1、平面與圓錐面的截線一、教學目標：1. 知識與內容：（1）通過觀察平面截圓錐面的情境，體會定理 2（2）利用Dandelin雙球證明定理2中情況（1）（3）通過探究，得出橢圓的準線和離心率，加深對橢圓結構的理解2. 過程與方法：利用現代計算機技術，動態地展現 Dan del in兩球的方法，幫助學生利用幾 何直觀進行思維，培養學生的幾何直觀能力，重視直覺的培養和訓練，直覺用于 發現，邏輯用于證明。3情感態度價值觀：通過親歷發現的過程，提高對圖形認識能力，重視合情推理和演繹推理的啟 發、應用和培養，讓學生辯證地觀察、分析問題。二、教學重點難點重點：（1）定理2的證明（2）橢圓準線和離心率的探究難點

2、：橢圓準線和離心率的探究三、教學過程橢圓是生活中常見的圖形，是圓錐曲線中重要的一種。生成橢圓的方法 有許多，例如：（1） 圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1；（2）橢圓的定義（3）平面內到定點和定直線的距離之比等于常數 （0<e<1）的點的軌跡（4）一動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數生成軌跡是橢圓；（5）圓柱形物體的斜截口是橢圓，如圖 2x如果用一平面去截一個正圓錐，所得截口曲線是橢圓嗎？還有其他情況嗎？讓我們共同來探究平面與圓錐面的截線。PBD思考：如圖3-9 1 , AD是等腰三角形ABC底邊上的高, .BAD二:.直線I與AD相交于點P,且與AD的夾角 為1

3、 （0 J :：:）試探究：當與滿足什么關系?1 I 與AB或AB的延長線、AC都相交；2 I與AB不相交；3 I與BA的延長線、AC都相交利用幾何畫板實驗探索.如圖3-9 2 ,可以有如下結論：1當I與AB或AB的延長線、AC都相交時，設I與AB（或AB的延長線）交于E,與AC交于F.因為是AEP的外角，所以必然有“：_：:;C反之，當“匸二時,I與AB（或AB的延長線卜AC都相交.3當I與BA的延長線、AC都相交時,設I與BA的延長線交于G,D39(2)2當I與AB不相交時，則I /AB,這時有;反之，當時,I/AB,那么I與AB不相交.因為是APG的外角,所以:;如果:,那么I與BA的延

4、長線、AC都相交思考：將圖3-9中的等腰三角形拓廣為圓錐，直線拓廣為平面，則得到圖3-10.會出現如果用一平面去截一個正圓錐，而且這個平面不通過圓錐的頂點 哪些情況呢?如果平面與一條母線平行(相當于圖3-9 2中的二：),那么(1) 平面就只與正圓錐的一半相交，這時的交線是一條拋物線；如果平面不與母線平行，那么會出現兩種情形：(2) 平面只與圓錐的一半相交，這時的交線為橢圓；(3) 平面與圓錐的兩部分都相交，這時的交線叫做雙曲線.歸納提升：定理 在空間中，取直線I為軸，直線r與I相交于0點，其夾角為a, I'圍繞I旋轉得 到以0為頂點，r為母線的圓錐面，任取平面 n，若它與軸I交角為3

5、 ( n與I平行，記住3 = 0),貝V：(1) 3 > a，平面n與圓錐的交線為橢圓；(2) 3 = a，平面n與圓錐的交線為拋物線；(3) 3 V a，平面n與圓錐的交線為雙曲線。思考:你能仿照定理1的證明方法證明定理2的結論1嗎？問題：利用Dandelin雙球(這兩個球位于圓錐的內部，一個位于平面n的上方，一個位于平面的下方，并且與平面n及圓錐均相切)證明：3> a,平面n與圓錐的交線為橢圓討論：點A到點F的距離與點A到直線m的距離比小于1).證明1:利用橢圓第一定義，證明 FA+AE=BA+AC=定值，詳見課本.證明2：上面一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與

6、圓錐的底面平行， 記這個圓所在平面為n；如果平面n與平面彳的交線為m,在圖中橢圓上任取一點A,該Dandelin 球與平面n的切點為F,則點A到點F的距離與點A到直線m的距離 比是（小于1）.（稱點F為這個橢圓的焦點，直線 m為橢圓的準線, 常數為離心率e.）點評：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心率的范圍為準.探究:如圖3-12,1找出橢圓的準線；2探討P到焦點F1的距離與到兩平面交線 m的距離之比.圖 3-12如圖3 -12，上面一個Dandelin球與圓錐的交線為圓 S,記圓S,所在的平面為 二 設二與二'的交線為m在橢圓上任取一點P,連接PF1.在二中過P作m的垂線

7、,垂足 為A.過P作二'的垂線,垂足為B,連接AB,則AB是PA在平面二'上的射影.容易證明，m _ AB.故.PAB是平面二與平面二'交成的二面角的平面角.在 Rt ABP中，APB 二所以 PB = PAcos 1 .1設過P的母線與圓S交于點Q1，則在Rt'PQB中,Q1PB,所以 PB 二 PQ2OS： .2由 12 得二 COS .因為 0，故 cos ： : cos ,貝V 二 COS : 1.PA cos。2PA cos®由上所述可知，橢圓的準線為m,橢圓上任一點到焦點的距離與到準線的距離之比為 常數co,因此橢圓的離心率為e = co,

8、cos。cos«即橢圓的離心率等于截面和圓錐的軸的交角的余弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比 討論：我們延用討論橢圓結構特點的思路，討論一下雙曲線的結 構特點.圖 3-13如圖3-13,當一：:時,平面二與圓錐的兩部分相交在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球，與平面二的兩個切點分別是Fi、F2,與圓錐兩部分截得的圓分別為S1、S2.在截口上任取一點 P,連接PFi、PF2 過P和圓錐的頂點0作母線，分別與兩個球切于 Qi、Q2,則母線P0為兩圓的公共切線。又 P在平面n內，F1, F2為平面n內兩個切點，因此PF1, PF2,分別為兩圓的切線，所以PFi =PQi,PF2 二PQ

9、2.所以 | PFi PF? |=|PQi _PQ2 戶Q1Q2.由于QiQ2為兩圓Si、S2所在平行平面之間的母線段長，因此QQ2的長為定值.由上所述可知，雙曲線的結構特點是:雙曲上任意一點到兩個定點即雙曲線的兩個焦點的距離之差的絕對值為常數.拓展：i .請證明定理2中的結論（2）2. 探究雙曲線的準線和離心率3. 探索定理中（3）的證明，體會當B無限接近a時平面n的極限結果四、自我檢測練習i. 平面截球面和圓柱面所產生的截線形狀是 .分析：聯想立體幾何及上節所學，可得結論，要注意平面截圓柱面所得的截線的 不同情況.答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓或橢圓；2. 判斷

10、橢圓、雙曲線、拋物線內一點到焦點距離與到準線距離之比與1的關系？分析：首先通過畫圖尋找規律，然后加以證明.答案：略.五、課外研究材料材料1.閱讀，和你的同學一起探討文后的問題：運動的天體受向心力和離心力的作用，天體運行的速度不同，它所獲得的合 力也不同，這樣就導致形成不同的運行軌道，如人造衛星發射的速度等于或大于 7.9km/s （第一宇宙速度即環繞速度）時，它就在空中沿圓或橢圓軌道運行；當 發射的速度等于或大于11.2 km/s （第二宇宙速度即脫離速度）時，物體可以掙 脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造行星或飛到其它行星上去；當速度等于或大于16.7 km/s （第三宇宙速度即逃逸速度

11、）時，物體將掙脫太陽引力的束 縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去。例如：人造衛星、行星、慧星等由于運動的 速度的不同，它們的軌道是圓、橢圓、拋物線或雙曲線。（1）從天體運行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統一，難道在冥冥宇宙中， 有什么神奇的力量，使天體運行也遵循著一種統一的規律嗎？（2）邀請你們的物理老師、地理老師，請他們上一節天體運行課，更深入 的理解圓錐曲線材料2.圓錐截線，是一個平面截正圓錐面而得到的曲線.設圓錐軸截面母線與軸的夾角為a，截面和圓錐的軸的夾角為二當截面不過頂點時，（1）當a時，即截面和一條母線平行時，交線是拋物線；（2）當aVV 時，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時,2交線是橢圓特別地，當，即截面和圓錐面的軸垂直時，交線是圓.2（3）當0W二V a時，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時，交線是雙曲線.當截面過頂點時，（1）當r=a時，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線.（2）當aVW丄時，截面和圓錐面只相交于頂點，交線退化為一個點.2（3）當OW v Va時，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相交 直線.前一類情況中，拋物線、橢圓（包含圓）和雙曲線這