1、中考壓軸題之一因動點問題產生的相似三角形問題作者：_日期:1.1 因動點產生的相似三角形問題例1 2012年蘇州市中考第29題如圖1,已知拋物線y -x2 l(b 1)x b (b是實數且b>2)與x軸的正半 444軸分別交于點A、B (點A位于點B是左側)，與y軸的正半軸交于點C.(1)點B的坐標為，點C的坐標為(用含b的代數式 表小)；(2)請你探索在第一象限內是否存在點 P,使得四邊形PCOB的面積等于 2b,且4PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點 P的 坐標；如果不存在，請說明理由；(3)請你進一步探索在第一象限內是否存在點 Q,使得QC。、AQOA 和4

2、QAB中的任意兩個三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)？如果存 在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29"，J動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形 PCOB的面積等于2b的時刻.雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B,可以體驗到，存在/ OQA=/B的時亥1J,也存在/ OQA=/B的時亥1J.思路點撥1 .第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相 等.2 .聯結OP,把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用 含b的式子表示.3 .第（3）題要探究三個三角形兩兩

3、相似，第一直覺這三個三角形是直角 三角形，點Q最大的可能在經過點A與x軸垂直的直線上.滿分解答（1） B的坐標為（b, 0）,點C的坐標為（0, b）.4（2）如圖2,過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E,那么 PDBAPEC.因此PD= PE.設點P的坐標為（x, x）.如圖3,聯結OP.15一 b x 一 bx = 2b.28所以S四邊形 PCOB=SaPCO+ SaPBO=1 b x2 416.所以點P的坐標為（16,16）.圖2圖3解彳x x(3)由 y -1x2 1(b l)x b 1(x 1)(x b),得 A(1,0), OA=1. 44、，4 4、如圖4,以OA、OC為

4、鄰邊構造矩形 OAQC,那么OQCzXQOA.當空 QA,即 QA2 BAOA時，ABQAsAQOA.QA OA所以(b)2 b 1 .解得b 8 4禽.所以符合題意的點Q為(1,2 V3). 4如圖5,以OC為直徑的圓與直線x= 1交于點Q,那么/ OQC = 90° ,因止匕OCQs/XQOA.當勝 QA時 bqas/XQOA.此時/ OQB = 90° .QA OA所以C、Q、B三點共線.因此 更 QA,即2 QA.解得QA 4.此時CO OA b 14考點伸展第（3）題的思各是，A、C、。三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的 點，而/ QOA與/ QOC是互余的，那

5、么我們自然想到三個三角形都是直角三角 形的情況.這樣，先根據 QOA與4QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據兩直 角邊對應成比例確定點B的位置.如圖中，圓與直線x= 1的另一個交點會不會是符合題意的點 Q呢？如果符合題意的話，那么點 B的位置距離點A很近，這與OB = 4OC矛盾.例2 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1,已知拋物線的方程C1: y -x 2)(x m) (m>0)與x軸交于點 mB、C,與y軸交于點E,且點B在點C的左側.(1)若拋物線C1過點M(2, 2),求實數m的值；(2)在(1)的條件下，求 BCE的面積；(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點

6、H,使得BH+EH最小，求出點H的坐標；(4)在第四象限內，拋物線 C1上是否存在點F,使得以點B、C、F為頂點的三角形與 BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由.or圖1II7動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”,拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行,但是/ BFC在無限遠處也不等于45° .觀察右圖，可以體驗到，/CBF保持45° ,存在ZBFC=/BCE的時亥ij.思路點撥1 .第(3)題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH + EH最 小.2 .第(4)題的解題策略是：先分兩種情況畫直線 BF,作/C

7、BF=/EBC = 45° ,或者作BF/EC.再用含m的式子表示點F的坐標.然后根據夾角相 等，兩邊對應成比例列關于 m的方程.，得 2- 4(2 m) .解得 m=4.m-x2 1x 2 .所以 C(4, 0), E(0,42滿分解答(1)將 M(2, 2)代入 y-(x 2)(x m)m(2)當 m=4 時，y 1(x 2)(x 4) 42).所以 S»Abce BC OE 6 2 6 .x= 1,當H落在線段EC上時，BH22(3)如圖2,拋物線的對稱軸是直線+ EH最小.設對稱軸與x軸的交點為P,那么黑IO因此94.解得出2 所以點H的坐標為嗎.(4)如圖3,過點

8、B作EC的平行線交拋物線于F,過點F作FF '，x軸由于/ BCE=/ FBC,所以當CE 毀，即BC2 CE BF時, CB BF BCEs/XFBC.設點F的坐標為(x, (x 2)(x m),由巴 mBF'以得公CO2)( x m) 2解彳*x= m+2.所以 F(m+ 2, 0).由CO BL,得 m 心.所以bf (m 4)向1CE BF.m24BFm22-2 一 (m 4). m2 4田 BC CE BF ,行(m 2) 7m 4 m整理，得0=16.此方程無解.圖2圖3圖4如圖4,作/ CBF=45°交拋物線于F,過點F作FFx軸于F由于/ EBC=/C

9、BF,所以 班 BC,即 BC2 BEBF 時，BCEs/X BC BFBFC.BF J2(2 m 2).在 RtzXBFF'中，由 FF'=BF'，得(x 2)(x m) x 2 . m解彳4 x= 2m.所以 F (2m,0).所以 BF'= 2m+2,由 BC2 BE BF ,得（m 2）2 2應 依2 m 2）.解得 m 2 272 .綜合、，符合題意的 m為2 2貶.考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F'、F的坐標后，根據兩點問 的距離公式求BF的長.例3 2011年上海市閘北區中考模擬第 25題，1直線y - x 1分別父x軸、

10、y軸于A、B兩點，4AOB繞點。按逆時針萬 3向旋轉90°后得到ACOD,拋物線y=ax2+bx+ c經過A、C、D三點.(1)寫出點A、B、C、D的坐標;(2)求經過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標;在直線BG上是否存在點Q,使得以點A、B、Q為頂點的三角形與 COD相似？若存在，請求出點 Q的坐標；若不存在，請說明理由.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11閘北25”，拖動點Q在直線BG上運動，可以 ABQ的兩條直角邊的比為1 ： 3共有四種情況，點B上、下各有兩種.思路點撥1.圖形在旋轉過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于 旋轉角.2,用待定

11、系數法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標.3 .第(3)題判斷/ ABQ= 90°是解題的前提.4 . zABQ與ACOD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q與點B的位置關系分上下兩種情形，點 Q共有4個.滿分解答(1) A(3, 0), B(0, 1), C(0, 3), D(-1, 0).(2)因為拋物線 y=ax2+bx+ c經過 A(3, 0)、C(0, 3)、D(-1, 0)三點，9a 3b c 0,a 1,所以c 3,解得b 2,a b c 0.c 3.所以拋物線白解析式為y= x2 + 2x+ 3= (x1)2 + 4,頂點G的坐標為 (1, 4).(3

12、)如圖2,直線BG的解析式為y=3x+ 1,直線CD的解析式為y=3x + 3,因止匕 CD/BG.因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等于旋轉角，所以 ABLCD .因此 ABLBG,即/ABQ=90° .因為點Q在直線BG上，設點Q的坐標為(x, 3x+ 1),那么BQ Jx2 (3x)2布x .RtzCOD的兩條直角邊的比為1 ： 3,如果RtABQ與RtzXCOD相似，存 在兩種情況：當BQ 3時，咂x 3.解得x 3 .所以Q(3,10), Q2( 3, 8).BAJ0當BQ 1時，平x :解得x 1.所以Q3(1,2), Q4( 1,0) .BA 3,103333圖2圖3

13、考點伸展第（3）題在解答過程中運用了兩個高難度動作：一是用旋轉的性質說明 ABXBG;二是 BQ Jx2 （3x）2710x .我們換個思路解答第（3）題：如圖3,作GH，y軸，QN，y軸，垂足分別為H、N.通過證明 AOB0ABHG,根據全等三角形的對應角相等，可以證明/ ABG=90° .在 RtzXBGH 中，sin 1 口 ,cos 1.10,10當BQ 3時，BQ 3府.BA在 RtBQN 中，QN BQ sin 1 3, BN BQ cos 1 9.當Q在B上方時，Q1（3,10）；當Q在B下方時，Q2（ 3, 8） .當BQ 1時BQ 1而.同理得到Qa（-,2） ,

14、Q4（ -,0） .BA 3333例4 2011年上海市楊浦區中考模擬第 24題k Mabc在直角坐標系內的位置如圖1所不，反比例函數 y (k 0)在第一象限內x的圖象與BC邊交于點D (4, m),與AB邊交于點E (2, n) , BDE的面積為2.(1)求m與n的數量關系；1(2)當tan/A='時，求反比例函數的解析式和直線AB的表達式；2(3)設直線AB與y軸交于點F,點P在射線FD上，在(2)的條件下，如果 AEO 與/ EFP相似，求點P的坐標.圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11楊浦24"，Jfi動點A在x軸上運動，可以體驗到，直線AB保持斜率不變，n始終

15、等于m的2倍，雙擊按鈕”面積BDE = 2"， 可以看到，點E正好在BD的垂直平分線上，FD/x軸.拖動點P在射線FD上 運動，可以體驗到， AEO與4EFP相似存在兩種情況.思路點撥1 .探求m與n的數量關系，用m表示點B、D、E的坐標，是解題的突破 口.2 .第(2)題留給第(3)題的隱含條件是FD/x軸.3 .如果 AEO與4EFP相似，因為夾角相等，根據對應邊成比例，分兩 種情況.滿分解答k .(1)如圖1,因為點D (4, m)、E (2, n)在反比例函數y 一的圖象x上，所以4m k,整理，得n = 2m.2n k.(2)如圖2,過點E作EHXBC,垂足為H.在RtzX

16、BEH中，tan/BEH1= tan/A= , EH = 2,所以 BH = 1.因此 D(4, m), E(2, 2m), B(4, 2m+21)11一 已知4BDE的面積為2,所以一BD EH (m 1)2 2 .解得m= 1.因22此 D(4, 1), E(2, 2), B(4, 3). k.因為點D (4, 1)在反比例函數y :的圖象上，所以k=4.因此反比例4k b,2k b.函數的解析式為y 4. x設直線AB的解析式為y= kx+ b,代入B(4, 3)、E(2, 2),得1 解得k b 1.2 1因此直線AB的函數解析式為y -X 1 .2圖2圖3圖41 .(3)如圖3,因為

17、直線y X 1與y軸交于點 F (0, 1),點D的坐標為(4, 21),所以FD x軸，/ EFP=/ EAO.因此 AEO與 EFP相似存在兩種情況：如圖EAAOEF 口2.5一時，FP 2.解得FP = 1 .此時點P的坐標為 FP1,1) .如圖.時,學FP 一一.解得 FP = 5.此時點 P的坐標為5,1)考點伸展本題的題設部分有條件“RtABC在直角坐標系內的位置如圖1所示"，如果沒有這個條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況:第（1）題的結論m與n的數量關系不變.第（2）題反比例函數的解析式一 12 1為y ,直線AB為y x 7 .第（3）題FD不再與x軸

18、平行， AEO與x2 EFP也不可能相似.例5 2010年義烏市中考第24題如圖1,已知梯形OABC,拋物線分別過點O (0, 0)、A (2, 0)、B(6, 3).(1)直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點 M的坐標；(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線 OA、CB以相同的速度同 時向上平移，分別交拋物線于點 Oi、Ai、Ci、Bi,得到如圖2的梯形 OiAiBiCi.設梯形OiAiBiCi的面積為S, Ai、Bi的坐標分別為(xi, yi)、(x2, y2).用含S的代數式表示x2-xi,并求出當S=36時點Ai的坐標；(3)在圖i中，設點D的坐標為(i, 3),動點P從點B出

19、發，以每秒i個 單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度 沿著線段DM運動.P、Q兩點同時出發，當點 Q到達點M時，P、Q兩點同時 停止運動.設P、Q兩點的運動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ、 直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角 形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.圖i圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“i0義烏24"，J動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2 xi隨S的增大而減小.雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果/ GAF = /GQE,那么4GAF與

20、4GQE相似.思路點撥1 .第(2)題用含S的代數式表示X2-X1,我們反其道而行之，用X1, X2 表示S.再注意平移過程中梯形的高保持不變，即 y2yi = 3.通過代數變形就 可以了.2 .第(3)題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結果的情況下，無法 畫出準確的位置關系，因此本題的策略是先假設，再說理計算，后驗證.3 .第(3)題的示意圖，不變的關系是：直線 AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變.變化的直線 PQ的斜率，因此假設直線PQ 與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方.滿分解答(1)拋物線的對稱軸為直線X 1 ,解析式為y -x2 -x,頂點

21、為M (1, 848),(2)梯形O1A1B1C1 的面積 S2(x11J1)3(x1x2)6,由此得到S. 1c11c1，. 一x1x22 .由于 y2必3 ,所以 V2y1一 x2-x2 x, x13.整理，38484得(x2 x1)(x2 x)1 3 .因此得到x2 x1 .84S當S=36時，x2x114,解彳3x16,此時點A1的坐標為(6,3).x2 x1 2.x2 8.(3)設直線AB與PQ交于點G,直線AB與拋物線的對稱軸交于點 E,直 線PQ與x軸交于點F,那么要探求相似的 GAF與ACQE,有一個公共角/G.在4GEQ中，/ GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定化在4

22、GAF中，/ GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且/ GEQw /GAF.因此只存在/ GQE= /GAF的可能，GQEs/XGAF.這時/ GAF=/GQE=/ PQD.由于tan GAF 3, tan PQD 四 上，所以3 .解得 4QP 5 t 45tt 20 7考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4,假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的.事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意 圖，實際的圖形更接近圖3.例6 2010年上海市寶山區中考模擬第 24題如圖1,已知點A (-2, 4)和點B (1, 0)都在拋物線y mx2 2mx n上.(1)求 m、n；

23、（2）向右平移上述拋物線，記平移后點 A的對應點為A',點B的對應點為B',若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線 AB'的交點為C,試在x軸上找一個點D,使得以點B'、C、D為頂點的三角形與 ABC相似.動感體驗請打開幾何畫板文件名“10寶山24”，J動點A'向右平移，可以體驗到，平 移5個單位后，四邊形A ABB為菱形.再拖動點D在x軸上運動，可以體驗 到， BCD與 ABC相似有兩種情況.思路點撥1 .點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色.第（1）題用在 待定系數法中；第（2）題用來計算平移的

24、距離；第（3）題用來求點B'的坐 標、AC和BC的長.2 .拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變.3 .探求 ABC與 BCD相似，根據菱形的性質，/ BAC=/CBD,因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論.滿分解答所以 因為點A (-2,4)和點B (1, 0)都在拋物線y mx2 2mx n上,4m 4m n 4，解得 m m 2m n 0.3, n 4.(2)如圖2,由點A (-2, 4)和點B (1, 0),可得AB=5.因為四邊形A ABB4 c為麥形，所以A A = BB= AB=5.因為y x 38x 4 4x 3316萬，所以原拋物線的對稱軸x= -

25、1向右平移5個單位后，對應的直線為x = 4.可得 A B'= 4/5 .(3)由點 A (-2, 4)和點 B'(6, 0),如圖2,由AM/CN,可得B'NB'CB'M B'A，即2 BC .解得B'C疾.所84.5以AC 3而.根據菱形的性質，在 ABC與 BCD中，/BAC=/CBD.AB如圖3,當個ACB'CB' D時,53<5、5,解得B'D 3.止匕時OD = 3,點 B'DD的坐標為(3, 0).如圖4,當幽ACB' DB'C時,53 <5BD ,解得BD 5 .

26、此時OD =J53國，點D的坐標為(更，0).33圖3圖4考點伸展在本題情境下，我們還可以探求 B CD與 AB B相似，其實這是有公共 底角的兩個等腰三角形，容易想象，存在兩種情況.我們也可以討論 BCD與CB B相似，這兩個三角形有一組公共角/ B, 根據對應邊成比例，分兩種情況計算.例7 2009年臨沂市中考第26題如圖1,拋物線經過點 A(4, 0)、B (1, 0)、C (0, -2)三點.(1)求此拋物線的解析式；(2) P是拋物線上的一個動點，過 P作PM，x軸，垂足為M,是否存在 點P,使得以A、P、M為頂點的三角形與 OAC相似？若存在，請求出符合條 件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在直線AC上方的拋物線是有一點D,使得4DCA的面積最大，求出 點D的坐標.小V圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，J動點P在拋物線上運動，可以體驗 到，4PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“ P在B左側”、P在x軸上方”和P 在A右側”，可以顯示4PAM與4OAC相似的三個情景.雙擊按鈕“第3)題”，拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察 DCA的 形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時， DCA的面積 最大.思路點撥1 .已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數法求解析式時，設交點式比較簡便.2 .數形