1、上海新王牌教育上海新王牌教育 中小學精品小班中小學精品小班考綱解讀1理解空間直線、平面位置關系的定義2了解可以作為推理依據的公理和定理3能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題考向預測1以考查點、線、面的位置關系為主，同時考查邏輯推理能力與空間想象能力2有時考查應用公理、定理證明點共線、線共點、線共面的問題3多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現在解答題中，屬低中檔題知識梳理1平面的基本性質公理1：如果一條直線上的 在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內公理2：經過 的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有 通過該點的公

2、共直線公理4：平行于 的兩條直線互相平行兩點不在同一直線上一條同一條直線2直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類(2)異面直線所成的角過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(al1，bl2)，這兩條相交直線所成的 就是異面直線a，b所成的角銳角(或直角)3直線與平面的位置關系有 、 、 三種情況4平面與平面的位置關系有 、 兩種情況5定理空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角 相交平行在平面內相等或互補平行相交基礎自測1給出下列命題：和直線都相交的兩條直線在同一個平面內；三條兩兩相交的直線在同一個平面內；有三個不同公共點的兩個平面重合；兩兩平行的三條直線確定三

3、個平面其中正確命題的個數是()A0 B1 C2 D3答案A解析對于兩條直線可以異面；對于三條直線若交于一點，則可以異面；對于這三點若共線，則兩平面可以相交；對于三條平行線可在同一平面內2(2010湖北文)用a，b，c表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若ab，bc，則ac; 若ab，bc，則ac；若a，b，則ab; 若a，b，則ab.其中真命題的序號是()A B C D答案C解析本題主要考查平面幾何，立體幾何的線線，線面的關系平行關系的傳遞性舉反例： ab，bc，則ac.舉反例： a，b，則a與b相交垂直于同一平面的兩直線互相平行故，正確3(2010全國卷文)直三棱柱ABCA1B1C1

4、中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90答案C解析本題考查線線角，考查學生的作圖能力和計算能力4(2008遼寧文)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1、EF、CD都相交的直線()A不存在B有且只有兩條C有且只有三條 D有無數條答案D解析在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點5下列各圖是正方體和正四面體P、Q、R、S分別是所在棱的

5、中點，過四個點共面的圖形是_答案解析在選項中，可證Q點所在棱與PRS平行，因此，P、Q、R、S四點不共面可證中PQRS為梯形；中可證PQRS為平行四邊形，中如右圖取A1A與BC的中點為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形6直線AB、AD，直線CB、CD，點EAB，點FBC，點GCD，點HDA，若直線EH直線FGM，則點M與BD的關系是_答案MBD解析由EHFGM，知MEH，所以M平面CBD，同理M平面ABD，又平面ABD平面CBDBD，故MBD.7已知空間四邊形ABCD的對角線AC10，BD6，M，N分別是AB，CD的中點，MN7.求異面直線AC與BD所成的角解析如圖

6、，取BC的中點E，連接EM，EN，因為M，N分別是AB，CD中點，所以EMAC，ENBD.所以MEN就是異面直線AC與BD所成的角或所成角的補角例1如圖所示，已知ABC的三個頂點都不在平面內，它的三邊AB，BC，AC延長后，分別交平面于點P，Q，R.求證：點P，Q，R在同一直線上分析要證明P，Q，R三點共線，只需證明P，Q，R三點在平面和平面ABC的交線上，可先用任意兩點確定交線所對應的直線，再證明第三點在該直線上，本題體現了空間問題轉化為平面問題的思想和方法證明由已知AB的延長線交平面于點P，根據公理3，三角形ABC所在的平面與平面必相交于一條直線，設為l.P直線AB，P平面ABC.又直線A

7、B平面P，P平面.P是平面ABC與平面的公共點平面ABC平面l，Pl.同理，Ql，Rl.點P，Q，R在同一條直線l上點評易忽視先找出平面ABC與平面的交線，從而縮小目標范圍分析欲證三線共點，可證其中兩條直線有交點，且該交點在第三條直線上P平面ABC.同理P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交線AC上故EF，GH，AC三條直線交于一點點評平面幾何中證多線共點的思維方法仍然適用，只是在思考中應考慮空間圖形的新特點.例2求證：兩兩相交而不通過同一點的四條直線必在同一平面內分析已知a、b、c、d四條直線不共點但是兩兩相交，求證：a、b、c、d共面a、b、c、d四條直線或者有三條共點或無三條共點，

8、分兩種情形證：(1)設有三條直線共點，不失一般性，可設此三條直線為 a、b、c，它們均過P點(如下圖甲)，此時d必不過點P(因四線不共點)因此過d和點P可以確定平面，再設法證明其他三條直線a、b、c均在內即可(2)設沒有三條直線共點(如圖乙)abQa與b可確定一個平面再設法證明其余二線c、d均在內即可點評利用基本性質2及其三個推論，可以用來證明點，線共面證明此類問題，常用的方法有：(1)納入法：先利用基本性質2及其三個推論證明某些點和直線在一個確定的平面內，再證明其余的點和直線也在這個確定的平面內(2)同一法：先利用基本性質2及其三個推論證明某些點和直線在一個確定的平面內，另一些點和直線在另外

9、一個確定的平面內，最后再證明這些平面重合(3)反證法：可以假設這些點和直線不在一個平面內，然后通過推理，找出矛盾，從而否定假設、肯定結論一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面解析已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：直線a，b，c，l共面證明：ab，a、b確定一個平面，laA，lbB，A，B，故l.又ac，a、c確定一個平面，同理可證l，a且l，過兩條相交直線a、l有且只有一個平面，故與重合，即直線a，b，c，l共面.例3在正方體AC1中，E是CD的中點，連接AE并延長與BC的延長線交于點F，連接BE并延長交AD的延長線于點G，連接FG.求證：直線FG平面ABCD且直線FG直

10、線A1B1.分析先由基本性質1判定FG平面ABCD，再由平行公理有線線平行解析由已知知E是CD的中點，點評判斷空間中直線的位置關系主要依據平面的基本性質及幾何體內線面之間的位置關系，其中基本性質4是論證空間中兩條直線平行的重要方法之一，使用基本性質4的關鍵是“橋梁直線”，即第三條直線的選擇同時，解立體幾何問題應注意平面幾何知識的應用已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、B1C1的中點，ACBDP，A1C1EFQ.求證：(1)D、B、F、E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共線證明如圖所示， (1)EF是D1B1C1的中位線，EFB1D1.在正方

11、體AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD確定一個平面，即D、B、F、E四點共面(2)正方體AC1中，設A1ACC1確定的平面為，又設平面BDEF為.QA1C1，Q，又QEF，Q.則Q是與的公共點同理，P點也是與的公共點PQ，又A1CR，RA1C，R，則RPQ.故P、Q、R三點共線點評1.共點問題證明l1、l2和l三線共點，一般先證兩條直線l1與l2相交于點O；再由點O既在直線l1、l確定的平面內，又在直線l2、l確定的平面內；由公理3可得點Ol，即l1、l2、l3三線共點2共線問題證明A、B、C三點共線，一般先證A、B兩點連線是平面、的交線；再證點C直線AB，即A、B、C三點共線3共面問

12、題證明多個幾何元素(點和線)共面，一般先由公理2或其推論確定平面經過某些元素(或者說這些元素在平面內)；再由公理1和公理3證明其他元素也在平面內.例4如下圖所示正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，B1C1的中點問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由解析：(1)不是異面直線理由：M、N分別是A1B1、B1C1的中點MNA1C1.又A1A綊D1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，A1ACC1為平行四邊形A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一個平面內，故AM和CN不是異面直線 (2)是異面直線證明如下：假設D1B與CC

13、1在同一個平面D1CC1內，則B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，B面CC1D1D，這與ABCDA1B1C1D1是正方體相矛盾假設不成立，故D1B與CC1是異面直線點評：(1)見中點，應構造中位線并利用中位線性質轉化為平行關系(2)判定兩條直線異面可用：經過平面內一點和平面外一點的直線與平面內不經過該點的直線是異面直線，或用反證法(3)異面直線的判定高考一般不會出大題，但在選擇題中可能會涉及分析：三棱柱中AA1CC1，故A1AB即所求由A1在底面射影為BC中點知，A1AD，A1BD都是直角三角形，結合各棱長都相等，可解A1AB.答案D(2)(2010重慶文)到兩互相垂直的異

14、面直線的距離相等的點()A只有1個 B恰有3個C恰有4個 D有無窮多個答案D解析本題考查空間想象能力過兩條互相垂直的異面直線的公垂線段中點且與兩條直線都成45角直線上所有點到兩條直線的距離都相等，故選D.1平面的基本性質(三個公理、三個推論)是整個立體幾何的基礎，其中確定一個平面的四種情形是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題的依據高考中對平面基本性質的考查一般不會單獨命題，常是融該知識點于其他知識點之中綜合命題“空間兩直線”中，“異面直線”是重點，也是難點，幾乎每年高考都要涉及考查的內容多涉及異面直線的定義、異面直線所成的角2公理的應用(1)證明線共面證明線共面，一般是三線共面作原始題從而推廣到多線共面，一般有兩種證法，一是兩線確定一個平面，再證明第三線在這個平面內；二是其中兩條直線確定一個平面，另兩條直線確定平面，而，又同時具有確定平面的公共條件，進而，重合從而三線共面(2)證明三點共線三點都是某兩平面的公共點，則三點共線(3)證明三線共點與初中證明三線共點的思路一樣，先證兩條直線交于一點，再證明