1、秩虧自由網平差的研究劉 陽（江蘇師范大學，城建學部，江蘇 徐州 ） 摘要：秩虧自由網是因為控制網中沒有足夠的起始數據, 即缺乏基準的平差問題,因此按間接平差進行平差時, 其誤差方程的系數陣 B 不能滿足列滿秩的要求, 相應的法方程系數陣 是秩虧陣.為了求定未知參數的唯一確定解, 除了遵循最小二乘準則外, 還需增加新的基準約束條件 , 從而得到未知參數的唯一確定解. 本文主要利用MATLAB從傳統的測量平差的觀點出發, 來計算例題，分析，和論述虧秩自由網平差之解的性質,討論了附加矩陣S的形式了確定的方式，討論了秩虧自由網平差之解與傳統自由網平差之解的關系, 給出了詳細的解答過程，并且比較了倆種方

2、法的各自的優缺點,給出總結。關鍵詞：秩虧自由網；平差；間接平差Research Rank Defect Free Network AdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, whe

3、n carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to

4、 following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters. The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and

5、 discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed

6、 answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言 在現代測量數據處理過程中，秩虧自由網平差在近幾十年得到了廣泛應用，是重要的數據處理方法之一，特別是在變形監測、最優化設計中，秩虧自由網平差都展現出其優勢。1 秩虧自由網平差1.1 秩虧自由網平差的提出在經典間接平差中，必須有足夠的起算數據.當控制網中僅含必要的起算

7、數據，通常稱為自由網.用經典方法平差這種網，俗稱經典自由網平差.當控制網除必要的起算數據，還有多余的起算數據的網稱為附合網，在間接平差時，不論是自由網還是附合網，當所選的參數不存在函數關系時，誤差方程系數矩陣B總是列滿秩的，即R(B)=t（t為必要觀測）.由此得到的法方程系數陣的秩 法方程具有唯一解.在圖（1）水準網中,假定的高程已知為，待定點、的高程平差值為，.各段路線長度為S，高差為等權觀測，誤差方程 圖（1）的顯式為法方程及其顯式為 在誤差方程系數陣B中，存在一個二階行列式不等于零，如，故B的秩R（B）=2，即B為列滿秩陣.由此法方程系數的秩R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解為

8、這就是經典自由網平差情況. 上述間接平差函數模型還可以用下面方式組成：先設點的平差值，參與列誤差方程，然后另，將作為參數的條件方程，于是其函數模型為 式中,其顯式為 （即）可見倆種模型等價，平差結果相同.在這種情況下，誤差方程的行列式等于零，即 其中有二階行列式不等于零，故R(B)=2，數2為網中必要觀測數，B為秩虧陣，其列虧數d=3-2=1，表示缺少一個起始高程，因此給定條件式，轉化成附有限制條件的間接平差問題，可求其唯一解.秩虧自由網的法方程系數陣N奇異，即,故N的凱利逆不存在，法方程有無窮解.如何合理的求解這類平差問題，就是本文要討論的秩虧自由網平差問題. 產生秩虧的原因是控制網中沒有起

9、算數據，所以d就是網中必要起算數據的個數。1.水準控制網：水準觀測值是兩個控制點之間的高差。為了確定水準網中各水準點的高程，就必須至少有一個已知高程點作為全網起算數據。所以，水準網的基準數據的個數 。 2平面測角三角網：要推導各待定點的坐標，就必須有一個起算點坐標，還需要一個起算方位和一條起算邊，或者有兩個起算點坐標。所以，測角三角網的基準數據個數=4。2.測邊三角網、邊角同測三角網和導線網：必要起算數據有一個點的兩個坐標和一個方位角，即這三種控制網的基準數據個數=3。3.三維控制網：三維控制網需要一個起算點（）、三個已知定向角（）和一條空間已知邊長布，即需要7個起算數據；如果三維控制網中的觀

10、測值包括空間邊長，則必要起算數據的個數為6，即三維控制網的基準 =7（不含空間邊長觀測值），或=6(含空間邊長觀測值)。4.GPS控制網：為確定各待定點在空間坐標系中的三維坐標（），GPS控制網的必要起算數據只為一個點的三維坐標，所以GPS控制網得基準數為=3。1.2 秩虧自由網附加條件平差原理附加條件法的基本思想：由于網中沒有起算數據，平差時多選了d個未知參數，因此在u個參數之間必定滿足d個附加條件式，即在原平差函數模型中需要加入d個未知參數間的限制條件方程，從而可以按附有條件的間接平差法求解。秩虧自由網平差的函數模型為 （1-1）的列虧數，隨機模型為 （1-2）按最小二乘原理，為非奇異，法

11、方程具有無窮多組解。一般，為了獲得未知數參數的惟一解，給定基準條件為 （1-3）式中，而且 （1-4）左乘，即得 （1-5）行滿秩，表示（1-5）式中個方程互不相關，條件（1-4）表示所增加的個條件與誤差方程互獨立。由（1-5）式知，是矩陣的個零特征值所對應的個互不相關的特征向量所構成的矩陣，可由的特征值方程求出。稱為基準權，不同取值反映了所取的基準約束不相同，亦即對應了所選的基準。按最小二乘原理，令函數 （1-6）得法方程為 （1-7）將上式中第一式左乘，顧及（1-4）和（1-5）式得 （1-8）因二次型不能為零，故必有 （1-9）于是（1-6）式為 可見，秩虧自由網平差的最小二乘原則與未知

12、參數附加的基準約束無關，亦即 是一個不變量，平差所得的改正數不因所取基準約束不同而異，這是一個重要性質。將（1-7）中的第二式左乘后與第一式相加，顧及，可得 （1-10）系數陣滿秩，令 （1-11）則參數估計為 （1-12）按協因數傳播律，的協因數為 （1-13）若令 （1-14）則可得 （1-15）單位權方差估計為 （1-16）1.2.1 附加矩陣的S具體形式 由上面的公式可以看出附加矩陣S的具體形式為 一維的水準網，秩虧數 d=1 三維GPS網，秩虧數 d=3 二維測邊網，秩虧數d=3 二維測角網秩虧數 d=4 以上均假設控制點總網點數為m.1.2.1 附加矩陣S的確定方法 在附加陣已知的

13、條件下，采用附加條件法進行秩虧自由網平差計算與經典方法一致。因此是常用的方法。下面將進一步討論附加陣的確定方法。由線性代數的理論可知，法方程系數陣與它的特征值和特征向量之間的關系為 在秩虧自由網平差中，由于法方程系數陣為虧秩方陣，其秩虧數，所以，在中的個特征向量中，必有個零特征值。當=0時，為 在秩虧自由網平差中，附加陣應滿足的條件是，所以，附加陣實際上就是矩陣零特征值所對應的特征向量。1.3 重心基準的秩虧自由網平差采用重心基準，基準權設為單位陣，=E，一般稱為普通秩虧自由網平差平差的模型為 由公式 得到和 1.4 擬穩平差以擬穩基準的秩虧自由網平差稱為擬穩平差.基準權為 式中，>d.

14、基準約束式為令 則擬穩平差的基準約束條件為 顧及上述關系式。 擬穩平差是全部網點分為倆個部分 ，是擬穩點的坐標參數，基準約束條件，僅包含參數.所以擬穩基準擬穩點組的重心基準平差.當所取的時，擬穩平差就轉化為經典自由網平差.2 應用實例例 :如圖的水準網中，觀測高差距離和各帶定點高程近視值列于表1中分別進行下列自由網平差.如下圖:（1） 以6號點為固定點的經典自由網平差；（2） 以重心基準的自由網平差，P=E；（3） 以1 2 5 6 四個點為擬穩基準的擬穩平差，Px=diag（1 1 0 0 1 1）.觀測數據與改正數 表-1名稱大小序號（m）（km）（m）（mm）12345678986.80

15、925.71431.225-71.952-61.084-44.17810.84716.35011.409204.1188.7344.8149.2142.9250.0128.298.0196.10.0490.0530.0290.0670.0700.0400.0780.1020.051-0.00486.80614.86425.70631.21642.626單位權中誤差0.023.47-6.389.04-7.55-1.914.412.561.50（1） 以6號點為固定點的經典自由網平差: (2)以重心基準的自由網平差，P=E ' (3) :以1 2 5 6 四個點為擬穩基準的擬穩平差，Px=diag（1 1 0 0 1 1）結 論通過以上分析和實例驗證，在經典間接平差中，必須有足夠的起算數據，所選的待定參數之間不存在函數關系時，誤差方程的系數陣總是列滿秩的，且秩等于必要觀測數，法方程系數是一個對稱的滿秩矩陣，即法方程有唯一解.而秩虧自由網沒有起算數據參與的并以待定點參數的網，誤差方程不是列滿秩，其相應的法方程系數陣為奇異