1、 By 王建王建: wjmath126wjmath.blog.163/ 世界著名數(shù)學(xué)家世界著名數(shù)學(xué)家 M.Kline M.Kline指出：指出：1919世紀(jì)最獨(dú)特的發(fā)明是復(fù)變函數(shù)實(shí)際。世紀(jì)最獨(dú)特的發(fā)明是復(fù)變函數(shù)實(shí)際。 象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了1818世紀(jì)世紀(jì)那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了1919世紀(jì)。世紀(jì)。 它曾被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享用，它曾被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享用，也曾作為籠統(tǒng)科學(xué)中最調(diào)和的實(shí)際。也曾作為籠統(tǒng)科學(xué)中最調(diào)和的實(shí)際。人們引入復(fù)數(shù)。人們引入復(fù)數(shù)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解方程方程如如從解代數(shù)方程開始，例從解代數(shù)方程開始，例;01

2、: 2 x1)1)基基本本定定理理。用用復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)理理論論證證明明了了代代數(shù)數(shù)Gauss 02)1(sin, dxxxx如如應(yīng)用于積分的計(jì)算應(yīng)用于積分的計(jì)算2)2)時(shí)間幾乎無關(guān)）。時(shí)間幾乎無關(guān)）。（水、空氣等的流速與（水、空氣等的流速與具體用在平面穩(wěn)定流動(dòng)具體用在平面穩(wěn)定流動(dòng)，如：，如：應(yīng)用于求解偏微分方程應(yīng)用于求解偏微分方程 0 2222 yuxu3)3)4 4運(yùn)用于計(jì)算繞流問題中的壓力、力矩。運(yùn)用于計(jì)算繞流問題中的壓力、力矩。5 5運(yùn)用于計(jì)算滲流問題。運(yùn)用于計(jì)算滲流問題。 例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線。例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線。6 6運(yùn)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電運(yùn)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電( (磁磁

3、) )場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)度。例如：熱爐中溫度的計(jì)算。度。例如：熱爐中溫度的計(jì)算。 最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算。從而處理機(jī)翼的外型。計(jì)算。從而處理機(jī)翼的外型。7Laurent級(jí)數(shù)運(yùn)用于數(shù)字信號(hào)處置。級(jí)數(shù)運(yùn)用于數(shù)字信號(hào)處置。8積分變換也是復(fù)變函數(shù)的重要運(yùn)用。積分變換也是復(fù)變函數(shù)的重要運(yùn)用。9Laplace變換可以求解微積分方程。變換可以求解微積分方程。 tEdttiCdtdiLRiERLC0)(1 .(的直流電源，求電流的直流電源，求電流電壓電壓聯(lián)電路接上聯(lián)電路接上電阻、電感、電容）串電阻、電感、電容）串例如：例如：積分變換的實(shí)際需求復(fù)變函數(shù)的留數(shù)等實(shí)際。積分變換的

4、實(shí)際需求復(fù)變函數(shù)的留數(shù)等實(shí)際。利用利用Laurent級(jí)數(shù)直接寫出離散數(shù)字信號(hào)的級(jí)數(shù)直接寫出離散數(shù)字信號(hào)的Z變換。變換。10Laplace變換運(yùn)用于控制問題。變換運(yùn)用于控制問題。在控制問題中，傳送函數(shù)是輸入量的在控制問題中，傳送函數(shù)是輸入量的Laplace變變換與輸出量的換與輸出量的Laplace變換之比。變換之比。11Fourier變換運(yùn)用于頻譜分析。變換運(yùn)用于頻譜分析。12Fourier變換運(yùn)用于信號(hào)處置。變換運(yùn)用于信號(hào)處置。頻譜分析是把周期信號(hào)展開成頻譜分析是把周期信號(hào)展開成Fourier級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)，對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)展分析。進(jìn)展

5、分析。隨著計(jì)算機(jī)的開展，語音、圖象作為信號(hào)，在隨著計(jì)算機(jī)的開展，語音、圖象作為信號(hào)，在頻率域中的處置要方便得多。頻率域中的處置要方便得多。第一講2021年2月22日第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié) 復(fù)數(shù)第二節(jié) 復(fù)平面上的點(diǎn)集 第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)第四節(jié) 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 稱非空集合F為域，假設(shè)F關(guān)于加法“和乘法“運(yùn)算滿足： (i) F關(guān)于加法“成交換群; (ii) F0關(guān)于乘法“也成交換群; (iii) F關(guān)于加法“和乘法“成立分配律,即 (b+c)=b+c 例如有理數(shù)全體Q和實(shí)數(shù)全體R都是域。1域的概念：域的概念： 復(fù)數(shù)：1835年， Hamilton給出如下定義：具有z=x+i

6、y的外形，其中x和y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位(i2=-1。x和y分別稱為z的實(shí)部和虛部，分別記作：相等：z1=x1+iy1=z2=x2+iy2當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2且y1=y2。復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的推行：假設(shè)Imz=0，那么z是一個(gè)實(shí)數(shù)； 特別0=0+i0zyzxIm,Re虛數(shù)：假設(shè)Imz0，那么稱z為一個(gè)虛數(shù)；純虛數(shù)：假設(shè)Imz0，而Rez=0，那么稱z為一個(gè)純虛數(shù)。00(0)(0,0)xxizi y yzxi yxy 實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù)純虛數(shù) 虛數(shù)非純虛數(shù) 復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算定義為： 復(fù)數(shù)在四那么運(yùn)算這個(gè)代數(shù)構(gòu)造下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域(對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算封鎖，零元0，單位元1，記為C，復(fù)數(shù)域可以看成實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張。)(

7、)()()(21212211bbiaaibaiba)()()(122121212211babaibbaaibaiba. 0,)()(222222222112222221212211babababaibabbaaibaiba 復(fù)數(shù)域C也可以了解成平面R2，我們稱C為復(fù)平面:作映射： 那么在復(fù)數(shù)集C與平面R2之建立了一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)雙射。 平面上橫坐標(biāo)軸我們稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面普通稱為z-平面，w-平面等。),(:2yxiyxzRC既然復(fù)數(shù)域C可以了解成平面R2 , 復(fù)數(shù)z=x+iy可以看成平面中的向量(x,y)，所以也能借助于極坐標(biāo)來確定，實(shí)踐上復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量等價(jià)類在平移

8、關(guān)系下。 2非零復(fù)數(shù)z與實(shí)軸之間的夾角為其輻角，定義為：22| zxyr1向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：Argarg2zzk如如何何確確定定輻輻角角？已已知知復(fù)復(fù)數(shù)數(shù),iyxz .arg , Arg , )0( 000zzz 記記作作的的主主值值稱稱為為的的把把滿滿足足的的輻輻角角中中在在kxyz2arctanArg注：z=0時(shí)，輻角無意義 ,argz2arctan2xyz在第一、四象限argz=arctany/x， z在第二象限argz=arctany/x+，z在第三象限argz=arctany/x-.argzargarctanyzx(4) 主輻角與的關(guān)系arctan,yx0 x 當(dāng)時(shí)0,

9、0 xy當(dāng)時(shí),20,0 xy當(dāng)時(shí)arctanyx0,0 xy當(dāng)時(shí)arctanyx0,0 xy當(dāng)時(shí),2,第一、四象限第二象限第三象限虛軸正向虛軸負(fù)向5復(fù)數(shù)的三角表示:xixeixsincos非零復(fù)數(shù)的三角方式(利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系)：指數(shù)方式(利用中我們講冪級(jí)數(shù)時(shí)引見的歐拉公式)：那么 z=r(cos+isin) =rei =|z|eiArgz 指數(shù)方式 z=x+iy=rcos +irsin =r(cos +isin )=|z|(cosArgz+isinArgz) 三角表示,sin,cos,Arg,0ryrxzrzz則令時(shí)，當(dāng) 利用復(fù)數(shù)的三角方式和指數(shù)方式，我們可以更簡(jiǎn)單的表示復(fù)數(shù)的乘法與

10、除法 ，設(shè)由級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算得到復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ,2121zzzzeee特殊地 有2121zzzzeee,2121)(iiieee2121)(iiieee1Arg11111|(cosArgsinArg )izzzezziz2Arg22222|(cosArgsinArg )izzzezziz那么有1212|cos(ArgArg)zzzz|,|2121zzzz于是，1212Arg()ArgArgz zzz12sin(ArgArg)izz12(ArgArg)1212izzz zzz e 同理，對(duì)除法，也有：1212| |cos(ArgArg)zzzz1212Arg(/)ArgArgzzzz其中后

11、一個(gè)式子也應(yīng)了解為集合相等。, |2121zzzz于是，12sin(ArgArg)izz12(ArgArg)1212izzzzzz e復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘, , 輻角相加輻角相加. . , 2倍倍再把它的模擴(kuò)大到再把它的模擴(kuò)大到 r從幾何上看從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為 , ,21zz , 21 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個(gè)個(gè)角角按按逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向先先把把 z . 21zzz 就就表表示示積積所所得得向向量量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個(gè)兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除

12、數(shù)的輻角之差復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.設(shè)z1、z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，21zz 關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：| ) 1 (2121zzzz| )2(2121zzzz| )3(2121zzzz| )4(2121zzzz|Im| |,|Re| )5(zzzzz zz2| )6(1復(fù)數(shù)的乘冪：非零復(fù)數(shù)z的正整數(shù)次冪zn利用復(fù)數(shù)的三角表示以及指數(shù)表示，我們也可以思索復(fù)數(shù)的乘冪：ArgArg|nnizninzzz eze:(cossin )cossin.ninin棣莫佛公式| (c

13、os Argsin Arg )nznzinz.ArgArg,znzzznnn因而有(Arg )|nninzzze,1 , nnzzn有為負(fù)整數(shù)時(shí)|cos(Arg )sin(Arg )nznzinz.ArgArg,1znzzznnn因而有2復(fù)數(shù)的方根：二項(xiàng)式方程復(fù)數(shù)的方根：二項(xiàng)式方程wn=z的根的的根的全體全體(n為大于為大于2的整數(shù)：的整數(shù)：,arg ,iinzrewzerzz令其中,Arg ,nnininiwwweezre因?yàn)?,2,nnkr nkrn所以于是Arg,Arg.nnnzzzzn也即,arg ,iinzrewzerzz令其中nzinnkinknzinknkezeezzwarg2)

14、2arg(|,|0arg2wwezeknzinkni不同的值只需n個(gè)，比如取k=0,1,2,n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的值，其他的依次n個(gè)數(shù)循環(huán)前n個(gè)不同的值，即z有n個(gè)n次方根，其模一樣，相鄰輻角相差一個(gè)常數(shù)2/n，均勻分布于一個(gè)圓上。現(xiàn)實(shí)上，這n個(gè)不同的值可由w0，依次繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)21arg0,|,0, 1, 2,.iiznnnwewz ek 其中，nnnnn2) 1( ,23,22,2是可以取遍所有整數(shù)，但所以雖然因?yàn)閗eki, 122(cos2sin2)1,i mm emim對(duì) 整數(shù) ,.pmpn qnqqwwwwwnwzn這說明了只有 個(gè)不同的方根。00, 01.mqmqww ww wwq

15、n,0,mnmmpnq如果或22001,1.niniinweewe0, 1, 2,01,pqn z/n/nw1w2w3w4w5w0注：復(fù)數(shù)的乘冪可以推行到有理數(shù)的情形。注：復(fù)數(shù)的乘冪可以推行到有理數(shù)的情形。注：求方根圖示注：求方根圖示2.求z的主輻角；nz3.以為半徑作圓；n4.以為輻角作射線0w交圓一點(diǎn)就是，依次繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)121222,2,(1),.nnw wwnnn就得到1.在平面上作出復(fù)數(shù)z；解：由于,22216842444kikieez4)1 (i,411arctanarg,211,1zziz所以有,22)1 (,2)1 (169821681416804iiieeiei.22)1 (1

16、62582316834iieei3 , 2 , 1 , 0k有四個(gè)根。,22)1 (1617816824iieei例1 求一切值：5.共軛復(fù)數(shù)xiyxiy復(fù)數(shù)與稱為互為共軛復(fù)數(shù),( ) zz容易證明，1212zzzz1212,z zz z1122()zzzz2Re ,2 Imzzz zziz復(fù)數(shù)的共軛定義為：zxiy例2 設(shè)設(shè)z1、z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)兩個(gè)復(fù)數(shù)，證證明：21212121,zzzzzzzz11zz222111,iyxziyxz證明：設(shè))()(221121iyxiyxzz則，)()(2121yyixx)()(2121yyixx212211zziyxiyx)(221121iyxiyxzz則

17、，)()(21212121xyyxiyyxx)()(21212121xyyxiyyxx212211)(zziyxiyx)()()(21212121xyyxiyyxx111111ziyxiyxz),Re(2|212221221zzzzzz)(|2121221zzzzzz）（證明：）（2121(zzzz21212211zzzzzzzz22121 21 2|zzz zz z)Re(2|212221zzzz例例3 設(shè)設(shè)z1、z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：6. 復(fù)數(shù)在幾何上的運(yùn)用舉例(1) 曲線的復(fù)數(shù)方程XY平面上的曲線方程11(),()022Fzzzzi( , )0,F x y 其復(fù)數(shù)形式為

18、12,z z例4 求過兩點(diǎn)的參數(shù)方程。121zzzz即是實(shí)數(shù)，所以解：設(shè)z在z1與z2的連線上，那么121() ().zzt zzt為實(shí)數(shù)123,z zz于是三點(diǎn)共線的充要條件是3121()zzt tzz為非零實(shí)數(shù)121Im0,zzzz直線：或，0arg121zzzz*例例5 作出過復(fù)平面作出過復(fù)平面C上過不共線三點(diǎn)上過不共線三點(diǎn) a,b,c的圓的的圓的表示式。表示式。argargzacazbcb留意到圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為, 并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。 解azbacb 則 如右圖情況時(shí)argargzacazbcb以下兩種情況時(shí)0azbacb Im()0zacazbcb， 即為圓的方程。Arg()0,zacazbcb這說明或于是其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。解：利用0)(22dcybxyxa22,2zzxyzzx, 022dzizzczzbzaz得：).(21icb其中，2zzi y和, 0dzzzaz例例6 試用復(fù)數(shù)表示圓的方程試用復(fù)數(shù)表示圓的方程:例例7 證明三角形內(nèi)角和等于證明三角形內(nèi)角和等于.(2) 利用復(fù)數(shù)證明幾何問題證明設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為123,;z zz對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為, ; 于是2131arg,zzzzoxzzoxzz3121)arg()arg(1312zzzz于是所以 321321311223argargargzzzzzzzzzzzz3212a