1、1 數(shù) 學 模 型 方 法函數(shù)關(guān)系可以說是一種變量相依關(guān)系的數(shù)學模型數(shù)學模型方法是處理科學理論問題的一種經(jīng)典方法，也是處理各類實際問題的一般方法掌握數(shù)學模型方法是非常必要的在此，對數(shù)學模型方法作一簡述數(shù)學模型方法（mathematical modeling ) 稱為 mm 方法它是針對所考察的問題構(gòu)造出相應的數(shù)學模型，通過對數(shù)學模型的研究，使問題得以解決的一種數(shù)學方法一、數(shù)學模型的含義數(shù)學模型 是針對 于現(xiàn)實世界的某一特定對象 ，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化和假設(shè) ，運用適當?shù)臄?shù)學工具，采用形式化語言，概括 或近似地表述出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu) 它或者能 解釋 特定對象的現(xiàn)

2、實性態(tài)，或者能預測對象的未來狀態(tài)，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制數(shù)學模型既源于現(xiàn)實又高于現(xiàn)實，不是實際原形，而是一種模擬，在數(shù)值上可以作為公式應用，可以推廣到與原物相近的一類問題，可以作為某事物的數(shù)學語言，可譯成算法語言，編寫程序進入計算機二、數(shù)學模型的建立過程建立一個實際問題的數(shù)學模型，需要一定的洞察力和想像力，篩選、拋棄次要因素，突出主要因素，做出適當?shù)某橄蠛秃喕^程一般分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型，再從數(shù)學模型到現(xiàn)實對象的循環(huán)可用流程圖表示如下：數(shù)學模型的解答現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型表達（歸納）現(xiàn)實對象驗證（檢驗）解釋（實際解答）（演繹

3、） 求解數(shù)學模型的解答表述根據(jù)建立數(shù)學模型的目的和掌握的信息，將實際問題翻譯成數(shù)學問題，用數(shù)學語言確切地表述出來這一個關(guān)鍵的過程，需要對實際問題進行分析，甚至要做調(diào)查研究，查找資料，對問題進行簡化、假設(shè)、數(shù)學抽象，運用有關(guān)的數(shù)學概念、數(shù)學符號和數(shù)學表達式去表現(xiàn)客觀對象及其關(guān)系如果現(xiàn)有的數(shù)學工具不夠用時，可根據(jù)實際情況，大膽創(chuàng)造新的數(shù)學概念和方法去表現(xiàn)模型求解選擇適當?shù)姆椒ǎ蟮脭?shù)學模型的解答解釋數(shù)學解答翻譯回現(xiàn)實對象，給實際問題的解答驗證檢驗解答的正確性例如 , 哥尼斯堡一條普雷格爾河，這條河有兩個支流，在城中心匯合成大河，河中間有一小島，河上有七座橋，如圖1 所示 18 世紀哥尼斯堡的很多居

4、民總想一次不重復地走過這七座橋，再回到出發(fā)點可是試來試去總是辦不到，于是有人寫信給當時著名的數(shù)學家歐拉，歐拉于 1736 年，建立了一個數(shù)學模型解決了這個問題他把a、b、c、d這四塊陸地抽象為數(shù)學中的點，把七座橋抽象為七條線，如圖2 所示2 小島a陸地 d陸地 c半島 bcabd圖 1 圖 2 人們步行七橋問題，就相當于圖2 的一筆畫問題，即能否將圖2 所示的圖形不重復地一筆畫出來，這樣抽象并不改變問題的實質(zhì)哥尼斯堡七橋問題是一個具體的實際問題，屬于數(shù)學模型的現(xiàn)實原型經(jīng)過理想化抽象所得到的如圖2所示的一筆畫問題便是七橋問題的數(shù)學模型在一筆畫的模型里，只保留了橋與地點的連接方式，而其他一切屬性則

5、全部拋棄了所以從總體上來說，數(shù)學模型只是近似地表現(xiàn)了現(xiàn)實原型中的某些屬性，而就所要解決的實際問題而言，它是更深刻、更正確、更全面地反映了現(xiàn)實，也正由此，對一筆畫問題經(jīng)過一定的分析和邏輯推理，得到此問題無解的結(jié)論之后，可以返回到七橋問題，得出七橋問題的解答，不重復走過七座橋回到出發(fā)點是不可能的數(shù)學模型，從廣義上講，一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種方程式、各種函數(shù)關(guān)系，以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可以叫做數(shù)學模型從狹義上講，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關(guān)系的結(jié)構(gòu)，才叫做數(shù)學模型在現(xiàn)代應用數(shù)學中, 數(shù)學模型都作狹義解釋而建立數(shù)學模型的目的，主要是為了解決具體的實

6、際問題三、模型的建立研究數(shù)學模型，建立數(shù)學模型，進而借鑒數(shù)學模型，對提高解決實際問題的能力，以及提高數(shù)學素養(yǎng)都是十分重要的建立模型的步驟可分為： (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據(jù)所給條件，運用數(shù)學或物理知識，確定等量關(guān)系； (3) 具體寫出解析式)(xfy，并指明定義域例 重力為p的物體置于地平面上，設(shè)有一與水平方向成角的拉力f，使物體由靜止開始移動，求物體開始移動時拉力f與角之間的函數(shù)模型（圖3） 解由物理知，當水平拉力與摩擦力平衡時，物體開始移動，而摩擦力是與正壓力sinfp成正比的（設(shè)摩擦系數(shù)為） ，故有)sin(cosfpf, 即sincospf

7、（090） . 建立函數(shù)模型是一個比較靈活的問題，無定法可循，只有多做些練習才能逐步掌握fp圖 3 3 四、數(shù)學建模方法數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型，建立數(shù)學模型的過程就是數(shù)學建模的過程（見數(shù)學建模過程流程圖）數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的數(shù)學模型的一種強有力的數(shù)學手段常用的數(shù)學建模方法如下：（一）機理分析法從基本理論以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導出數(shù)學模型的方法1. 比例分析法建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本、最常用的方法. 2. 代數(shù)方法求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號、圖形）的主要方法. 3. 邏輯方法是數(shù)學理論研究的重要方法，用以解決

8、社會學和經(jīng)濟學等領(lǐng)域的實際問題，在決策論，對策論等學科中得到廣泛應用. 4. 常微分方程解決兩個變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立“瞬時變化率”的表達式5. 偏微分方程解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律（二）數(shù)據(jù)分析法從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學模型的方法1. 回歸分析法用于對函數(shù)( )f x的一組觀測值(,()(1,2,)iixf xin，確定函數(shù)的表達式，由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法2. 時序分析法處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計方法 ( 三) 仿真和其他方法1. 計算機仿真（模擬）實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗 離散系統(tǒng)仿真有一組狀態(tài)變量 連續(xù)系統(tǒng)

9、仿真有解析表達式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2. 因子試驗法在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據(jù)試驗結(jié)果進行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)3.人工現(xiàn)實法基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達到的目標，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng)五、 幾個數(shù)學模型1. 如何預報人口的增長人口的增長是當前世界上引起普遍關(guān)注的問題，我們經(jīng)常在報刊上看見關(guān)于人口增長的預報，說到未來某個時期全世界( 或某地區(qū) ) 的人口將達到多少多少億你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預報在數(shù)字上常有較大的差別，這顯然是由于用了不同的人口模型計算的結(jié)果建立模型的目的: 在對出生和死亡的概率作出適當假設(shè)的基礎(chǔ)上，尋求人口x(t)的變化規(guī)

10、律，用它描述人口的發(fā)展狀況先看一種最簡單的計算方法要預報未來若干年的人口，最重要的影響因素自然是今年的人口和今后這些年的增長率 ( 即人口出生率減去死亡率 ) ，根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)進行人口預報是十分容易的記今年人口為x0，k 年后人口為xk，年增長率為r ，則預報公式為xkx0(1+r )k顯然，這個公式的基本前提是年增長率r 保持不變這個條件在什么情況下才成立，如果不成立又該怎么辦 ? 4 歷史上，人口模型的發(fā)展過程回答了這個問題早在 18 世紀人們就開始進行人口預報工作了，一二百年來發(fā)展了許多模型，其中最簡單的有兩種. 2. 指數(shù)增長模型 ( 馬爾薩斯人口模型) 英國人口學家馬爾薩斯( mal

11、thus l766 1834) 根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于 1798 年提出了著名的人口指數(shù)增長模型這個模型的基本假設(shè)是：人口的增長率是常數(shù)，或者說， 單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口成正比記時刻 t 的人口為x(t)，初始時刻 ( t0) 的人口為 x0，人口增長率為r，r 是單位時間內(nèi)x x(t)的增量與x(t)的比例系數(shù)根據(jù)r 是常數(shù)的基本假設(shè)，t 到 t+ t 時間內(nèi)人口增量為x(t+ t)(tx= r x (t)t 于是 x(t)滿足如下的微分方程0)0(xxrxdtdx由這個線性常系數(shù)微分方程容易解出rtextx0)(表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長( r0) 將 t 以年為單位離

12、散化，人口以re為公比的等比數(shù)列增長因為這時r 表示年增長率，通常r 020nnc從而tttenceentetgtd)(220)(2)(02)()()(ttenen)(20)(0所以 1)()()(0tteentd (12) 10 )(td的大小表示了人口)(tx在期望值)(te附近的波動范圍(12) 式說明這個范圍不僅隨著時間的延續(xù)和凈增長概率r的增加而變大，而且即使當r不變時，它也隨著和的上升而增長這就是說，當出生和死亡頻繁出現(xiàn)時，人口波動范圍變大。5. 報童的訣竅報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回報童每天如果購進的報紙?zhí)伲粔蛸u會少賺錢；如果購進太多，賣不完要賠錢

13、建立模型的目的: 為報童籌劃一下，他應如何確定每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大的收入模型假設(shè)1.零售價為a，購進價為b，退回價為c，abc; 即：售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c2.每天報紙的需求量是隨機變量，且rr 的概率是prr=f(r) (r=0,1,2,) 將 r 視為連續(xù)變量更便于分析和計算，這時概率 f(r)轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)p(r) . 3.報童每天購進n 份報紙時的收人為w, 4.報童每天購進n 份報紙時的平均收人為g(n)，建模與求解根據(jù)假設(shè)條件知.,)(,0, )()(nrnbanrrncbrbaw (1) 那么nndrrnpbadrrprncbrbaewng)()()

14、()()()(0 (2) nnndrrpbandrrpcbndrrprcbrba)()()()()()()(00問題歸結(jié)為 : 求 n 使 g(n)最大計算nndrrpbannpbarnpcbdrrpcbnnpcadndg)()()()()()()()()()(0nndrrpbadrrpcb)()()()(0令0dndg, 得到cbbadrrpdrrpnn)()(0 (3) 11 因為1)()()(00drrpdrrpdrrpnn，所以 (3) 式又可化表為nndrrpbadrrpcb00)(1)()()(badrrpbadrrpcbnn00)()()()(得cabadrrpn0)( (4) 使報童日平均收入達到最大的購進量n 應滿足 (4) 式根據(jù)需求量的概率密度p(r) 的圖形很容易從(3) 式確定購進量n。在下圖中用p1、p2分別表示曲線p(r)下的兩塊面積，則 (3) 式可記作cbbapp21 (5) 因為當購進n 份報紙時 , ndrrpp01)(是需求量r 不超過 n 的概率，即賣不完的概率；ndrrpp)(2是需求量r 超過 n 的概率，即賣完的概率. 所以 (3) 式cbbadrrpdrrpnn)()(0表明 : 購進的份數(shù)n 應該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢a-b 與退回一份賠的錢b-c之比顯然，當報童與報社簽訂的