1、2013年遼寧省高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）（2013遼寧）已知集合a=0，1，2，3，4，b=x|x|2，則ab=（）a0b0，1c0，2d0，1，2考點：交集及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題分析：求出b中絕對值不等式的解集，確定出b，找出a與b的公共元素即可求出交集解答：解：由b中的不等式|x|2，解得：2x2，即b=（2，2），a=0，1，2，3，4，ab=0，1故選b點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵2（5分）（2013遼寧）復數(shù)的模長為（）abcd2考點：復數(shù)求模菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算

2、題分析：通過復數(shù)的分子與分母同時求模即可得到結果解答：解：復數(shù)，所以=故選b點評：本題考查復數(shù)的模的求法，考查計算能力3（5分）（2013遼寧）已知點a（1，3），b（4，1），則與向量同方向的單位向量為（）abcd考點：平行向量與共線向量；單位向量菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：平面向量及應用分析：由條件求得 =（3，4），|=5，再根據(jù)與向量同方向的單位向量為 求得結果解答：解：已知點a（1，3），b（4，1），=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5，則與向量同方向的單位向量為 =，故選a點評：本題主要考查單位向量的定義和求法，屬于基礎題4（5分）（2013遼寧）下列關于公差d0的等差數(shù)列an的四

3、個命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列；其中真命題是（）ap1，p2bp3，p4cp2，p3dp1，p4考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；命題的真假判斷與應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：對于各個選項中的數(shù)列，計算第n+1項與第n項的差，看此差的符號，再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結論解答：解：對于公差d0的等差數(shù)列an，an+1an=d0，命題p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列成立，是真命題對于數(shù)列數(shù)列nan，第n+1項與第n項的差等于 （n+1）an+1nan=（n+1）d+an，不一定是正實數(shù)，故p2不正確，是假命題對于數(shù)列

4、，第n+1項與第n項的差等于 =，不一定是正實數(shù)，故p3不正確，是假命題對于數(shù)列數(shù)列an+3nd，第n+1項與第n項的差等于 an+1+3（n+1）dan3nd=4d0，故命題p4：數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列成立，是真命題故選d點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義，增數(shù)列的含義，命題的真假的判斷，屬于中檔題5（5分）（2013遼寧）某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是（）a45b50c55d60考點：頻率分布直方圖菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：概率與統(tǒng)計分析：由已知中的頻率

5、分布直方圖，我們可以求出成績低于60分的頻率，結合已知中的低于60分的人數(shù)是15人，結合頻數(shù)=頻率×總體容量，即可得到總體容量解答：解：成績低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對應矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績低于60分的頻率p=（0.005+0.010）×20=0.3，又低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是=50故選：b點評：本題考查的知識點是頻率分布直方圖，結合已知中的頻率分布直方圖，結合頻率=矩形的高×組距，求出滿足條件的事件發(fā)生的頻率是解答本題的關鍵6（5分）（2013遼寧）在abc，內(nèi)角a，b，c所對

6、的邊長分別為a，b，casinbcosc+csinbcosa=b，且ab，則b=（）abcd考點：正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：解三角形分析：利用正弦定理化簡已知的等式，根據(jù)sinb不為0，兩邊除以sinb，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求出sinb的值，即可確定出b的度數(shù)解答：解：利用正弦定理化簡已知等式得：sinasinbcosc+sincsinbcosa=sinb，sinb0，sinacosc+sinccosa=sin（a+c）=sinb=，ab，ab，即b為銳角，則b=故選a點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及誘導公式，熟練掌握正弦定理是解本

7、題的關鍵7（5分）（2013遼寧）已知函數(shù)f（x）=ln3x）+1，則f（lg2）+f=（）a1b0c1d2考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的值菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：利用對數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)以及對數(shù)值，直接化簡求解即可解答：解：函數(shù)，則=f（lg2）+f（lg2）=+=+1+=+=2故選：d點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的求法，考查分析問題解決問題的能力與計算能力8（5分）（2013遼寧）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=8，則輸出s=（）abcd考點：程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：圖表型分析：由已知中的程序框圖及已知中輸入8，可得：進入循環(huán)的條件為i8

8、，即i=2，4，6，8，模擬程序的運行結果，即可得到輸出的s值解答：解：當i=2時，s=0+=，i=4；當i=4時，s=+=，i=6；當i=6時，s=+=，i=8；當i=8時，s=+=，i=10；不滿足循環(huán)的條件i8，退出循環(huán)，輸出s=故選a點評：本題考查的知識點是程序框圖，在寫程序的運行結果時，我們常使用模擬循環(huán)的變法，但程序的循環(huán)體中變量比較多時，要用表格法對數(shù)據(jù)進行管理9（5分）（2013遼寧）已知點o（0，0），a（0，b），b（a，a3），若oab為直角三角形，則必有（）ab=a3bcd考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：平面向量及應用分析：利用已知可得=（a，

9、a3b），=（a，a3），且ab0分以下三種情況：，利用垂直與數(shù)量積的關系即可得出解答：解：=（a，a3b），=（a，a3），且ab0若，則=ba3=0，a=0或b=0，但是ab0，應舍去；若，則=b（a3b）=0，b0，b=a30；若，則=a2+a3（a3b）=0，得1+a4ab=0，即綜上可知：oab為直角三角形，則必有故選c點評：熟練掌握垂直與數(shù)量積的關系、分類討論的思想方法是解題的關鍵10（5分）（2013遼寧）已知三棱柱abca1b1c1的6個頂點都在球o的球面上，若ab=3，ac=4，abac，aa1=12，則球o的半徑為（）abcd考點：球內(nèi)接多面體；點、線、面間的距離計算菁優(yōu)網(wǎng)

10、版權所有專題：空間位置關系與距離分析：通過球的內(nèi)接體，說明幾何體的側面對角線是球的直徑，求出球的半徑解答：解：因為三棱柱abca1b1c1的6個頂點都在球o的球面上，若ab=3，ac=4，abac，aa1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，側棱與底面垂直，側面b1bcc1，經(jīng)過球的球心，球的直徑是其對角線的長，因為ab=3，ac=4，bc=5，bc1=，所以球的半徑為：故選c點評：本題考查球的內(nèi)接體與球的關系，球的半徑的求解，考查計算能力11（5分）（2013遼寧）已知橢圓c：的左焦點f，c與過原點的直線相交于a，b兩點，連結af，bf，若|ab|=10，|af|=6，則c的離心率為（）ab

11、cd考點：橢圓的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：在afb中，由余弦定理可得|af|2=|ab|2+|bf|22|ab|bf|cosabf，即可得到|bf|，設f為橢圓的右焦點，連接bf，af根據(jù)對稱性可得四邊形afbf是矩形即可得到a，c，進而取得離心率解答：解：如圖所示，在afb中，由余弦定理可得|af|2=|ab|2+|bf|22|ab|bf|cosabf，化為（|bf|8）2=0，解得|bf|=8設f為橢圓的右焦點，連接bf，af根據(jù)對稱性可得四邊形afbf是矩形|bf|=6，|ff|=102a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5故選b點評：熟練掌

12、握余弦定理、橢圓的定義、對稱性、離心率、矩形的性質(zhì)等基礎知識是解題的關鍵12（5分）（2013遼寧）已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8設h1（x）=maxf（x），g（x），h2（x）=minf（x），g（x）（max（p，q）表示p，q中的較大值，min（p，q）表示p，q中的較小值），記h1（x）的最小值為a，h2（x）的最大值為b，則ab=（）aa22a16ba2+2a16c16d16考點：函數(shù)最值的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：本選擇題宜采用特殊值法取a=2，則f（x）=x2+4，g（x）=x28x+4畫

13、出它們的圖象，如圖所示從而得出h1（x）的最小值為兩圖象右邊交點的縱坐標，h2（x）的最大值為兩圖象左邊交點的縱坐標，再將兩函數(shù)圖象對應的方程組成方程組，求解即得解答：解：取a=2，則f（x）=x2+4，g（x）=x28x+4畫出它們的圖象，如圖所示則h1（x）的最小值為兩圖象右邊交點的縱坐標，h2（x）的最大值為兩圖象左邊交點的縱坐標，由解得或，a=4，b=20，ab=16故選c點評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)最值的應用等，考查了數(shù)形結合的思想，屬于中檔題二、填空題13（5分）（2013遼寧）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是1616考點：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版

14、權所有專題：空間位置關系與距離分析：首先判斷該幾何體的形狀，然后計算其體積即可解答：解：根據(jù)三視圖可知，該幾何體為圓柱中挖去一個四棱柱，圓柱是底面外徑為2，高為4的圓筒，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，高也為4故其體積為：22×422×4=1616，故答案為：1616點評：本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是首先判斷該幾何體為圓柱中挖去一個棱柱，然后利用柱體的體積計算方法計算其體積差即可14（5分）（2013遼寧）已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，sn是an的前n項和若a1，a3是方程x25x+4=0的兩個根，則s6=63考點：等比數(shù)列的前n項和菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：等

15、差數(shù)列與等比數(shù)列分析：通過解方程求出等比數(shù)列an的首項和第三項，然后求出公比，直接利用等比數(shù)列前n項和公式求前6項和解答：解：解方程x25x+4=0，得x1=1，x2=4因為數(shù)列an是遞增數(shù)列，且a1，a3是方程x25x+4=0的兩個根，所以a1=1，a3=4設等比數(shù)列an的公比為q，則，所以q=2則故答案為63點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前n項和，是基礎的計算題15（5分）（2013遼寧）已知f為雙曲線c：的左焦點，p，q為c上的點，若pq的長等于虛軸長的2倍，點a（5，0）在線段pq上，則pqf的周長為44考點：雙曲線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題；壓軸題；圓

16、錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：根據(jù)題意畫出雙曲線圖象，然后根據(jù)雙曲線的定義“到兩定點的距離之差為定值2a“解決求出周長即可解答：解：根據(jù)題意，雙曲線c：的左焦點f（5，0），所以點a（5，0）是雙曲線的右焦點，虛軸長為：8；雙曲線圖象如圖：|pf|ap|=2a=6 |qf|qa|=2a=6 而|pq|=16，+得：|pf|+|qf|pq|=12，周長為：|pf|+|qf|+|pq|=12+2|pq|=44故答案為：44點評：本題考查雙曲線的定義，通過對定義的考查，求出周長，屬于基礎題16（5分）（2013遼寧）為了考察某校各班參加課外小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人

17、數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10考點：總體分布的估計；極差、方差與標準差菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：壓軸題；概率與統(tǒng)計分析：本題可運用平均數(shù)公式求出平均數(shù)，再運用方差的公式列出方差表達式，再討論樣本數(shù)據(jù)中的最大值的情況，即可解決問題解答：解：設樣本數(shù)據(jù)為：x1，x2，x3，x4，x5，平均數(shù)=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）2÷5=4從而有x1+x2+x3+x4+x5=35，（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x

18、57）2=20若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11，不妨設x5=11，則式變?yōu)椋海▁17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2=4，由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，這是不可能成立的；若樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，8，10，代入驗證知式均成立，此時樣本數(shù)據(jù)中的最大值為 10故答案為：10點評：本題考查的是平均數(shù)和方差的求法計算方差的步驟是：計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；計算偏差，即每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差；計算偏差的平方和；偏差的平方和除以數(shù)據(jù)個數(shù)三、解答題17（12分）（2013遼寧）設向量，（1）若，求x的值；（2）設函數(shù)，求f（x）的最大值考點：平面向量數(shù)量積的運算；向量的模；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版

19、權所有專題：平面向量及應用分析：（1）由條件求得，的值，再根據(jù)以及x的范圍，可的sinx的值，從而求得x的值（2）利用兩個向量的數(shù)量積公式以及三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x）+結合x的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最大值解答：解：（1）由題意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=x0，sinx=，即x=（2）函數(shù)=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+ x0，2x，當2x=，sin（2x）+取得最大值為1+=點評：本題主要

20、考查兩個向量的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題18（12分）（2013遼寧）如圖，ab是圓o的直徑，pa圓o所在的平面，c是圓o上的點（1）求證：bc平面pac；（2）若q為pa的中點，g為aoc的重心，求證：qg平面pbc考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：空間位置關系與距離分析：（1）由pa圓所在的平面，可得pabc，由直徑對的圓周角等于90°，可得bcac，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得結論（2）連接og并延長交ac于點m，則由重心的性質(zhì)可得m為ac的中點利用三角形的中位線性質(zhì)，證明ombc，qmp

21、c，可得平面oqm平面pbc，從而證明qg平面pbc解答：解：（1）ab是圓o的直徑，pa圓所在的平面，可得pabc，c是圓o上的點，由直徑對的圓周角等于90°，可得bcac再由acpa=a，利用直線和平面垂直的判定定理可得bc平面pac（2）若q為pa的中點，g為aoc的重心，連接og并延長交ac于點m，連接qm，則由重心的性質(zhì)可得m為ac的中點故om是abc的中位線，qm是pac的中位線，故有ombc，qmpc而om和qm是平面oqm內(nèi)的兩條相交直線，ac和bc是平面pbc內(nèi)的兩條相交直線，故平面oqm平面pbc又qg平面oqm，qg平面pbc點評：本題主要考查直線和平面垂直的判

22、定定理、直線和平面平行的判定定理的應用，屬于中檔題19（12分）（2013遼寧）現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取2道題解答（1）所取的2道題都是甲類題的概率；（2）所取的2道題不是同一類題的概率考點：古典概型及其概率計算公式；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）根據(jù)題意，設事件a為“都是甲類題”，由組合數(shù)原理，可得試驗結果總數(shù)與a包含的基本事件數(shù)目，由古典概率公式計算可得答案，（2）設事件b為“所取的2道題不是同一類題”，分析可得是組合問題，由組合公式，可得從6件中抽取2道的情況數(shù)目與抽出的2道是一個甲類題，一個乙類題的情況數(shù)目，

23、由古典概率公式計算可得答案解答：解：（1）從中任取2道題解答，試驗結果有=15種；設事件a為“所取的2道題都是甲類題”，則包含的基本事件共有c=6種，因此，p（a）=（2）設事件b為“所取的2道題不是同一類題”，從6件中抽取2道，有c62種情況，而抽出的2道是一個甲類題，一個乙類題的情況數(shù)目，有c41c21=8種情況，根據(jù)古典概型的計算，有p（b）=點評：本題考查組合的運用以及古典概型的概率的計算，屬于基礎題20（12分）（2013遼寧）如圖，拋物線c1：x2=4y，c2：x2=2py（p0），點m（x0，y0）在拋物線c2上，過m作c1的切線，切點為a，b（m為原點o時，a，b重合于o），當

24、x0=1時，切線ma的斜率為（）求p的值；（）當m在c2上運動時，求線段ab中點n的軌跡方程（a，b重合于o時，中點為o）考點：直線與圓錐曲線的關系；拋物線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）利用導數(shù)的幾何意義，先表示出切線方程，再由m在拋物線上及在直線上兩個前提下，得到相應的方程，解出p值（）由題意，可先設出a，b兩個端點的坐標及中點的坐標，再由中點坐標公式建立方程，直接求解出中點n的軌跡方程解答：解：（）因為拋物線c1：x2=4y上任意一點（x，y）的切線斜率為y=，且切線ma的斜率為，所以a點的坐標為（1，），故切線ma的方程為y=（x+1）

25、+因為點m（1，y0）在切線ma及拋物線c2上，于是y0=（2）+= y0= 解得p=2（）設n（x，y），a（x1，），b（x2，），x1x2，由n為線段ab中點知x= ，y= 切線ma，mb的方程為y=（xx1）+，；y=（xx2）+，由得ma，mb的交點m（x0，y0）的坐標滿足x0=，y0=因為點m（x0，y0）在c2上，即x02=4y0，所以x1x2=由得x2=y，x0當x1=x2時，a，b丙點重合于原點o，a，b中點n為o，坐標滿足x2=y因此中點n的軌跡方程為x2=y點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，此類題運算較繁，解答的關鍵是合理引入變量，建立起相應的方程，本題探索性強，屬于

26、能力型題21（12分）（2013遼寧）（1）證明：當x0，1時，；（2）若不等式對x0，1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍考點：不等式的證明；函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題；壓軸題；不等式的解法及應用分析：（1）記f（x）=sinxx，可求得f（x）=cosx，分x（0，）與x（，1）兩類討論，可證得當x0，1時，f（x）0，即sinxx；記h（x）=sinxx，同理可證當x（0，1）時，sinxx，二者結合即可證得結論；（2）利用（1），可求得當x0，1時，ax+x2+2（x+2）cosx4（a+2）x，分a2與a2討論即可求得實數(shù)a的取值范圍解答：（1）證明：

27、記f（x）=sinxx，則f（x）=cosx當x（0，）時，f（x）0，f（x）在0，上是增函數(shù)；當x（，1）時，f（x）0，f（x）在，1上是減函數(shù)；又f（0）=0，f（1）0，所以當x0，1時，f（x）0，即sinxx3記h（x）=sinxx，則當x（0，1）時，h（x）=cosx10，所以h（x）在0，1上是減函數(shù)；則h（x）h（0）=0，即sinxx綜上，xsinxx5（2）當x0，1時，ax+x2+2（x+2）cosx4=（a+2）x+x2+4（x+2）（a+2）x+x2+4（x+2）=（a+2）x，當a2時，不等式ax+x2+2（x+2）cosx4對x0，1恒成立，9下面證明，當a

28、2時，不等式ax+x2+2（x+2）cosx4對x0，1不恒成立當x0，1時，ax+x2+2（x+2）cosx4=（a+2）x+x2+4（x+2）（a+2）x+x2+4（x+2）=（a+2）xx2（a+2）xx2=xx（a+2）所以存在x0（0，1）（例如x0取和中的較小值）滿足ax0+2（x0+2）cosx040，即當a2時，不等式ax+x2+2（x+2）cosx4對x0，1不恒成立綜上，實數(shù)a的取值范圍是（，2點評：本題考查不等式的證明，突出考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合應用，屬于難題請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則

29、按所做的第一題計分。22（10分）（2013遼寧）（選修41幾何證明選講）如圖，ab為o的直徑，直線cd與o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直于ab于f，連接ae，be，證明：（1）feb=ceb；（2）ef2=adbc考點：與圓有關的比例線段菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題分析：（1）直線cd與o相切于e，利用弦切角定理可得ceb=eab由ab為o的直徑，可得aeb=90°又efab，利用互余角的關系可得feb=eab，從而得證（2）利用（1）的結論及ecb=90°=efb和eb公用可得cebfeb，于是cb=fb同理可得adeafe，ad=af在rtaeb中，由efab，利用射影定理可得ef2=affb等量代換即可解答：證明：（1）直線cd與o相切于e，ceb=eabab為o的直徑，aeb=90°eab+eba=90°efab，feb+ebf=90°feb=eabceb=eab（2）bccd，ecb=90°=efb，又ceb=feb，eb公用cebfebcb=fb同理可得adeafe，ad=af在rtaeb中，efab，ef2=affbef2=adcb點評：熟練掌握弦切角定理、直角三角形的互為余角的關系、三角形全等的判定與性質(zhì)、射影定理等是解題的關鍵23