1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載全方位教學輔導教案學科：數學任課老師：授課時間：2021年 11月 3日星期姓名性 別女年 級高二總課時：第次課教學均值不等式應用（技巧）內容教學1.熟識均值不等式的應用題型目標2.把握各種求最值的方法重點重點為把握最值應用的方法難點難點為不等式條件的應用精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載課 前檢 查教與 溝通作業完成情形：溝通與溝通一均值不等式22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1.（1）如 a、b學針時取“ =”）r ,就 a 2b22ab2如 a、 br ,就abab （當且僅當 ab2精品學習資料精選學習資料

2、- - - 歡迎下載對2. 1 如a、 br* ,就 ab2ab2如 a、 br* ,就 ab2ab （當且僅當ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載過性時取“ =”）3 如 a、 b授r* ,就 ab2ab當且僅當 a2b 時取“ =”）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3. 如 x程課0 ,就 x12 當且僅當 xx1 時取“ =”） ; 如 x0 ,就 x12 當且僅當x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x1 時取“ =”）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 x0 ,就 x12即x12或 x1-2當且僅當 ab 時取“ =”）精品學習資料

3、精選學習資料 - - - 歡迎下載xxx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3. 如 ab0 ,就 abba2 當且僅當 ab 時取“ =”）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 ab0 ,就 ab2即 ab2或 ab-2當且僅當 ab 時取“ =”）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bababa精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4. 如 a、 br ,就 ab 2222ab（當且僅當a2b 時取“ =”）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載注：（ 1）當兩個正數的積為定植時,可以求它們的和的最小值,當兩個正數的和為定植時,可以求它們的積

4、的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大”（ 2）求最值的條件“一正,二定,三取等”3 均值定理在求最值.比較大小.求變量的取值范疇.證明不等式.解決實際問題方面有廣泛的應用精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載應用一：求最值例 1：求以下函數的值域（ 1） y 3x 2 1 2（ 2） y x 12xx解題技巧： 技巧一：湊項1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1：2y2x、 x3 ； x3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變式：已知x5,求函數y44x214x5的最大值精品學習資料精選學習資料

5、 - - - 歡迎下載；技巧二：湊系數例 1. 當時,求yx82 x 的最大值；解析：由知,利用均值不等式求最值,必需和為定值或積為定值,此精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題為兩個式子積的形式,但其和不為定值；留意到2x yx82 x 湊上一個系數即可；82 x8 為定值,故只需將精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載評注：此題無法直接運用均值不等式求解,但湊系數后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變式： 1.設 0x3,求函數y24 x32 x的最大值；并求此時x 的值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下

6、載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2已知 0x1,求函數yx1x 的最大值 .；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3 0x2,求函數3yx23x 的最大值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載技巧三 ： 分別x27 x10精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3. 求 y x1 的值域；x1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載技巧四 ：換元解析二：此題看似無法運用均值不等式,可先換元,令t=x 1,化簡原式在分別求最值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載yt12

7、7 t1）+10 = t5t4t45精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2ttt精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當、即 t=時、 y2t4 t59 （當 t=2 即 x 1 時取“”號） ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載評注：分式函數求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載用不等式求最值；即化為ymg xag xb a0、 b0) , gx 恒正或恒負的形式,然精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載后運用均值不等式來求最值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變式(

8、1) yx23x x1、 x0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載技巧五： 留意：在應用最值定理求最值時,如遇等號取不到的情形,應結合函數的單調性；f xxa x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例：求函數y2x25x24的值域；2x5211精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解：令x4t t2 ,就 yx 24x4x 24tt2 t精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載因 t0、t 1 t1,但 t1 解得 t t1不在區間2、,故等號不成立,考慮單調性；精品學習資料精選學習資料 - - -

9、 歡迎下載由于 yt15在區間1、單調遞增, 所以在其子區間2、為單調遞增函數, 故 y；t2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以,所求函數的值域為5 、；2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載條件求最值1. 如實數滿意ab2 ,就3a3 b 的最小值為.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 .并求 x、y 的值xy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載技巧六：整體代換：19精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2：已知 x0、 y0 ,且xy

10、1 ,求 xy 的最小值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載；變式：（ 1）如x、 yr且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 已知a、 b、 x、 yr且 axb1 ,求 xyy 的最小值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2技巧七 .已知 x, y 為正實數,且x 2 y 1,求 x1 y 2 的最大值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載技巧八：已知

11、a, b 為正實數, 2b ab a 30,求函數y 1ab的最小值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載分析：這為一個二元函數的最值問題,通常有兩個途徑,一為通過消元,轉化為一元函數問 題,再用單調性或基本不等式求解,對此題來說,這種途徑為可行的；二為直接用基本不等式,對此題來說,因已知條件中既有和的形式,又有積的形式,不能一步到位求出最值,考慮用基本不等式放縮后,再通過解不等式的途徑進行；ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載點評： 此題考查不等式ab（ a、 b 2r ）的應用. 不等式的解法及運算才能；如精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載何由已知不等

12、式aba2b30（ a、 br ）動身求得 ab 的范疇, 關鍵為查找到ab與ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載之間的關系,由此想到不等式ab2等式,進而解得ab 的范疇 .ab（ a、br ）,這樣將已知條件轉換為含ab 的不精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變式： 1.已知 a>0, b>0, ab a b 1,求 a b 的最小值；2.如直角三角形周長為1,求它的面積最大值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載技巧九.取平方5.已知 x, y 為正實數, 3x2y 10,求函數w 3x 2y 的最值 .精品學習資料精選學習

13、資料 - - - 歡迎下載解法一：如利用算術平均與平方平均之間的不等關系,a b2a 2 b 22 ,此題很簡潔精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3x 2y2（3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 25解法二：條件與結論均為和的形式,設法直接用基本不等式,應通過平方化函數式為積的形式,再向“和為定值”條件靠攏；w 0,w 2 3x 2y 23x · 2y 10 23x · 2y 10 3x 2 ·2y 2 10 3x 2y 20 w 20 25精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變式 : 求函數 y2x152x 1x5 的最大值；精品學習

14、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22評注：此題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”,為利用均值不等式制造了條件；總之,我們利用均值不等式求最值時,肯定要留意“一正二定三相等”,同時仍要留意一些變形技巧,積極制造條件利用均值不等式；應精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載應用二：利用均值不等式證明不等式例 6：已知 a.b.cr ,且abc1；求證：1111118abc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載變式：1已知a、 b、 c 為兩兩不相等的實數,求證：a 2b 2c 2abbcca精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎

15、下載2.正數 a, b, c 滿意 a b c 1,求證： 1 a1 b1 c 8abc應用三：均值不等式與恒成立問題精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例：已知x0、 y0 且 191,求使不等式xym 恒成立的實數m 的取值范疇；xy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解：令xyk、 x0、 y0、 191 ,xy9 x9 y101.y9 x1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1102 3；xyk16, m、16kxkykkxky精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載kk精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學

16、習資料 - - - 歡迎下載課堂1：添加項檢測【例 1】已知 x3 ,求 y2x22 x3的最小值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2: 配系數精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 2】已知30x,求 y 2x32 x 的最大值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3: 分拆項x 23 x6精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 3】已知 x2 ,求y的最小值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4: 巧用” 1”代換【例 4】已知正數x、 y 滿意 2 xy1、 求 1 x2的

17、最小值 .y精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載.【例 5】已知正數x、 y、 z 滿意 xyz1 ,求 14xy9的最小值 .z精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5: 換元【例 6】已知 abc 、 求 wacaabbc的最小值 .c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 7】已知 x1 、 求 yx12x5 x的最大值 .8精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載7: 直接運用化為其它精品學習資料精

18、選學習資料 - - - 歡迎下載【例 9】已知正數a、 b 滿意 abab3 、 求 ab 的取值范疇 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載課1.（ 1）.已知x后作業0, y0 ,滿意 x2 y1,求 11xy的最值；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）.如 x0 , y0 ,且 281,求 xy 的最值；xy精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2（3）.如 -4x 1、求2 x2的最大值 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 x2精品學習資料精選

19、學習資料 - - - 歡迎下載x 22 . 函 數fx=x 42 x 0 的 最 大 值 為； 此 時 的x值 為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.（ 2021 山東理）如對任意x0 ,xa 恒成立,就 a 的取值范疇為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x23x1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 . 如 點a2、1在 直 線mxny1 0 上 , 其 中 mn0 、 就1m2的 最 小 值n精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載為.5.（ 1）.已知x+3y-2=0 ,就 3x +27y +1 的最小值為.（ 2）.如 x、y 0、+ 且 2x+8y-xy=0 ,求 x+y 的最小值.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6.已知兩個正數a、 b 滿意 ab4 ,求使 28abm 恒成立的 m 的范疇 .精品學習資料精選學