/福建省龍巖市2024-2025學年高二下冊第二次月考(3月)數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B. C. D.【正確答案】A【分析】應用空間向量坐標的線性運算求、的坐標，根據空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A2.設f(x)是可導函數，若，則（）A. B. C. D.1【正確答案】A【分析】根據導數的定義計算即可得解【詳解】由可得，所以，故選：A3.已知，若不能構成空間的一個基底，則（）A.3 B.1 C.5 D.7【正確答案】B【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結果.【詳解】若不能構成空間的一個基底，共面，存在，使，即，解得，故選.4.設直線l的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據線面平行時直線的方向向量和法向量的位置關系判斷.【詳解】當時，直線或直線在平面上，故充分性不成立，當時，則必有，必要性成立，故是的必要不充分條件.故選：B.5.如圖，空間四邊形OABC中，，，，且，，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用空間向量的線性運算求解.【詳解】，.故選：C6.已知函數在區(qū)間上為單調遞增函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據題意得出在區(qū)間上恒成立，利用分離參數思想化為在上恒成立，求出的取值范圍即可．【詳解】∵函數在區(qū)間上為單調遞增函數，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函數在上單調遞減，所以，即實數的取值范圍是，故選：D.7.設函數是定義在上的函數，其導函數為，若，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】構造函數，根據題設條件以及導數，得出函數的單調性，將變形為，即，結合單調性，即可得出解集.【詳解】令所以函數上單調遞增可變形為即，解得故選：D本題主要考查了根據函數的單調性解不等式，屬于中檔題.8.已知函數圖象上存在關于y軸對稱的兩點，則正數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先分析的單調性，可得對稱點分別位于與的圖象上，從而得到，進而利用同構法，構造函數得到，再構造函數，由此得解.【詳解】因為，所以當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；又的圖象上存在關于y軸對稱的兩點，所以這兩個對稱點分別位于與的圖象上；設在圖象上，則在函數的圖象上，且，故有，即，進而；設，則，又恒成立，故在上單調遞增，所以，即，令，則在上恒成立，故在上單調遞減，故，則，于是．故選：B．關鍵點睛：本題解決的關鍵在于利用同構法，將轉化為，從而構造了函數，由此得解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全都選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.下面四個結論正確的是（）A.空間向量，若，則B.若空間四個點，，則三點共線C.已知向量，若，則為鈍角D.任意向量滿足【正確答案】AB【分析】由空間向量的數量積及其運算性質可判斷ACD，由空間向量的基本定理與共線定理可判斷B【詳解】對于A：因為，，則，故A正確；對于B：因為，則，即，又與有公共點，所以三點共線，故B正確；對于C：，若為鈍角：則，且與不共線，由得，當時，，即，由與不共線得，于是得當且時，為鈍角，故C錯誤；對于D：是的共線向量，而是的共線向量，故D錯誤，故選：AB10.已知函數，則（）A.曲線關于軸對稱 B.曲線關于原點對稱C.在上單調遞減 D.在上單調遞增【正確答案】AD【分析】求得函數的奇偶性判斷選項AB；利用導數求得在上的單調性判斷選項C；求得在上的單調性判斷選項D.【詳解】函數定義域為，，則函數為偶函數，曲線關于軸對稱.則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；當時，，，則當時，，單調遞增，則選項C判斷錯誤；當時，，，則當時，，單調遞增，則選項D判斷正確.故選：AD11.已知函數及其導函數的定義域均為R．記，若f(1－x)，g(x＋2)均為偶函數，下列結論正確的是（）A.函數f(x)的圖像關于直線x＝1對稱B.g(2023)＝2C.D.若函數g(x)在[1，2]上單調遞減，則g(x)在區(qū)間[0，2024]上有1012個零點【正確答案】ACD【分析】根據偶函數的性質，結合函數的對稱性的性質、函數的單調性逐一判斷即可.【詳解】因為f(1－x)是偶函數，所以，所以函數函數f(x)的圖像關于直線x＝1對稱，因此選項A正確；因為g(x＋2)為偶函數，所以有，因此函數關于直線對稱，由，因此函數關于點對稱，由，所以函數的周期為4，在中，令，得，在中，令，得，所以，故選項B不正確；由，令，得，因此選項C正確；因為函數關于點對稱，且在[1，2]上單調遞減，所以函數在也單調遞減，而函數關于直線對稱，所以函數在上單調遞增，且，所以當時，函數有兩個零點，當時，由函數的周期為4，可知函數的零點的個數為，所以選項D說法正確，故選：ACD關鍵點睛：根據函數的對稱性判斷函數的周期是解題的關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則實數x的值為____．【正確答案】【分析】根據兩向量的數量積為0求解可得所求．【詳解】∵，∴，解得．故答案為．本題考查數量積的運用，考查轉化能力和運算能力，解題時注意向量垂直于數量積的關系，屬于基礎題．13.已知函數有兩個不同極值點，則實數的取值范圍為___________．【正確答案】【分析】等價于有2個零點，再運用參數分離的方法構造函數，根據該函數的性質求解.【詳解】函數有2個極值點等價于有2個零點，令，，令，，當時，當時，是增函數，當時，是減函數，，當x趨于0時，趨于，當時，，，當x趨于時趨于0，的圖像大致如下：所以a的取值范圍是；故答案為.14.已知函數，，用min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數，則當h(x)恰有一個零點時，實數a的取值范圍為________【正確答案】或【分析】利用導數求出函數的單調性及極值，在同一坐標系作出，的圖象，數形結合得解.【詳解】因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值為，又在上單調遞減，且，因為恰有一個零點，如圖:所以或，即或，解得或故a|a>?14關鍵點點睛，利用函數圖象，可知恰有1個零點需滿足的條件，建立不等式求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，三棱柱中，為中點，．設，，．（1）試用表示向量；；（2）若，，求異面直線與所成角的余弦值．【正確答案】（1）；；（2）.【分析】（1）結合圖形，根據空間向量的加減數乘運算，即可求解；（2）由題知，進而根據向量模的公式得，，進而得，即可求解.【小問1詳解】因為D為中點，所以，因為，所以，所以，.【小問2詳解】因為，，所以，，，所以，又因為，所以，，所以，所以異面直線AE與所成角的余弦值為．16.設函數.（1）若曲線在點處的切線方程是，求a，b的值：（2）求函數的單調區(qū)間及極值【正確答案】（1）（2）答案見詳解【分析】（1）根據題意結合導數的幾何意義可知，列式求解即可；（2）求導，利用導數判斷原函數的單調區(qū)間和極值.【小問1詳解】由題意可知：，則因為曲線在點處的切線方程是，則，即，解得.【小問2詳解】因為，，當時，；當時，；可知函數的單調遞增區(qū)間為和；函數的單調遞減區(qū)間為，的極大值為，的極小值為.17.如圖所示，ABCD是邊長為40cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設．（1）若廣告商要求包裝盒側面積S(cm)最大，試問x應取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V(cm)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．【正確答案】（1）（2）；.【分析】（1）設包裝盒的底面邊長為，高為，將、用表示，利用二次函數的基本性質可求得的最大值及其對應的的值；（2）求得關于的函數表達式，利用導數法可求得的最大值及其對應的值，進而代入計算得出高及底面邊長的比值.【小問1詳解】設包裝盒的底面邊長為，高為，則由題意可得，，，其中，所以，因此，當時，取得最大值；【小問2詳解】根據題意，由（1）有，，由得，（舍）或.當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；.所以，當時，函數取得極大值，也是最大值.此時包裝盒的高與底面邊長的比值.18.如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面，為中點．（1）平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）線段上是否存在一點，使∥平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值．【正確答案】（1）證明見詳解（2）（3）存在，【分析】（1）根據題意可得，再結合面面垂直性質分析證明；（2）建系標點，求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角；（3）設，利用空間向量結合線面平行可得，即可得結果.【小問1詳解】因為，為中點，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標原點，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設平面的法向量，則，令，則，可得由題意可知：平面法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】線段上是否存在一點，使平面.設，則，若平面，則，可得，解得，即，可知，所以存在點，使平面，此時.19.若存在有限個，使得，且不是偶函數，則稱為“缺陷偶函數”，稱為的偶點．（1）證明：為“缺陷偶函數”，且偶點唯一．（2）對任意，函數都滿足．①若是“缺陷偶函數”，證明：函數有2個極值點．②若，證明：當時，．參考數據：．【正確答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據，即可解方程求解，（2）①根據，取，可得，結合新定義可得，即可對求導，根據導函數的正負確定函數單調性，結合極值定義求證；②利用放縮法，先證明故，構造求導，確定函數的最值即可求解．【小問1詳解】由可得，由可得，解得，所以為“缺陷偶函數”，且偶點唯一，且為0，【小問2詳解】由可得對任意，恒成立，所以存在常數，使得，令，則，且，解得，①，則，由于是“缺陷偶函數”，由，即，即