1、61北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)（理）2019. 3本試卷共 4 頁，150 分。考試時長 120 分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答 無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.A . x|x 2B . x|1 x 2C . x|1 x 2A .第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限1.已知集合 A x | x21，集合 B x |x4,則 AI B2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1 2ii對應(yīng)的點(diǎn)位于3.（丄x）4的展開式中的常數(shù)項為x

2、A.12C.6D.124. 若函數(shù)f（X）2x,xlog2x, x則函數(shù)1,f （x）的值域是A. ( ,2)B. ( ,2C. 0,),0) U (0,2)如圖，函數(shù) f （x）的圖象是由正弦曲線或余弦曲線經(jīng)過變換得到的，則以是A .f(x)si n(2x -)3B .f(x)sin(4x )6C . f(x)cos(2x )3D .f(x)cos(4x )f（x）的解析式可2y 0,6.記不等式組y X 3,所表示的平面區(qū)域?yàn)镈“點(diǎn)（1,1） D ”是“k 1”的y kxA .充分而不必要條件B 必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7某三棱錐的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小

3、正方形的邊長為C.P |. 1正（主）視圖側(cè)（左）視圖/ Hm&某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14, 10 , &若這三天中至少有天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是C. 7第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6 小題，每小題 5 分，共 30 分把答案填在答題卡上29.雙曲線中 y21的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離是10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的11.在極坐標(biāo)系中，直線cos 1 與圓1）,則該三棱錐的體積為俯視圖312.能說明“函數(shù)f(X)的圖象在區(qū)間 0,2 上是一條連續(xù)不斷的曲線若f(0) f(2) 0,則f

4、 (X)在(0,2)內(nèi)無零點(diǎn)”為假命題的一個函數(shù)是 _.13.天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場所.天壇公園中的圜丘臺共有三層 (如 圖 1 所示)，上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石(如圖2 所示).上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán)； 第一環(huán)的扇面形石有 9 塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石 塊數(shù)比前一環(huán)多 9 塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是 _ ;上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是_.6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15.(本小題滿分 13 分)在厶 AB

5、C 中，a . 21 ,A 120, ABC 的面積等于.3，且b C.(I)求b的值；(n)求cos2B的值.16.(本小題滿分 13 分)某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機(jī)抽取了50 名乘客，統(tǒng)計其乘車等uur uuuuuuu iur14 在平面內(nèi)，點(diǎn)A是定點(diǎn)，動點(diǎn)B,C滿足| AB| | AC| 1 , AB AC0 ,則集合uuu uui uuu P|AP = AB + AC,12所表示的區(qū)域的面積是 _三、解答題：本大題共圖1圖24待時間(指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超過40 分鐘).將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按5,10),10,15),15,20), L ,35,40分

6、組，制成頻率分布直方圖：5(I)在上班高峰時段，從甲站的乘客中隨機(jī)抽取1 人，記為A;從乙站的乘客中隨機(jī)抽取 1 人，記為B用頻率估計概率，求“乘客A,B乘車等待時間都小于 20 分鐘”的概 率；(n)從上班高峰時段，從乙站乘車的乘客中隨機(jī)抽取3 人，X表示乘車等待時間小于20 分鐘的人數(shù)，用頻率估計概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望17.(本小題滿分 14 分)女口圖，在 多面體ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD四邊形ADEF為正方形，四邊形ABCD為梯形，且AD/BC,BAD 90,AB AD 1,BC 3.(I)求證：AF CD;(n)求直線BF與平面CDE所成角的正弦值；(川)

7、線段BD上是否存在點(diǎn)M,使得直線CE/平面AFM?若存在，求 型 的值；若不存在，請說明理由.BD18.(本小題滿分 13 分)已知函數(shù) f(x) ln(ax (a R 且 a 0).x(I)當(dāng)a 1時，求曲線 y f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(n)當(dāng)a 1時，求證：f (x) x 1；(川)討論函數(shù) f(x)的極值.19.(本小題滿分 14 分)2假設(shè)乘客乘車等待時間相互獨(dú)立.6已知點(diǎn) M(xo,yo)為橢圓 C: y21 上任意一點(diǎn)，直線 I：22 2(x 1) y 6 交于 A,B 兩點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn).(I)求橢圓C的離心率及左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；(H)求證：直線I與橢圓C

8、相切；(川)判斷AFB是否為定值，并說明理由.20.(本小題滿分 13 分)在無窮數(shù)列a*中，a1,a2是給定的正整數(shù)，an 2 |an 1an, n(I)若a13,a21，寫出 a9,a10,a100的值；(n)證明：數(shù)列an中存在值為0的項；(川)證明：若 砂衛(wèi)2互質(zhì)，則數(shù)列an中必有無窮多項為1.2yy 2 與圓7北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)（理）答案2019. 3、選擇題：（本題滿分 40 分）題號12345678答案BDCAACDB、填空題：（本題滿分 30 分）題號91011121314答案1122亦y （x 1）2（答案不唯一）24334023三、解答題：（本題滿分 8

9、0 分）15.（本小題滿分 13 分）1 S= bcsin A=S/3,解：（I）由已知得2（21）2=b2c22bccos120.bc=4,.2 2b c =17.16.（本小題滿分 13 分）解：（I）設(shè)M表示事件乘客A乘車等待時間小于 20 分鐘”，N表示事件乘客B乘車等待時間小于 20 分鐘”，C 表示事件“乘客A,B乘車等待時間都小于 20 分鐘”.整理得解得b=1,或b=4,c=4,c=1.因?yàn)閎 c,所以b 1.8 分（n）由正弦定asin Absin B即sinB3 _、2114所以cos2B=1 2sin2B1314.1分8故隨機(jī)變量X的分布列為X0123P275436812

10、5125125125EX 32-.13 分5517.(本小題滿分 14 分)解：(I)證明：因?yàn)锳DEF為正方形， 所以AF AD.又因?yàn)槠矫鍭DEF平面ABCD, 且平面ADEF I平面ABCD AD,所以AF平面ABCD.所以AF CD.由題意知，乘客A乘車等待時間小于 20 分鐘的頻率為(0.0120.040 0.048) 50.5，故P(M)的估計值為0.5.乘客B乘車等待時間小于 20 分鐘的頻率為(0.016 0.0280.036) 50.4，故P(N)的估計值為0.4.又P(C) P(MN) P(M) P(N) -2=-.2 5 51故事件C的概率為.5(n)由(I)可知，乙站乘

11、客乘車等待時間小于20 分鐘的頻率為0.4,.6 分所以乙站乘客乘車等待時間小于20 分鐘的概率為-.5顯然,X的可能取值為0,1,2,3且XB(3,2).5所以P(X 0) C0(3)3工；P(X 1) C32(f)251255554125；P(X 2) C；(|)235536125;P(X 3) C泊3581259（n）由（I）可知，AF平面ABCD，所以AF AD,AF AB.因?yàn)锽AD 90，所以AB, AD,AF兩兩垂直.分別以AB, AD, AF為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)锳B AD 1，BC 3，所以A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,3,0), D

12、(0,1,0), E(0,1,1),F(0,0,1)，uuuuuirumr所以BF ( 1,0,1), DC (1,2,0), DE (0,0,1).器(01),設(shè)M心 ,乙，則x 1,%,乙(1,1,0),所以X11, y1,Z10，所以M 1, ,0,uuju所以AM 1, ,0uuuu、十“人、丄亠曰,m AM 0設(shè)平面AFM的一個法向量為m (XhyoH)，貝Uuuum AF 0.10uuu因?yàn)锳F0,0,1，所以(1Z0)X)0.y。0,令X0，則y1，所以m ( ,1,0)在線段BD上存在點(diǎn)M,使得CE平面AFM等價于存在uuu0,1,使得m CE 0uuu因?yàn)镃Euuu1, 2,

13、1,由m CE 0,112解得 一0,1,3BM 2所以線段BD上存在點(diǎn)M，使得CE/平面AFM，且肌 -.BD 318.(本小題滿分 13 分)解:(I)當(dāng)a 1時，f(x) 所以f (x)1叟xxx因?yàn)閒 (1)1, f(1)0,所以曲線y f (x)在(1, f (1)處的切線方程為y x 1.當(dāng)x變化時，g (x),g(x)變化情況如下表:x(,1)1(1,0)g(x)+0一g(x)/極大值所以g(x) g( 1).因?yàn)間( 1)0，所以g(x) 0,所以 4x 1. . 分.8x(川)求導(dǎo)得f (x)1一ln2ax).令f (x) 0,因?yàn)閍 0可得x .xa當(dāng)a 0時，f (x)的

14、定義域?yàn)?,+當(dāng)x變化時，f (x),f(x)變化情況如下表：所以2( 1) 0,.14分.3 分(n)當(dāng)a1時，f(x)叱.x函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?,0).不等式f (x) x 1成立x 1成立x設(shè)g(x) ln( x) x2x (x (,0),2ln( x) x x 0成立.則g (x)2x 12x2x 1( 2x 1)(x 1)xx12x(0,-)ae a(：)af (x)+0一f(x)/極大值此時f(x)有極大值f (-)-，無極小值.a e當(dāng)a 0時，f(x)的定義域?yàn)椋?，當(dāng)x變化時，f (x),f (x)變化情況如下表:x(,e)ae ae(,0)af (x)一0+f(x)極

15、小值/e a此時f(x)有極小值f(),無極大值. .a e19.(本小題滿分 14 分)解：(I)由題意 a 2 , b 1 , c a2b21所以離心率 eC,左焦點(diǎn) F( 1,0).a 2分(D)當(dāng) yo0 時直線 l 方程為 x 2 或 x 2，直線 l 與橢圓 C 相切.2x2彳當(dāng) y0 時，由 2y 1,得2 2 2 2(2yxJx 4xx 4 4y0,X0X 2y0y2由題知，2x0y 1,即 x22y22 ,2所以(4xo)24(2 y2爲(wèi))(4 4y)16運(yùn)2(1 y；)2 2=16(xo2yo2) 0 .故直線 l 與橢圓 C 相切.8(川)設(shè) A(X1,屮),B(x2,y

16、2),.413依次遞推，有0 a?a6a5則由數(shù)學(xué)歸納法易得a2k 1M當(dāng) yo0 時，xiX2, yiy,為2,uur iuu22222FA FB (x 1)yi(x11)26 (x11)22x14 0,UJD UUl所以 FA FB，即 AFB 90.2 2當(dāng) yo0 時，由(X 1) y 6,得應(yīng) 1)x22(2y xo)x 2 10y：0 ,XoX 2yy 2則 x1x222(2 yoxj)d2，1y022 10yS2X0X0y1y22X1X22(X1X2)4y02y0215X04X04 2y02 2y0UUl UJU因?yàn)?FA FB (x11,y1) (x1$2)x1x2x1x21y

17、1y24 20 y08y04X02 2y222 2y05X04X0422 2y0225(x；2y；) 102ULU UUU所以 FA FB，即 AFB故AFB為定值 90.14 分20.(本小題滿分 13 分)解：(I)a?0, a101衛(wèi)1001. 分.3(II)反證法：假設(shè)i,a,0.由于an 2a* 1a*,記M max a1,a2.則a1M , a2M.則0直a2aiM 1,0 aa3a?M 1,0 a5a4a3M 2,0 a6a5a414當(dāng)k M時，a2k 1故存在i，使a,=0.所以，數(shù)列a.必在有限項后出現(xiàn)值為0的項.(III)首先證明：數(shù)列an中必有“傾.用反證法，假設(shè)數(shù)列an中沒有“傾，由(II)知，數(shù)列an中必有“0 項，設(shè)第一個“顧是am(m 3)， 令am1p，p 1, p N*，則必有am 2p，于是，由pam 1| am2am 3I I pam 3|，則am 32p，因此p是am 3的因數(shù)，由p am 2I am 3玄皿4I I 2p am 4|，則玄皿4P或3p，因此P是am 4的因數(shù)依次遞推，可得p是q,a2的因數(shù)，因?yàn)閜 1，所以這與a1,a2互質(zhì)矛盾所以，數(shù)列%中必有“ 1項.其次證明數(shù)列an中必有無窮多項為“ 1 ” .假設(shè)數(shù)列an中的第一個“傾