1433322281(3)(3)pp22273, 33, 3pp22524,3,33,3,3pp2 分因為二次多項式的二階差商為常數，又2( )p x是( )f x的插值函數，故有2254,3,33,3,32pp2 分而223, 3754, 3,33

35、42pp，因此得293,32p，1 分由于1()( )! ,knkfxk px x xx，從而得2933 32( ) , ,fp2323 3 35( )! , , .fp2 分6. 解：前進歐拉公式：221(,)0.20.2nnnnnnnyyh f xyyxy 1 分后退歐拉公式：2211111(,)0.20.2nnnnnnnyyh f xyyxy 1 分預估時采用歐拉公式*2210.20.2nnnnyyxy1 分校正時采用后退歐拉公式22*1110.20.2nnnnyyxy1 分由初值000002,.xyh知，節點分別為0.2 , (1,2,3,4,5)ixii當10.2,x*2210000

36、.20.20,yyxy2210110 20 20 008*.yyxy，1 分當20.4,x*2221110.20.20.0160,yyxy2221220 20 20 0401*.yyxy. 1 分當30.6,x*2232220.20.20.0724,yyxy2232330 20 20 1131*.yyxy. 1 分當40.8,x*2243330.20.20.1877,yyxy2243440 20 20 2481*.yyxy. 1 分當51.0,x*2254440.20.20.3884,yyxy2254550 20 20 4783*.yyxy. 四、 （8 分）答： 1、可以建立插值函數：（1）

37、newton 基本差商公式00100121001110()()() ,()() ,()()(),nnnpxf xxxf x xxxxxf xx xxxxxxxf xxx1 分（2）lagrange插值多項式0011( )()()()()niinnlxa f xa f xa f xa f x其中0110110 1()()()(), (, , )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxainxxxxxxxx. 1 分這兩類插值函數的適用條件是：n 不太大；而且要求函數嚴格通過已知數據點。2 分2、可以建立擬合函數：2012( )mmmpxaa xa xa x1 分其中系數012,na

38、 a aa滿足法方程組m mam y, 200000021111112()1()1,()1mmmmnnnnnaf xyxxxaf xyxxxmayaf xyxxx1 分擬合函數的適用條件是：n 比較大，而且并不要求函數嚴格通過已知數據點，或者已知數據點本身的誤差較大。2 分數值分析模擬試卷1 一、填空（共30 分，每空3 分）1 設1511a，則 a 的譜半徑)(a_， a 的條件數)(1acond=_. 2 設,2, 1 ,0, 53)(2kkhxxxfk，則,21nnnxxxf_, ,321nnnnxxxxf， _. 3 設21 ,1210,)(2323xcxbxxxxxxs，是以0， 1

39、， 2 為節點的三次樣條函數，則b=_,c=_. 4 設0)(kkxq是區間 0，1上權函數為xx)(的最高項系數為1 的正交多項式族，其中1)(0 xq，則10)(dxxxqk_，)(2xq_. 5 設11001aaaaa，當a_時，必有分解式，其中 l 為下三角陣，當其對角線元素)3 ,2, 1(ilii滿足條件 _時，這種分解是唯一的. 二、 （ 14 分） 設49, 1,41,)(21023xxxxxf, （1） 試求)(xf在49,41上的三次 hermite 插值多項式)(xh使滿足2, 1 , 0),()(ixfxhii，)()(11xfxh. （2）寫出余項)()()(xhxf

40、xr的表達式 . 三、 （ 14 分） 設有解方程0cos2312xx的迭代公式為nnxxcos3241，（1） 證明rx0均有xxnxlim（x為方程的根） ；（2） 取40 x，用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；（3）此迭代的收斂階是多少？證明你的結論. 四、 (16 分) 試確定常數a，b，c 和 ，使得數值積分公式有盡可能高的代數精度. 試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為gauss型的？五、 （15 分）設有常微分方程的初值問題00)(),(yxyyxfy，試用taylor 展開原理構造形如)()(11011nnnnnffhyyy的方法， 使其具有二階

41、精度，并推導其局部截斷誤差主項 . 六、 （ 15 分）已知方程組bax，其中21,13 .021ba，（1） 試討論用jacobi 迭代法和gauss-seidel迭代法求解此方程組的收斂性. （2） 若有迭代公式)()()()1(baxaxxkkk，試確定一個的取值范圍，在這個范圍內任取一個值均能使該迭代公式收斂. 七、 （ 8 分） 方程組，其中， a 是對稱的且非奇異.設 a 有誤差，則原方程組變化為，其中為解的誤差向量，試證明.其中1和2分別為 a 的按模最大和最小的特征值. 數值分析模擬試卷2 填空題（每空2 分，共 30 分）1.近似數231.0 x關于真值229.0 x有_位有

42、效數字；2.設)(xf可微，求方程)(xfx根的牛頓迭代格式是_ ；3.對1)(3xxxf，差商3,2, 1 ,0 f_；4,3 ,2 ,1 ,0f_；4.已知1223,)3, 2(ax，則| ax_，)(1acond_ ；5.用二分法求方程01)(3xxxf在區間 0,1 內的根，進行一步后根所在區間為_，進行二步后根所在區間為_；6.求解線性方程組04511532121xxxx的高斯賽德爾迭代格式為_ ； 該 迭 代 格 式 迭 代 矩 陣 的 譜 半 徑)(g_；7.為使兩點數值求積公式：111100)()()(xfxfdxxf具有最高的代數精確度，其求積節點應為0 x_ , 1x_,1

43、0_. 8.求 積 公 式)2()1 (23)(30ffdxxf是 否 是 插 值 型 的 _ ， 其 代 數 精 度 為_。二、 （ 12 分） (1)設lua，其中l為下三角陣，u為單位上三角陣。已知2100121001210012a，求l，u。(2)設a為66矩陣，將a進行三角分解：lua，l為單位下三角陣，u為上三角陣，試寫出l中的元素65l和u中的元素56u的計算公式。三、 （ 12 分）設函數)(xf在區間 0,3上具有四階連續導數,試確定一個次數不超過3 的多項式)(xh，滿足3)1 ()1(, 1)2()2(,1)1()1 (,0)0()0(fhfhfhfh，并寫出插值余項。（

44、12 分）線性方程組22112122bxxbxx（1） 請寫出解此方程組的賽德爾迭代法的迭代格式，并討論收斂性。（2） 設2，給定松弛因子21，請寫出解此方程組的sor 方法的迭代格式，并討論收斂性。五、 （ 7 分）改寫方程042xx為2ln/)4ln(xx的形式，問能否用迭代法求所給方程在 1,2內的實根？六、 （ 7分）證明解方程0)(23ax求3a的牛頓迭代法僅為線性收斂。七、 （ 12 分）已知.43,21,41210 xxx（1）推導以這3個點作為求積節點在0,1上的插值型求積公式；（2）指明求積公式具有的代數精度；（3） 用所求公式計算102dxx。八、 （ 8 分）若inxxx

45、xxxxxf),()()(10互異，求,10pxxxf的值，這里.1np數值分析模擬試卷3 一、填空題（每空3 分，共 30 分）1設1234)(248xxxxf，則差商2,2,2810f；2在用松弛法(sor) 解線性方程組bax時，若松弛因子滿足1|1|，則迭代法；3設, 0)(, 0)(*xfxf要使求*x的newton迭代法至少三階收斂，)(xf需要滿足；4. 設)133)(2()(23xxxxxf,用 newton 迭代法求21x具有二階收斂的迭代格式為 _ ；求12x具有二階收斂的迭代格式為_；5已知1327a，則)(a_,)(acond_ 6. 若1x，改變計算式1lglg2xx

46、=_，使計算結果更為精確；7過節點) 3, 2, 1 , 0(,3ixxii的插值多項式為_ ；8. 利用拋物 (simpson)公式求212dxx= 。二、 （ 14 分）已知方陣123111122a，(1) 證明：a 不能被分解成一個單位下三角陣l 和一個上三角陣u 的乘積；(2) 給出 a 的選主元的doolittle 分解，并求出排列陣；(3) 用上述分解求解方程組bax，其中tb)4, 2, 5.3(。三、 （ 12 分）設函數)(xf在區間 0,3上具有四階連續導數,試確定一個次數不超過3 的多項式)(xh，滿足40)1()1(,10) 1()1 (,1) 1()1(,0)0()0

47、(fhfhfhfh，并寫出插值余項。四、（ 10 分）證明對任意的初值0 x，迭代格式nnxxcos1均收斂于方程xxcos的根，且具有線性收斂速度。五、（ 12 分）在區間 -1,1 上給定函數14)(3xxf，求其在, 12xxspan中關于權函數1)(x的最佳平方逼近多項式。 （可用數據：2123)(,)(, 1)(2210 xxpxxpxp）六、 (12分)(1)試導出切比雪夫(chebyshev)正交多項式)1 , 1, 2, 1 , 0)(arccoscos()(xnxnxtn的三項遞推關系式：),2 ,1()()(2)(,)(, 1)(1110nxtxxtxtxxtxtnnn（2

48、）用高斯切比雪夫求積公式計算積分dxxxxi202)2(1，問當節點數n取何值時，能得到積分的精確值？并計算它。七、 （ 10 分）驗證對)1(,)1(),(),()(2,13121311hktyhtxfkthkythxfkyxfkkkhyytnnnnnnnn為 2 階格式 . 參考答案1 一、 16)(a，)(1acond=6. 2,21nnnxxxf=3，,321nnnnxxxxf，=0. 3b=2，c=3. 40,00,21kk；10356)(22xxxq.5)3,2, 1(0);21,21(ilaii二、 (1) 25145023345026322514)(23xxxxh(2) ).4

49、9,41(),49()1)(41(169!41)(225xxxxr三、（1）32l;（2）347.3x;（ 3）線性收斂 .四、512,916,910bca;求積公式具有5 次代數精度，是gauss 型的 . 五、41472110，；截斷誤差主項為)(833nxyh. 六、 （ 1）, 16 . 0)(,6.0)(gsjbb因此兩種迭代法均收斂. （2）當06.011a時，該迭代公式收斂.參考答案2 一、 12 2), 1 , 0()()(1nxfxfxxnnnn31, 0 47, 7255)43,21(),1 ,21(6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx

50、7. 32,3210 xx; 1 8. 是, 1 二、 (1) 1000431000321000211,4510003410002310002ul(2) )(;)(4654356532652165155565545643563256215616565ululululauuululululal三、)2()1(! 4)()(),2)(1(2)(2)4(xxxfxrxxxxxh四、 (1) )1(12)1(2)(21)1(12kkkkxbxxbx, 1時收斂(2) )1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212kkkkkkxxbxxxbx, 收斂五、收斂七、 （ 1）)43(32)21(

51、31)41(32fff（2） 2 (3)31八、110時為時為n，pnp參考答案3 一、 14 2發散30)(*xf4), 1 , 0()()(1nxfxfxxnnnn,), 1 , 0()()(31nxfxfxxnnnn52608, 49 6.1lg2xx7. 3x8. 37二、 (2) 先交換 2、3 兩行，交換1、2 兩行，010001100,5 .0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001pul(3) )5 .4, 1 ,5 .1(三、3)4(2)1(! 4)()(,)1(9)1(11)(xxfxrxxxxxxh五、10512pp六、1n，21.

52、已知325413. 0,325413*2*1xx都有 6 位有效數字，求絕對誤差限。（4 分）解：由已知可知 ,n=6 5.01021,0,6,10325413.0016*1絕對誤差限nkkx2 分620*21021,6,0,10325413.0絕對誤差限nkkx2 分2.已知001a220440求21,aaa（6 分）解：,88, 4 , 1max1a1 分, 66 ,6, 1maxa1 分aaatmax21 分001aat420420001220440=00108032002 分3232,8 , 1max)(maxaat1 分24322a3.設32)()(axxf（6 分）寫出 f(x)=

53、0 解的 newton 迭代格式當 a 為何值時，)(1kkxx（k=0,1）產生的序列kx收斂于2解：newton 迭代格式為：xaxxxaxaxxaxxxfxfxxkkkkkkkkkk665)(665)(6)()( )(22321 3分時迭代收斂即當222, 11210)2( ,665)( 2aaxax 3分4.給 定 線 性 方 程 組ax=b ， 其 中 ：13a22，13b用 迭 代 公 式)()()()1(kkkaxbxx（k=0,1）求解ax=b ，問取什么實數，可使迭代收斂（8 分）解：所給迭代公式的迭代矩陣為21231aib2 分其特征方程為0)21 (2)31 (bi2 分

54、即，解得41,1212 分要使其滿足題意，須使1)(b，當且僅當5 .002 分5.設方程 ax=b ，其中211a212112，765b試討論解此方程的jacobi 迭代法的收斂性，并建立gauss-seidel迭代格式（9 分）解：udla210)(1uldbj2020123 分0, 03213jbi2 分即10)(jb，由此可知jacobi 迭代收斂1 分gauss-seidel迭代格式：)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225kkkkkkkkkxxxxxxxxx（k=0,1,2,3）3 分6.用 doolittle 分解計算下列3 個線性代數方程

55、組：iibax（ i=1,2,3）其中222a331421，23121,974xbxbb（12 分）解：11bax2223314219741xa=111110100002021211=lu 3 分由 ly=b1，即111110100y=974得 y=2341 分由 ux1=y ，即002021211x1=234得 x1=1112 分22bax222331421x2=111由 ly=b2=x1 ，即111110100y=111得 y=0011 分由 ux2=y ，即002021211x2=001得 x2=005.02 分33bax222331421x3=005 .0由 ly=b3=x2 ，即11

56、1110100y=005.0得 y=05 .05.01 分由 ux3=y ，即002021211x3=05.05.0得 x3=025.0375.02 分7.已知函數y=f(x) 有關數據如下：要求一次數不超過3 的 h 插值多項式，使1133)(,)(yxhyxhii（6 分）解：作重點的差分表，如下：3 分21021101011001003)(,)(,)(,)(xxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxh=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) =232xx3 分8.有如下函數表：試計算此列表函數的差分表，并利用newton 前插公式給出它的插值多項式（7 分）解：由已知

57、條件可作差分表，3 分iihxxi0（i=0,1,2,3）為等距插值節點，則newton 向前插值公式為：033210022100003! 3)()(!2)(! 1)()(fhxxxxxxfhxxxxfhxxfxn=4+5x+x(x-1) =442xx4 分9.求 f(x)=x 在 -1,1上的二次最佳平方逼近多項式)(2xp，并求出平方誤差（8 分）解：令22102)(xaxaaxp2 分取 m=1, n=x, k=2x,計算得：(m,m)=dx111=0 (m,n)= dxx11=1 (m,k)= dxx112=0 (n,k)= dxx113=0.5 (k,k)= dxx114=0 (m,

58、y)= dxx11=1 (n,y)= dxx112=0 (k,y)= dxx113=0.5 得方程組：5.05.005.011201aaaa3 分解之得caaca2, 1,210（c 為任意實數，且不為零）即二次最佳平方逼近多項式222)(cxxcxp1 分平方誤差：32),(202222222iiiyafpf2 分10. 已知如下數據： 用復合梯形公式，復合 simpson 公式計算10214dxx的近似值 （保留小數點后三位）（8 分）解：用復合梯形公式：)1()87()43()85()21()83()41()81(2)0(1618ffffffffft=3.139 4 分用復合 simps

59、on 公式：)1 ()43()21()41( 2)87()85()83()81(4)0(2414fffffffffs=3.142 4 分11. 計算積分20sin xdxi，若用復合 simpson 公式要使誤差不超過51021， 問區間2,0要分為多少等分?若改用復合梯形公式達到同樣精確度，區間2,0應分為多少等分? （10分）解： 由 simpson公式余項及xxfxxfsin)(,sin)()4(得544)4(2041021)1()4(360)(max)4(1802)(nxfnfrxn 2分即08.5,6654nn，取 n=6 2分即區間2,0分為 12 等分可使誤差不超過51021 1

60、分對梯形公式同樣1)( max20 xfx，由余項公式得51021)2(122)(nfrn2 分即255, 2.254nn取 2分即區間2,0分為 510等分可使誤差不超過51021 1分12. 用改進 euler 格式求解初值問題：1)1 (0sin2yxyyy要求取步長h 為 0.1， 計算 y （1.1）的近似值（保留小數點后三位）提示： sin1=0.84,sin1.1=0.89 （6 分）解：改進 euler 格式為：),(),(2),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy2 分于是有)sinsin(05.0)sin(1 .012112121nnnnnnnnnn