1、不同意義下的函數(shù)逼近問題徐玲1,張雷21遼寧工程技術大學理學院信息與計算科學，阜新( 123000 )2. 遼寧工程技術大學理學院信息與計算科學，阜新( 123000 )e-mail： xuling 19870520® 摘 要：針對函數(shù)逼近問題，本文分別利用三次樣條插值，最佳一次逼近，最佳平方逼近三 種逼近方式對已給函數(shù)進行逼近比較，從而得出了，三次樣條插值逼近最好，但需要知道被 逼近的函數(shù)在節(jié)點上的n個準確值。勒讓德做最佳平方逼近隨著次幕的增加函數(shù)越逼近。關鍵詞：三次樣條插值，最佳一次逼近，最佳平方逼近，法方程，勒讓得多項式 在數(shù)值計算屮經常要計算函數(shù)值，如計算機屮計算基本初等函數(shù)

2、及其他特殊函數(shù); 當函數(shù)只在有限點集上給定函數(shù)值，要在包含該點集的區(qū)間上用公式給出函數(shù)的 簡單表達式，這些都涉及到在區(qū)間a,b上用函數(shù)逼近已知復朵函數(shù)的問題，這 就是函數(shù)逼近問題。2. 1三次樣條插值2. 1. 1三次樣條函數(shù)定義：若函數(shù)s(x)wc2d,b,且在每個小區(qū)間xj,xy+1上是三 次多項式，其中a = x()<xl <二b是給定節(jié)點，則稱s(x)是節(jié)點兀(),西,.也上 的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點x/上給定函數(shù)值yj = /(%,)(； =0,1,n),并且成立= yj (j =0,1,-,n)則稱s(兀)為三次樣條插值兩數(shù)。1. 2樣條插值函數(shù)公式的導出：利用s(x)

3、的二階導數(shù)值5 (x7) = m7.(j = o,1叭表達s(x),由于s(x)在區(qū)間xpx7+1上是三次多項式，故s (x)在xy.,xy+1上是線 性函數(shù)，可表示為sx) = mjx-x.hj對s”積分兩次并利用sg)=兀及s(飭)=，可定義出積分常數(shù)，于是得三次樣條表達式-x)3(x-xf.)3m ./i.2 x. . -xa/.2 x-x;s屮弋l + 寸+ (y廠寧)十+ (右十)寧jjjj(j=o,l,n-l).2、最佳一次逼近2. 1最佳一次逼近定義:假定f(x)eca.b9若存在用丘比使得f,p；) = en則 稱是/(兀)在。,列上的最佳逼近多項式。當n=l時，假定f(x)e

4、c2a,b9且 f (兀)在(a, b)內不變號，則是最佳一次逼近多項式a(x) = do + a“2.2最佳一次逼近公式的導出：至少有3 4"a<x<x2<x.<b ,使人(檢)一/(無)=(j)" "max忸(x)- f (型(cr = ±l,k = 1,2,3)。由于八x)在°,列上 不變號，故/ (兀)單調，fx)-aa在仏b)內只有一個零點，記兀2為，丁'是 p*(x2)- f x2) = a-f x2) = of 即 / (x2) = o另外兩個偏差點必是區(qū)間端點，即x=ax2=b且 滿足 人(b)-

5、/(b) = -片(兀2)-/(兀2)由此得到彳"wf( q(aa-f (a )=/ (七)-(® 十山七)解出a產住f"(s代入前一個式得_ /(a) + /(x2) f(h-a)a + x202b-a 2這就得到最佳一次逼近多項式p (x) = a。+ qx.3、最佳平方逼近3.1最佳平方逼近定義：對f(x)eca,h及ca,b屮的一個子集 0 = ¥勁%(兀),若存在s*(x)e,使x)f(x)-s(x)dx|/(兀)s()| ；=脫 |/s(q|；二材叮 p (則稱s* (x)是/(%)在了集0 u ca,列中的最佳平方逼近函數(shù)。3. 2最佳平方

6、逼近公式的導出:(1)用法方程作最佳平方逼近：為了求可sx)該問題等價于求多元函數(shù)it/（繩,也,.）=°（兀）£勺轉（兀）一/7=0dx的最小。由于心。,舛）是關于，色的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)求極值的必要條件即2 = 2da,pn(x)=n(2n)dxnanl(x2-lfgta 俐(兀)-.f (兀) (pk (x)/x = 0(k=0,l,2.,n)于是有工（件,俗”丿=（/（x）,（x）j=o這是關于d（）, d,.an的線性方程組，稱為法方程。由于 （%）,叭（兀）,.0” （兀）線性無關, 故系數(shù)detg（0o（x）,%cx）,.0q）ho ,于是方程組有唯一解色

7、（k=0,l,.,n）, 從而得到 s ' （x）=唧0o） + a、（p （兀）+ + an（pn （x）.（2）用勒讓德公式作最佳平方逼近：勒讓徳多項式：當區(qū)間為-1, 1,權函數(shù)° （x）三1吋，由1,兀，*,正交化得到的多項式就稱為勒讓德多項式，并用£）（兀），£（兀），代（兀），表示。這是勒讓 徳于1785年引進的。1814年羅徳利克給出了簡單的表達式£）（兀）=1,璟兀）=舟令（兀2_1）“ （n=l, 2,），而后通過推理得出了最高項系數(shù)為1的勒讓德多項式為進而又得出了勒讓德的遞推公式(n +1)j+i(x) = (2n + v)x

8、pn(x)-npn_(x)(n=l, 2,),由/（%）=!, /（%）=%,利用勒讓德的遞推公式就可推出 乙= (3/-1)/2,碼= "-3x)/2,馬(兀) = (35/30/+3)/8,p5(x) = (63x5 一70x3 +15x)/8,p6 (x) = (231/-315/+105兀 $-5)/16用正交函數(shù)族作最佳平方逼近設 f(x)eca,b, (p = span%(兀),(p (x), , % (x)若 (兀),® (兀),(pn (x)是滿足條件bw j，(pk) p(x)(p j(x)(pklx 乂 x 二聘；爲*的正交函數(shù)族，則（0（兀）,轉（兀）

9、=0,ihj而（0（兀）,轉（兀）0 ,故法方程£0）,轉0）幻=（/（兀），級）（k二0 ,1 ,，n ）的系數(shù) 矩 陣7=0g” =g)(x),®(x),® )為非奇異對角陣工.（兀）,轉弘=（/（兀）,級）（k=0,17=0方程（一）a： =（/®）/（級禺）（k=0, 1, ,）于是在中的故佳平方逼近函數(shù)為5）現(xiàn)僚“方程（二）。下面考慮函數(shù)/（x）gc-1,1,按勒讓德多項式/（%）, 恥）,，pn（x）展開, 由方程（一）、（二）可得s；（x） = q；pq（x） + a：人（x） + + anpn（x）,其中”（兀）人（無處。-1d* = (

10、/(x),人 00) = 2£ + l 兔(£(%)& (兀)一二"4、幾種函數(shù)逼近比較為了比較以上幾種函數(shù)逼近方式的逼近能力，首先選擇函數(shù)/（x） = v?+t,xe（0,1）作為例子，來檢驗以上各種函數(shù)逼近方式的逼近能力。經過計算所得結果如下：1.三次樣條插值：選取節(jié)點為：0.03,0.26,0.54,求0： 0.055： 1各個點的函數(shù)值，得 到的數(shù)據如下：columns 1through 81.05181.06351.03861.03051.02721.02891.03551.0470columns 9through 16l 08491. 1113

11、1. 14261. 1788l2199l 26601.31701.3730columns 17 through 191.43381.49961.5704,最大誤差為：1.9254x10"2. 最佳一次逼近多項式：5(x) = 0.414x4-0.955,最大誤差為：0. 04503. 用法方程作最佳平方逼近：s(x) = 0.426兀+ 0.9343. 用勒讓德公式作最佳平方逼近：一次的：s(兀)=0.4630% + 0.9136, m大誤差：0. 0838.二次的:s（兀）=0.2378%2 + 0.2252x + 0.9758,最大誤差:0. 0304.對在上幾種不同意義下的幾種

12、函數(shù)逼近方式比較如表:不同意義下兩數(shù)最大誤差三次樣條0.00019255最佳一次逼近0.04500000最佳平 方逼近法方程0.06600000勒 讓 德次0.08380000次0.03040000將以上幾種函數(shù)逼近所得的結果和多項式繪圖，如下面的圖：注:圖小紅色*線代表三次 樣條，藍色代表最佳一次，橙色代表用法方程作最佳平方逼近，黑色代表二次的用勒讓 德公式作最佳平方逼近5、得出結論插值法是函數(shù)逼近問題的一種，從表和圖中可以看出來三次樣條是最好的函數(shù) 逼近。因為它有良好的收斂性和穩(wěn)定性、又具有二階光滑度。因此，在理論上和 應用上均有重要意義。但是也有不足，需要在有限點集上給定節(jié)點和函數(shù)值，有 一定的局限性。用勒讓德公式作的最佳平方逼近次之，這種方式階數(shù)越高，誤差 越小，越接近真實值。參考文獻1 樓順天，陳生潭，雷虎民.matlab5.x程序設計語言m.西安：西安電了科技大學出版社，2000.42 姜健飛，胡良劍，唐儉.數(shù)值分析及其matlab實驗m.