1、第10講 空間向量 高考預測一：線線角、線面角、二面角、距離問題1如圖，在三棱錐中，底面，為的中點，為中點，（1）求證：平面；（2）求與平面成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點，使得平面，若存在，請說明點的位置，若不存在，請說明理由【解析】（1）證明：底面，又，平面，平面，為的中點，平面；（2）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，0，2，2，0，1，1，2，設平面的法向量為，則，取，設與平面成角為，則（3）假設在線段上存在點，使得平面設，2，平面，平面的法向量為，0，解得點是靠近點的四等分點2如圖，在三棱柱中，為的中點，且（1）求證：平面；（2）求多面體的體積；（3）求二面角的平面角的余弦值

2、【解析】解：（1）證明：，為的中點又，平面又，面（2）棱錐（3）以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖則，0，0，0，2，2，0，設是面的一個法向量，則由得可取，1，同理設是面的一個法向量，且，0，則由得取二面角為銳二面角，所以其平面角的余弦值為3如圖，在梯形中，四邊形為矩形，平面平面，（）求證：平面；（）點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍【解析】解：證明：在梯形中，平面平面，平面平面，平面平面由可建立分別以直線，為軸，軸，軸的如圖所示空間直角坐標系，令，則，1，0，設為平面的一個法向量，由得取，則，是平面的一個法向量當時，有最小值，當時，有最大值

3、4如圖，在幾何體中，底面是平行四邊形，平面，與交于點（）求證：平面；（）若平面 與平面 所成的銳二面角余弦值為，求線段的長度【解析】（）證明：取的中點，連接，又點為的中點，又，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面；（）解：，又平面，以，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系可得：，0，0，0，0，1，設平面的法向量為，則，可得：，取，設平面的法向量為，則，可得：，取，平面 與平面 所成的銳二面角余弦值為，解得或由平面 與平面 所成二面角為銳二面角，因此取5在四棱錐中，底面是直角梯形，為的中點，平面平面求與成角的余弦值（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（）在棱上是否存在點使得平面？若

4、存在，求的值；若不存在，說明理由【解析】解：取的中點，連接，平面平面，平面平面，平面，平面；如圖所示，以為原點，所在的直線為軸，在平面內過垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系；由直角梯形中，可得，0，1，2，0，0，2，0，；，與成角的余弦值為；（）由，1，設平面的法向量為，即，令，得，；取平面的一個法向量，1，；，平面與平面所成的銳二面角為；（）設，則，0，0，若平面，則，解得，即時，滿足平面6如圖，三棱柱中，側面為的菱形，（1）證明：平面平面（2）若，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值【解析】證明：（1）連接交于，連接，側面為菱形，為的中點，又，平面平面平面平

5、面（2）由，平面，平面，從而，兩兩互相垂直，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，直線與平面所成的角為，設，則，又，是邊長為2的等邊三角形，0，0，1，設是平面的法向量，則，令，設直線與平面所成的角為則直線與平面所成角的正弦值為7如圖所示的幾何體中，為三棱柱，且平面，四邊形為平行四邊形，（）若，求證：平面；（）若，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積【解析】證明：（）若，則四邊形為正方形，則，為直角三角形，則，平面，平面，則，平面；（）若，則，建立以為坐標原點，分別為，軸的空間直角坐標系如圖：則，0，0，0，則，0，設面的一個法向量為，0，則，則，令，則，則，設面的一個法向量

6、為，則，令，則，則，0，二面角的余弦值為，即，得，即，則三棱錐的體積8如圖，在三棱錐中，平面，（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）求點到平面的距離【解析】解：如圖示：，以為原點建立空間直角坐標系，由題意得：，0，0，1，2，0，（）證明：，1，1，0，即，平面；（）解：由（）可得，1，為平面的一個法向量，設平面的法向量為，而，1，0，則，即，不妨設，可得，1，易知二面角為銳角，因此有，即二面角的余弦值是；（）解：，0，1，0，作平面，垂足為，設，且，由，得：，解得，即點到平面的距離是9如圖，在直三棱柱中，（1）若，求證：平面；（2）若，是棱上的一動點試確定點的位置，使點到平面的距離等于【

7、解析】（1）證明：當時，又，且，平面而平面，由，得到平面（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為，0，、，2，、，2，設，0，設平面的法向量為，則，2，且，取，得平面的一個法向量為，且，又，于是點到平面的距離，或（舍所以，當點為棱的中點時，點到平面的距離等于10如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，（1）證明：；（2）當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時二面角的大小【解析】（1）證明：分別取，的中點，連接，因為，所以，又因為，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以，在中，因為垂直平分，所以，又因為，所以，從而可得；（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，設，在中，過點作于，則，因為平面，平面，所以平面平面，又因為平面平面，