1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)校三年級奧數(shù)數(shù)陣圖 一在神奇的數(shù)學(xué)王國中, 有一類特別好玩的數(shù)學(xué)問題,它千變?nèi)f化, 引人入勝,神奇無窮；它就為數(shù)陣,一座真正的數(shù)字迷宮,它對喜愛探究數(shù) 字規(guī)律的人有著極大的吸引力,以至有些人留連其中, 用畢生的精力來爭論它的變化,就連大數(shù)學(xué)家歐拉對它都有著深厚的愛好；那么,究竟什么為數(shù)陣呢？我們先觀看下面兩個圖：左上圖中有 3 個大圓, 每個圓周上都有四個數(shù)字, 有意思的為, 每個圓周上的四個數(shù)字之和都等于 13；右上圖就更有意思了, 19 九個數(shù)字被排成三行三列, 每行的三個數(shù)字之和與每列的三個數(shù)字之和, 以及每條對角線上的三個數(shù)字之和都等于 15,不信你

2、就算算；上面兩個圖就為數(shù)陣圖； 精確地說, 數(shù)陣圖為將一些數(shù)依據(jù)肯定要求排列而成的某種圖形, 有時簡稱數(shù)陣； 要排出這樣奇妙的數(shù)陣圖,可不為一件簡潔的事情；我們?nèi)詾橄葟膸讉€簡潔的例子開頭；例 1 把 15 這五個數(shù)分別填在左下圖中的方格中,使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于9；同學(xué)們可能會覺得這道題太簡潔了,七拼八湊就寫出了右上圖的答案,可為卻搞不清其中的道理；下面我們就一起來分析其中的道理,只有弄懂其中的道理,才可能解出復(fù)雜奇妙的數(shù)陣問題；分析與解： 中間方格中的數(shù)很特別,橫行的三個數(shù)有它, 豎列的三個數(shù)也有它,我們把它叫做“重疊數(shù)”；也就為說,橫行的三個數(shù)之和加上豎列 的三個數(shù)之和, 只

3、有重疊數(shù)被加了兩次,即重疊了一次, 其余各數(shù)均被加了一次；由于橫行的三個數(shù)之和與豎列的三個數(shù)之和都等于9,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1+2+3+4+5+重疊數(shù) =9+9,重疊數(shù) =9+9-1+2+3+4+5=3 ；重疊數(shù)求出來了,其余各數(shù)就好填了 見右上圖 ；例 2 把 15 這五個數(shù)填入下頁左上圖中的里 已填入 5 ,使兩條直線上的三個數(shù)之和相等；分析與解： 與例 1 不同之處為已知“重疊數(shù)”為5,而不知道兩條直線上的三個數(shù)之和都等于什么數(shù)；所以,必需先求出這個“和”；依據(jù)例1 的分析知,兩條直線上的三個數(shù)相加, 只有重疊數(shù)被加了兩遍,其余各數(shù)均被加了一遍,所以兩條直

4、線上的三個數(shù)之和都等于1+2+3+4+5+5÷2=10；因此,兩條直線上另兩個數(shù) 非“重疊數(shù)” 的和等于 10-5=5；在剩下的四個數(shù)1, 2 , 3 , 4 中,只有 1+4=2+ 3=5；故有右上圖的填法；例 3 把 15 這五個數(shù)填入右圖中的里,使每條直線上的三個數(shù)之和相等；分析與解： 例 1 為知道每條直線上的三數(shù)之和, 不知道重疊數(shù)； 例 2 為知道重疊數(shù),不知道兩條直線上的三個數(shù)之和； 本例為這兩樣什么都不知道；但由例 1.例 2 的分析知道,1+2+3+4+5+重疊數(shù)=每條直線上三數(shù)之和×2, 所以,每條直線上三數(shù)之和等于15+ 重疊數(shù) ÷ 2；精品

5、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于每條直線上的三數(shù)之和為整數(shù),所以重疊數(shù)只可能為1,3 或 5；如“重疊數(shù)” =1,就兩條直線上三數(shù)之和為15+1 ÷2=8 ；填法見左下圖；如“重疊數(shù)” =3,就兩條直線上三數(shù)之和為15+3 ÷2=9 ；填法見下中圖；如“重疊數(shù)” =5,就兩條直線上三數(shù)之和為15+5 ÷2=10 ；填法見右下圖；由以上幾例看出, 求出重疊數(shù)為解決數(shù)陣問題的關(guān)鍵；為了進(jìn)一步學(xué)會把握這種解題方法,我們再看兩例；例 4 將 17 這七個自然數(shù)填入左下圖的七個內(nèi),使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于10；分析與解： 與例 1 類似,知道每條邊上的三

6、數(shù)之和,但不知道重疊數(shù)；由于有 3 條邊,所以中間的重疊數(shù)重疊了兩次；于為得到1+2+、+7+重疊數(shù)× 2=10×3；由此得出重疊數(shù)為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10 ×3-1+2+ 、+7 ÷2=1 ；剩下的六個數(shù)中,兩兩之和等于9 的有 2,7；3,6；4,5；可得右上圖的填法；假如把例 4 中“每條邊上的三個數(shù)之和都等于 10”改為“每條邊上的三個數(shù)之和都相等”,其他不變,那么仿照樣 3,重疊數(shù)可能等于幾？怎樣填？例 5 將 10 20 填入左下圖的內(nèi),其中15 已填好,使得每條邊上的三個數(shù)字之和都相等；解： 與例 2 類似,中間

7、內(nèi)的15 為重疊數(shù),并且重疊了四次,所以每條邊上的三個數(shù)字之和等于10+11+ 、+20+15 ×4 ÷5=45；剩下的十個數(shù)中,兩兩之和等于45-15=30的 有 10, 20；11,19；12,18； 13,17； 14,16；于為得到右上圖的填法；例 15 都具有中心數(shù)為重疊數(shù),并且每邊的數(shù)字之和都相等的性質(zhì),這樣的數(shù)陣圖稱為輻射型；例 4 的圖中有三條邊, 每邊有三個數(shù), 稱為輻射型 33 圖；例 5 有五條邊每邊有三個數(shù),稱為輻射型53 圖；一般地,有 m條邊,每邊有n 個數(shù)的形如下圖的圖形稱為輻射型mn 圖；輻射型數(shù)陣圖只有一個重疊數(shù),重疊次數(shù)為“直線條數(shù)” -

8、1 ,即 m-1；對于輻射型數(shù)陣圖,有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已知各數(shù)之和 +重疊數(shù)×重疊次數(shù)=直線上各數(shù)之和×直線條數(shù)；由此得到：(1) 如已知每條直線上各數(shù)之和,就重疊數(shù)等于 直線上各數(shù)之和×直線條數(shù)- 已知各數(shù)之和 ÷重疊次數(shù)；如例 1.例 4；(2) 如已知重疊數(shù),就直線上各數(shù)之和等于 已知各數(shù)之和 +重疊數(shù)×重疊次數(shù) ÷直線條數(shù)；如例2.例 5；(3) 如重疊數(shù)與每條直線上的各數(shù)之和都不知道,就要從重疊數(shù)的可能取值分析爭論,如例3；練 習(xí) 161. 將 1 7 這七個數(shù)分別填入左下圖中的里,使每條直線上

9、的三個數(shù)之和都等于12；假如每條直線上的三個數(shù)之和等于10,那么又該如何填？2. 將 1 9 這九個數(shù)分別填入右上圖中的里 其中 9 已填好 ,使每條直線上的三個數(shù)之和都相等；假如中心數(shù)為5,那么又該如何填？3. 將 1 9 這九個數(shù)分別填入右圖的小方格里,使橫行和豎列上五個數(shù)之和相等； 至少找出兩種本質(zhì)上不同的填法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4. 將 3 9 這七個數(shù)分別填入左下圖的里,使每條直線上的三個數(shù)之和等于 20；5. 將 1 11 這十一個數(shù)分別填入右上圖的里,使每條直線上的三個數(shù)之和相等,并且盡可能大；6. 將 1 7 這七個數(shù)分別填入下圖的里,使得每條直線上三

10、個數(shù)之和與每個圓圈上的三個數(shù)之和都相等；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案與提示練 習(xí) 165. 提示：中心數(shù)為重疊數(shù), 并且重疊 4 次；所以每條直線上的三數(shù)之和等于1 2、 11 重疊數(shù)× 4÷ 566 重疊數(shù)× 4 ÷5；為使上式能整除,重疊數(shù)只能為1,6 或 11；明顯,重疊數(shù)越大,每條直線上的三數(shù)之和越大；所以重疊數(shù)為11,每條直線上的三數(shù)之和為22；填法見右圖；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6. 解：全部的數(shù)都為重疊數(shù),中心數(shù)重疊兩次,其它數(shù)重疊一次；所以三條邊及兩個圓周上的全部數(shù)之和為1 2、 7 × 2中心數(shù) 56中心數(shù)；由于每條邊及每個圓周上的三數(shù)之和都相等,所以這個和應(yīng)當(dāng)為5的倍數(shù),再由中心數(shù)在1 至 7 之間,所以中心數(shù)為4；每條邊及每個圓周上的三數(shù)之和等于5