1、1三重積分的三重積分的概念概念三重積分的計算三重積分的計算(triple integral)第三節三重積分第三節三重積分第九章第九章 重積分重積分2是空間有界閉區域是空間有界閉區域上的上的如當各小閉區域直徑中的最大值如當各小閉區域直徑中的最大值在每個在每個iv ),(iii ),2 , 1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1. 三重積分的定義三重積分的定義nvvv ,21將閉區域將閉區域任意分成任意分成n個小閉區域個小閉區域 其中其中iv 并作和并作和作乘積作乘積),(zyxf設設有界函數有界函數. .也表示它的體積也表示它的體積.表示第表示第i個小閉區域個小閉區域,上任取

2、一點上任取一點三重積分三重積分一、三重積分的概念一、三重積分的概念(define)3記為記為函數函數),(zyxf趨于零時這和的極限總存在趨于零時這和的極限總存在,iiiniivf ),(lim10 則稱此極限為則稱此極限為 在閉區域在閉區域上的三重積分上的三重積分. vzyxfd),(即即 vzyxfd),(體積元素體積元素三重積分三重積分43. 三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義設被積函數設被積函數, 1),( zyxf VvVd1連續函數一定可積連續函數一定可積2. 三重積分存在性三重積分存在性則區域則區域V 的體積為的體積為在在上是可積的上是可積的.),(zyxf當當的三重積分存在性

3、時的三重積分存在性時,),(zyxf稱稱三重積分三重積分(existence)54. 三重積分的性質三重積分的性質與二重積分的性質類似與二重積分的性質類似.補充三重積分補充三重積分vzyxfd),(0為為f的的偶偶函函數數z對稱性質對稱性質),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關于變量關于變量z的的奇奇 函數函數. vzyxfd),(則則 (1),坐標面對稱坐標面對稱xOy關于關于的的奇奇函函數數z為為f21 若域若域xOy在在為為其中其中 1坐標面的上半部區域坐標面的上半部區域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)三重積分三重積分(property)6或或,坐標面對稱坐標面對稱關于關于x

4、Oz 的奇函數的奇函數是是yf而得結果為零而得結果為零.例例,2222azyx vzyxd22 vzy d2 0vzy d221 0 則則為為設域設域 部分部分的的為為01 z ,1坐標面對稱坐標面對稱關于關于xOz 的奇函數的奇函數是是yf,坐標面對稱坐標面對稱關于關于xOy 的偶函數的偶函數是是zf三重積分三重積分7.lkjizyxv 則則zyxvdddd 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 在直角坐標系下計算三重積分在直角坐標系下計算三重積分故故直角坐標系下直角坐標系下的體積元素為的體積元素為在直角坐標系下在直角坐標系下三重積分可表為三重積分可表為 vzyxfd),().(是是小小

5、長長方方體體iv 在直角坐標系中在直角坐標系中, 如果用平行于坐標面的如果用平行于坐標面的平面的來劃分平面的來劃分, zyxzyxfddd),(三重積分三重積分8直角坐標系中將三重積分化為三次積分直角坐標系中將三重積分化為三次積分),(:11yxzzS Dyx ),(,1穿入穿入從從 z 投影法投影法思想是思想是),(:22yxzzS ( (先一后二法先一后二法) )如圖如圖, 閉區域閉區域 xOy在在面上的投影為閉區域面上的投影為閉區域D, ,過點過點作直線作直線,穿出穿出從從2z三重積分三重積分xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(y

6、x1z2z9,看作定值看作定值先將先將yx ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型),(yxF再計算再計算zzyxf只看作只看作將將),(的函數的函數,上的二重積分上的二重積分在閉區間在閉區間 Dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd三重積分三重積分則則10所以所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積三重積分可以化為六種不同次序的三次積分分(累次積分累次積分).和積分域和積分域選取適當

7、的三次積分進行計算選取適當的三次積分進行計算.解題時解題時, 要依據具體的被積函數要依據具體的被積函數),(zyxf同樣同樣,也可以把積分域也可以把積分域向向yOz、zOx面投影面投影.三重積分三重積分11,dddcos43zyxzyxIV .20, 10, 10),( zyxzyxV 解解 由于由于V是長方體是長方體, 故故20115141 Iyy d104 xx d103 例例三次積分的上、下限三次積分的上、下限都是常數都是常數,三重積分三重積分計算三重積分計算三重積分其中其中V是長方體是長方體 xyzO2 zzdcos012解解1:22 yxD化三重積分化三重積分 zyxzyxfIddd

8、),(為三次積分為三次積分,例例222yxz 22xz 及及所圍成的閉區域所圍成的閉區域. 22222xzyxz由由三重積分三重積分其中積分區域為由曲面其中積分區域為由曲面得交線投影區域得交線投影區域 ：故故 2211xyx 11 xz 11221122222d),(ddxyxxxzzyxfyxI 222yx22x xyzO22xz 222yxz 13,dddzyxzxyV 計計算算所所圍圍成成的的區區域域與與平平面面1 z解解 畫積分區域的草圖畫積分區域的草圖.采用采用先對先對x積分積分, 再對再對y、z積分積分的方法簡單的方法簡單.,10 ,0),( zzyzyDyz,),(yzDzy .

9、022yzx 220010ddd1yzzxxyyzzI zyyzyzz02210d2d1zz d811027 222yxzV 為錐面為錐面其中其中例例.在在第第一一卦卦限限內內的的部部分分三重積分三重積分將將V向向yOz平面投影平面投影對任一對任一x取值為取值為.361 先對先對z積分積分?得平面區域得平面區域xyzO1 14 截面法截面法(紅色部分紅色部分)( (先二后一法先二后一法) )截面法的一般步驟截面法的一般步驟(1)向某軸向某軸把積分區域把積分區域 )(軸軸如如z投影投影, ,得投影區間得投影區間;,21cc(2),21ccz 對對, 的平面去截的平面去截軸且平行軸且平行用過用過x

10、Oyz;zD得截面得截面(3)計算二重積分計算二重積分 zDyxzyxfdd),();(zFz的函數的函數其結果為其結果為(4).d)(21 cczzF最后計算單積分最后計算單積分xzoy 1c2czzD三重積分三重積分15 即即 zDyxzyxfcczvzyxfdd),(dd),(21 cczzF21d)(當被積函數僅與變量當被積函數僅與變量z有關有關,截面法的公式還有兩個截面法的公式還有兩個.用上公式簡便用上公式簡便. 希自己推希自己推注注且截面且截面Dz易知時易知時,三重積分三重積分16 zyxzddd zDyxdd1| ),(zyxyxDz zDyxdd截面法截面法( (先二后一法先二

11、后一法)解解)1)(1(21zz 10dzz計算三重積分計算三重積分 ,dddzyxz為為其中其中 例例.1所圍成的閉區域所圍成的閉區域三個坐標面及平面三個坐標面及平面 zyx原式原式= zzzd)1(21210.241三重積分三重積分111xyzO1 zyxzD17 zzyxyzz101010ddd zyzyzz1010d)1(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) xzd dyzDzy 10計算三重積分計算三重積分 ,dddzyxz為為其中其中 .1所圍成的閉區域所圍成的閉區域三個坐標面及平面三個坐標面及平面 zyx三重積分三重積分 zyxzddd 102d)(121zzz.241 1

12、11xyzO1 zyx zyxzddd yxDzzxy10dd 18已知橢球已知橢球V: 內點內點(x,y,z)處質量處質量的體密度為的體密度為: 求求橢球的橢球的質量質量.1222222 czbyax提示提示vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 ,222222czbyax 三重積分三重積分19解解因為因為vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 而而 vaxVd22等于等于 xDzydd 222211axcaxb xaxaad22 zyddxD:1222222的面積的面積橢圓橢圓axczby 221axbc

13、其中其中三重積分三重積分20由對等性知由對等性知abc 154 VVvczvbydd2222因此因此.54abcM 所以所以 vaxVd22xaxaad22 xDzydd)1(dd22axbczyxD abc 154三重積分三重積分xaxxabcaad )1(22222 21xyzO222224yxzyxaz 及及求曲面求曲面.V所所圍圍立立體體體體積積解解 兩曲面的交線為兩曲面的交線為 22222ayxaz所以所以,:xyDxOyV面面的的投投影影域域在在2222ayx VvVd 222224ddyxayxDzxy xyDyxyxa d)4(22222 d)4(d202220 aa例例極坐標

14、極坐標三重積分三重積分.)22(383a 22,0 ,20 z規定規定xyzo ),(zyxM),( Pz , , 直角坐標直角坐標與與柱面坐標柱面坐標的關系為的關系為,cos xzz 就叫點就叫點M的的柱面坐標柱面坐標.三重積分三重積分2. .利用柱面坐標利用柱面坐標計算三重積分計算三重積分cylindrical coordinates設設M(x, y, z)為空間內一點為空間內一點,并設點并設點M在在xOy面上的投影面上的投影P的極坐標為的極坐標為則這樣的三個數則這樣的三個數,sin y23為常數為常數 為常數為常數z為常數為常數 柱面坐標柱面坐標系中系中, 以以z軸為中心軸的軸為中心軸的

15、圓柱面圓柱面；過過z軸的軸的半平面半平面.與與xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐標面分別為三坐標面分別為z , 三重積分三重積分稱點稱點M的柱面坐標的柱面坐標),(zyxM),( PxyzO 24 xyzo 柱面坐標系柱面坐標系中的中的體積元素體積元素為為zvdddd V 在在柱面坐標系柱面坐標系中中, 如圖如圖,V 得小柱體得小柱體即即直角坐標系直角坐標系下三重積分與下三重積分與(紅色部分紅色部分).若以三坐標面分割空間區域若以三坐標面分割空間區域柱柱(面面)坐標系坐標系下三重下三重積分的關系是積分的關系是 z 三重積分三重積分 z 25 如何計算如何計算柱坐標系柱坐標系下三重積分下三

16、重積分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd ,cos x,sin yzz zvdddd 三重積分三重積分26 zzfddd),sin,cos(故故 ),(),(21d),sin,cos( zzzzf )()(21d d確定確定的下的下, 上邊界面上邊界面),(1 zz ),(2 zz 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積三重積分三重積分、 、z. 2720 ,0az ,cos20 解解 cos2 例例,d22 vyxz計算計算)0(0222 yxyx 所圍成所圍成.積分域用積分域用柱坐標柱坐標表示為表示為.982a 20d azz0d cos202d z原式

17、原式 zddd 其中其中由半圓柱面由半圓柱面0, 0, 0 azzy及平面及平面: 三重積分三重積分Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222 xyx28例例222yxz 已知立體內任一點的質量的體密度已知立體內任一點的質量的體密度解解vyxkMd)(22 因為因為222yxz 平面平面2222 yx柱面坐標柱面坐標求曲面求曲面2 z與與所圍立體的質量所圍立體的質量M,與該點與該點 到到z軸的距離的平方成正比軸的距離的平方成正比.)0( k常數常數的的交線交線是是2 z與與2 z上的圓上的圓體密度函數為體密度函數為三重積分三重積分xyzO2 z222

18、yxz )(22yxk 29的的下邊界面下邊界面是是),(2122yxz 上邊界面上邊界面是是故故zkddd2 222d z k316 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域xy 即即vyxkMd)(22 是半徑為是半徑為2的圓域的圓域 d203 20dk . 2 z三重積分三重積分xyzO422 yxxy 20,20 ;212 z30解解zezddd2 如先對如先對z積分積分其中其中是由錐面是由錐面例例,ddd222zyxyxez 計計算算與平面與平面22yxz zyxyxezddd222 21 zz、所圍成的錐臺體所圍成的錐臺體.柱面坐標柱面坐標三重積分三重積分xyzO22yxz 31

19、xyzO可看出如先對可看出如先對z積分積分,zezd2 (積不出來積不出來).zezddd2 ).(4ee zzezd2212 212ze 將遇到積分將遇到積分最后對最后對z積分積分.zyxyxezddd222 ddd2zez0z 2120三重積分三重積分這里應先對這里應先對 、 積分積分,22yxz 32解解2)(zyx 222zyx 對稱性質對稱性質)(2zxyzxy 是關于是關于yzxy 關于關于且且 vyzxyd)(0例例,d)(2vzyx 計算計算是拋物面是拋物面其中其中 所圍成的空間閉區域所圍成的空間閉區域.,的奇函數的奇函數y.面對稱面對稱zOx三重積分三重積分222222 zy

20、xyxz和球面和球面同理同理,的奇函數的奇函數是關于是關于xzx.面對稱面對稱關于關于且且yOz vxzd0 xyzO2222 zyx22yxz 33vzyxd)(222 計算計算 20 10 222 z 三重積分三重積分 d)2(222103 20102322dddzvyxd)(22 zddd3 vzyxd)(2 柱坐標柱坐標 ).19216(15 xyzO2222 zyx22yxz 34).89290(60 vz d2 ,1323260 所以所以 222210dd zz 20d 對稱性質對稱性質vzyxd)(222 2221020: z4三重積分三重積分vzyxd)(222 計算計算vzy

21、xd)(2 的的偶偶函函數數yx,都對稱都對稱xOzyOz,關于兩個坐標面關于兩個坐標面同同為為fvyxd)(22 )19216(15 vzyxd)(2 35 r P zyxA,0 記投影記投影向量與向量與x軸正方向的軸正方向的, .20 ),( r規定規定, ,0 r),(zyxM OM再再將將正方向間的夾角為正方向間的夾角為軸軸與與zOM, r夾角為夾角為球面坐標球面坐標.稱稱為點為點M的的之之長長為為記記向向量量OM三重積分三重積分2. .利用球面坐標利用球面坐標計算三重積分計算三重積分xyzO設設M(x, y, z)為空間內一點為空間內一點,向向xOy平面投影平面投影,36為常數為常數

22、r為常數為常數 球面坐標系球面坐標系中的三坐標面分別為中的三坐標面分別為原點為心的原點為心的球面球面；過過z軸的軸的半平面半平面球面坐標與直角坐標的關系球面坐標與直角坐標的關系為為,sinsin ry ,cossin rx cosrz 為常數為常數 原點為頂點、原點為頂點、z軸為軸為軸的軸的圓錐面圓錐面；三重積分三重積分 r zyxA),(zyxM xyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzO37球面坐標系球面坐標系中的中的體積元素體積元素為為rxyzo r dddsind2rrv V 若以三坐標面分割空若以三坐標面分割空, V 得小六得小六面體面體(紅色部分紅色部分).于是于是,在在球面坐

23、標系球面坐標系中，中， r sinr r 間區域間區域三重積分三重積分 sinr r sinr38 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先積積r、再再積積 . 后積后積)cos r (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin r三重積分三重積分 dddsin2rr39如積分域如積分域為球域為球域(如圖如圖).: Rfvf0020(ddd 則則,0 ,0Rr 20 ,cossin r,sinsin r cosr) sin2rrd三重積分三重積分xyzO40az cosar 222zyx 4 .cos0 ar 解解

24、 法一法一 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 計算計算例例是錐面是錐面其中其中 所圍的立體所圍的立體. .)0(222 aazzyx與平面與平面球面坐標球面坐標三重積分三重積分xyzOaz 222zyx 41 zyxyxIddd)(22raddd40cos020 d)0cos(51sin255403 a.105a cossinsincossinrzryrx cos0ar ,40 : ,20 34sinr三重積分三重積分 dddsind2rrv 42解解4 ,40 22222azyx 由由ar2 22yxz 由由: ,20ar 采用采用例例由錐面和球面圍成由錐面和球面圍成