1、第2講 二元一次不等式(組)與簡單的線性 規(guī)劃問題一、填空題1不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于_解析畫圖可知，不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，且三個頂點的坐標分別是，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面積S××1.答案2已知x，y滿足記目標函數(shù)z2xy的最大值為7，最小值為1，則b，c的值分別為_解析 由題意知，直線xbyc0經(jīng)過直線2xy7和直線xy4的交點，經(jīng)過直線2xy1和直線x1的交點，即經(jīng)過點(3,1)和點(1，1)，b1，c2.答案 1，23已知A(3，)，O是坐標原點，點P(x，y)的坐標滿足設Z為在上的投影，則Z的取值范圍是_解析 約束條件所表示的

2、平面區(qū)域如圖.在上的投影為|cos 2cos (為與的夾角)，xOA30°，xOB60°，30°，150°，2cos 3,3答案 3,34已知實數(shù)x，y滿足若zyax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則a的值為_解析 依題意，在坐標平面內畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示要使zyax取得最大值時的最優(yōu)解(x，y)有無數(shù)個，則直線zyax必平行于直線yx10，于是有a1.答案 15設0，不等式組所表示的平面區(qū)域是W.給出下列三個結論：當1時，W的面積為3；0，使W是直角三角形區(qū)域；設點P(x，y)，PW有x4.其中，所有正確結論的序號是_解析 當1

3、時，不等式組變成其表示以點(0,0)，(2,2)，(2，1)為頂點的三角形區(qū)域，易得W的面積為3，正確；直線xy0的斜率為，直線x2y0的斜率為，×1，且直線x2垂直于x軸，W不可能成為直角三角形區(qū)域，錯誤；顯然，不等式組表示的區(qū)域是以點(0,0)，(2,2)，為頂點的三角形區(qū)域，令zx，則其在三個點處的值依次為：0,4,2，zx的最大值zmax4，正確答案 6已知點Q(5,4)，動點P(x，y)滿足則|PQ|的最小值為_解析 不等式組所表示的可行域如圖所示，直線AB的方程為xy20，過Q點且與直線AB垂直的直線為y4x5，即xy10，其與直線xy20的交點為，而B(1,1)，A(0

4、,2)，因為1，所以點Q在直線xy20上的射影不在線段AB上，則|PQ|的最小值即為點Q到點B的距離，故|PQ|min5.答案 57若實數(shù)x，y滿足則z3x2y的最小值是_解析在坐標平面內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中的陰影部分所示)及直線x2y0，平移直線x2y0，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內的點(0,0)時，相應直線在x軸上的截距最小，此時x2y取得最小值，3x2y取得最小值，則z3x2y的最小值是302×01.答案18若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當a從2連續(xù)變化到1時，動直線xya掃過A中的那部分區(qū)域的面積為_解析平面區(qū)域A如圖所示，所求面積為S×2

5、5;2××2.答案9已知集合P，Q(x，y)|(xa)2(yb)2r2，r0若“點MP”是“點MQ”的必要條件，則當r最大時，ab的值是_解析集合P所在區(qū)間如圖陰影部分所示，由題意，QP，且ABBC，所以當r最大時，圓(xa)2(yb)2r2是四邊形OABC的內切圓，從而abr，于是由a且a，解得ab，所以ab.答案10已知正數(shù)a，b，c滿足：5c3ab4ca，cln bacln c，則的取值范圍是_解析由條件可得令x，y，則問題轉化為約束條件為求目標函數(shù)z的取值范圍作出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分)，過原點作yex的切線，切線方程為yex，切點P(1，e)在區(qū)

6、域內故當直線yzx過點P(1，e)時，zmine；當直線yzx過點C時，zmax7，故e,7答案e,7二、解答題11實數(shù)x、y滿足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；(2)若zx2y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍解 作出可行域如圖中陰影部分所示(1)z表示可行域內任一點與坐標原點連線的斜率，因此的取值范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(OA斜率不存在)而由，得B(1,2)，則kOB2.zmax不存在，zmin2，z的取值范圍是2，)(2)zx2y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間的距離的平方因此x2y2的范圍最小為OA2(取不到)，最大為OB2.由，得A(0,

7、1)，OA2()21，OB2()25.z的最大值為5，沒有最小值故z的取值范圍是(1,512制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.若投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？解 設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目，由題意知目標函數(shù)zx0.5y.上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即為可行域將zx0.5y變形為y2x2

8、z，這是斜率為2、隨z變化的一組平行線，當直線y2x2z經(jīng)過可行域內的點M時，直線y2x2z在y軸上的截距2z最大，z也最大這里M點是直線xy10和0.3x0.1y1.8的交點解方程組得x4，y6，此時z40.5×67(萬元)70，當x4，y6時，z取得最大值，所以投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大 13某營養(yǎng)師要為某個兒童預訂午餐和晚餐已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？解設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意得：z2.5x4y，且x，y滿足即讓目標函數(shù)表示的直線2.5x4yz在可行域上平移，由此可知z2.5x4y在(4,3)處取得最小值因此，應當為該兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求14若a0，b0，且當時，恒有axby1，求以a，b為坐標的點P(a，b)所