1、兩條直線的平行與垂直一、教學目標（一）知識教學點掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判斷兩直線是否平行或垂直，能運用條件 確定兩平行或垂直直線的方程系數一條直線與另一條直線所成角的概念及其公式，兩直線 的夾角公式，能熟練運用公式解題.（二）能力訓練點通過研究兩直線平行或垂直的條件的討論，培養學生運用已有知識解決新問題的能力以 及學生的數形結合能力通過課題的引入，訓練學生由特殊到一般，定性、定量逐層深入研 究問題的思想方法；通過公式的推導，培養學生綜合運用知識解決問題的能力.（三）學科滲透點通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養學生的成功意識，激發學生學習的興 趣訓練學生由特殊到一般，

2、定性、定量逐步深入地研究問題的習慣.二、教材分析1 重點：兩條直線平行和垂直的條件是解析幾何中的一個重點，要求學生能 熟練掌握，靈活運用.2 難點：啟發學生把研究兩直線的平行與垂直問題轉化為考查兩直線的斜率 的關系問題公式的記憶與應用.3 疑點：對于兩直線中有一條直線斜率不存在的情況課本上沒有考慮，上課 時要注意解決好這個問題推導11、12的角公式時的構圖的分類依據.三、活動設計提問、討論、解答.四、教學過程（一）特殊情況下的兩直線平行與垂直這一節課，我們研究怎樣通過兩直線的方程來判斷兩直線的平行與垂直.當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：（1）當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角為90

3、°,互相平行；（2）當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜 角為90°,另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直.（二）斜率存在時兩直線的平行與垂直設直線|1和|2的斜率為k1和k2,它們的方程分別是|1:y=kix+bi;l 2:y=k2x+b2.兩直線的平行與垂直是由兩直線的方向來決定的，兩直線的方向又是由直線的傾斜角與 斜率決定的，所以我們下面要解決的問題是兩平行與垂直的直線它們的斜率有什么特征.我們首先研究兩條直線平行（不重合）的情形.如果l 1 / l 2（圖1-29）,那么它們的 傾斜角相等：a仁a 2.tg a 1=tg a 2.即k 1 =k2.

4、El-29反過來，如果兩條直線的斜率相等，k1=k2,那么tg a仁tg a 2 .由于 O°w a 1V 180°,0 ° < a V 180°,-a= a 2 .兩直線不重合， I 1 / l 2.兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜 率相等，則它們平行，即eq x（、二）要注意，上面的等價是在兩直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提， 結論并不存立.現在研究兩條直線垂直的情形.如果| 1丄I 2,這時a 1工a 2,否則兩直線平行.設a 2V a 1（圖1-30）,甲圖的特征是I 1與I2的

5、交點在X軸上方；乙圖的特征 是I 1與I 2的交點在X軸下方；丙圖的特征是I 1與I 2的交點在X軸上，無論哪種 情況下都有a 仁90° + a 2 .因為| 1、| 2的斜率是k1、k2,即a 1工90°，所以a 2工0°.二 二tg（9+即込=占或£品=丄反過來，如杲k】二-占，即k，%二丄不失一般性* i殳扎<0,k3>0,那么塘二177 二鋰©0"可以推出a 1 =90° + a 2 .I1 丄 I 2.兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的 斜率互為負倒數，則它們互

6、相垂直，即11 丄 b o 4 二-o k% = -1圖 1-30（三）例題例1 已知兩條直線11:2x-4y+7=0 , L 2 :x-2y+5=0 .求證：11 / I 2 .證明兩直線平行，需說明兩個要點：（1）兩直線斜率相等；（2）兩直線不重合.證明：把11、12的方程寫成斜截式：兩直線不相交.75兩直線不重合，- I 1 / I 2.例2求過點 A（1 , -4），且與直線2x+3y+5=0平等的直線方程.解法1已知直線的斜率是因為所求直線與己知直線平行, 因此它的斜率也是根據點斜式得所求直線的方程是2x+3y+m=0 將x-2y+m=0,2y+4 = -(x-l)f即 2x+3y+

7、10=0.解法2因所求直線與2x+3y+5=0平行，可設所求直線方程為A(1, -4)代入有m=1Q故所求直線方程為2x+3y+10=0 .例3已知兩條直線11:2x-4y+7=0 , l 2 :2x+y-5=0 .求證：l 1丄I 2 .證明；k的斜率二、J的斜率k嚴2由于k/ k2二*(2)二丄 I 1 丄 I 2 .例4 求過點A(2, 1)，且與直線2x+y-10=0垂直的直線方程.解法1已知直線的斜率k1=-2 . 所求直線與已知直線垂直，二所求直線的斜軌冷根據點斜式得所求直線的方程是y扣-2).就是 x-2y=0 .解法2因所求直線與已知直線垂直，所以可設所求直線方程是將點A(2，

8、1)代入方程得m=0所求直線的方程是x-2y=0 .(四) 兩條直線的夾角兩條直線|1和12相交構成四個角，它們是兩對對頂角.為了區別這些角，我 們把直線l 1依逆時針方向旋轉到與l 2重合時所轉的角，叫做l 1到l 2的角.圖1-27 中，直線l 1到l 2的角是0 1 , l 2到l 1的角是0 2( 0 1+ 0 2=180° ).ll到l 2的角有三個要點：始邊、終邊和旋轉方向.現在我們來求斜率分別為 k1、k2的兩條直線l 1到l 2的角，設已知直線的方程分別是l1 : y=k1x+b1l 2 : y=k2x+b2如果 1+k1k2=0，那么 0 =90°,下面研

9、究1+k1 k2工0的情形.由于直線的方向是由直線的傾角決定的，所以我們從研究0與11和12的傾角的關系入手考慮問題.設l 1、丨2的傾斜角分別是a 1和a 2(圖1-32)，甲圖的特征是I 1到l 2的角是 l1、l2和x軸圍成的三角形的內角；乙圖的特征是 l 1到l 2的角是l 1、|2與x軸 圍成的三角形的外角.tg a 1=k1，tg a 2=k2. 0 =a 2- a 1(圖 1-32)，或 0 = n -( a 1- a 2)= n +( a 2- a 1)，tg 0 =tg( a 2- a 1).或 tg 0 =tg n ( a 2- a 1)=tg( a 2- a 1).可得t

10、89=Aeq x( 1 7 / .)圖 1-32上面的關系記憶時，可抓住分子是終邊斜率減始邊斜率的特征進行記憶.（五）夾角公式從一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我們常常只需要考慮不大于直角的角（就是兩條直線所成的角，簡稱夾角）就可以了，這時可以用下面 的公式（六）例題例1求直線I- y = -2x + 3； 12； y = xl-的夾角.解：ki=-2， k2=1.%_1 +込上20 =arctg3 711-(2)1 + 1*(-2)=3.34本例題用來熟悉夾角公式.例 2已知直線 11：Aix+Biy+Ci=O 和 12:A2x+B2y+C2=O(B1 工 0、B

11、2工0、A1A2+B1B2工0) , l 1到l 2的角是0，求證：AlA2 +BB?證明：設兩條直線11、12的斜率分別為k1、k2,則AA 廠 AjEAjA2這個例題用來熟悉直線 1 1至U 1 2的角.例3等腰三角形一腰所在的直線I 1的方程是x-2y-2=0，底邊所在的直線I 2 的方程是x+y-1=0 ,點(-2 , 0)在另一腰上，求這腰所在直線13的方程.解：先作圖演示一腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰到底的角與底到另一 腰的角相等，并且與兩腰的順序無關.設I 1、I 2、I 3的斜率分別是k1、k2、k3，I 1到I 2的角是9 1，I 2到I 3的角是 9 2，則因

12、為丨1、I2、丨3所圍成的三角形是等腰三角形，所以0 1= 9 2.tg 9 2=tg 9 1 =-3 .卜+1解得k3=2.因為I3經過點(-2 , 0)，斜率為2,寫出點斜式為y=2x-(-2),即 2x-y+4=0 .這就是直線I3的方程.講此例題時，一定要說明：無須作圖，任一腰到底的角與底到另一腰的角都相等，要為 銳角都為銳角，要為鈍角都為鈍角.(四) 課后小結(1)斜率存在的不重合的兩直線平行的等價條件；兩斜率存在的直線垂直的等價條件；與已知直線平行的直線的設法；與已知直線垂直的直線的設法.(5) 1 1到I 2的角的概念及I 1與I 2夾角的概念；(6) 11到I 2的角的正切公式

13、；(7) I 1與I2的夾角的正切公式；(8) 等腰三角形中，一腰所在直線到底面所在直線的角，等于底邊所在直線到 另一腰所在直線的角.五、布置作業1. 7練習第1，2，3題習題三第3，10題育星教育網學習不是一朝一夕的事情，需要平時積累，需要平時的勤學苦練。有個故事：古希臘大哲學家蘇格拉底在開學第一天對他的學生們說：“今天你們只學一件最簡單也是最容易的事兒。每人把胳膊盡量往前甩，然后再盡量往后甩。”說著，蘇格拉底示范做了一遍，“從今天開始，每天做 300下，大家能做到嗎？”學生們都笑了，這么簡單的事，有什么做不到的？過了一個月，蘇格拉底問學生：每天甩手300下，哪個同學堅持了，有90%的學生驕

14、傲的舉起了手，又過了一個月，蘇格拉底又問，這回，堅持下來的學生只剩下了80%。一年過后，蘇格拉底再一次問大家：“請告訴我，最簡單的甩手運動。還有哪幾個同學堅持了？ ”這時，整個教室里，只有一個人舉起了手，這個學生就是后來成為古希臘另一位大哲學家的柏拉圖。同學們，柏拉圖之所以能成為大哲學家，其中一個 重要原因，就是，柏拉圖有一種持之以恒的優秀品質。要想成就一番事業，必須有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能夠感動天帝，移走太行、王屋二山。正是因為他具 有鍥而不舍的精神。戎馬一生，他前十次革命均告失敗，但他百折不撓，終于在第十一次革命的時候，推翻了清王朝的統治，建立了中華民國。這

15、些故事，情節不同，但意義都是一樣的，它告訴 無們，做事要有恒心。旬子講：“鍥而不舍，朽木不折；鍥而舍之，金石可鏤。”這句話充分說明了一個人如果有恒心，一些困難的事情便可以做到，沒有恒心，再簡單的事也做不成。學習是一條慢長而艱苦的道路，不能靠一時激情，也不是熬幾天幾夜就能學好的，必須養成平時努力學習的習慣。所以我說：學習貴在堅持！當下市面上關于教授學習方法的書籍不少，其所載內容也的確很有道理，然而當讀者實際應用時，很多看似實用的方法用來效果卻并不明顯，之后的結果無非是兩種：要么認為自己沒有掌握其精髓要領，要么抱怨那本書的華而不實，但最終肯定還是會回歸 到當初的原點。這本學會學習在一開始并沒有急于

16、兜售自己的方法，而是通過測試讓讀者真正了解自己，從而找到適合自己思維方式的學習方法，書的第一部分就是左腦還是右腦思維測試和 視覺、聽覺和動覺學習模式測試，經過有效分類后，針對不同讀者對不同思考和接收接受學習的特點，有針對性的分別給出建議，從而不斷強化自己的優勢。在其后書中的所有介紹具體學習方法 章節的最開始，都是按照不同學習模式給出各種學習方法不同的建議，這是此書區別于其他學習方法類書籍的最大特點，這種“因材施教”的方式能讓讀者有種豁然開朗的感覺，除了能夠得到最 適合自己的有效的學習方法也能更深入的認識客觀的自己，不論對學習還是生活都有幫助。除了“針對性”強外，本書第二大特點就是“全面”，全書

17、都是由一篇篇短文、圖表集成，更像是一本博文或者PPT課件合集，每個學習方法的題目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章節內容安排的比較混亂，所幸每一章節關聯性并不太強，每個章節都適合獨立檢索來閱讀學習。其內容從“時間規劃”、“筆記” “閱讀”直到“考試”幾乎涉及了所有學習中的常遇問題，文中文字精煉沒有過分的渲染，完全是純純的“干貨”，可以設身處地的想象：當自己面對學海之中手足無措之時，長篇大論的方法肯定會無心查看，明了的編排，讓人從目錄中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文盡可能在最少的時間讓讀者得到最有用的信息，是一部值得學習的人們不斷自我提高的有力武器。曾經看到一個有意思的心理測試：用“

18、正確的方法”、“錯誤的方法”和“積極的行為”、“消極的行為”，來自由搭配，看如何搭配出最好和最壞的結果，“正確方法”配合“積極的行為”無疑是最好的結果，然而我們會很“慣性”想當然的認為，“錯誤的方法”和“消極的行為”搭配是最壞的結果，其實“錯誤的方法”加上“積極的行為”才是最壞的結果，這會讓人在錯誤的路上越走越遠，學習也是同理，一味鉆牛角尖般的生搬硬套不適合自己的方法不論多努力都只會離成功越來越遠，而好的學習方法加上積極的學習態度無疑會讓你如虎添翼。這是每個人都需要的，起碼 在學生的時候如果遇到，或者人生會少一些遺憾，我只恨我遇見的晚了點，可是現在已是終身學習的年代，錯過了最恰當的時候，但只要

19、有心又怎會嫌晚呢？本書歸類為學習方法-青年讀物，是本工具書，學習手冊，但不能阻止她成為經典。這本書的副標題為“增加學習技能與腦力”，正是本書的宗旨，本書系統化地闡述了學習技能提升的各個方面，可謂事無巨細的令人發指啊。整體來講主要包括7個方面，分別是學習模式，時間管理和學習技巧規劃，筆記記錄技巧，閱讀技巧，記憶，應試技巧，拾遺。全書的結構采取的是總分的形式，前三個方面是總的部分，算是增加學習技 能的準備，從認識自己的學習模式開始，然后采取任何事都需要的時間管理技巧，再總體地講一下學習技巧規劃的事項。然后底下是分的部分，將學習的包含的各個方面的技巧進行分開闡述，分 別有筆記記錄，閱讀，記憶，應試以

20、及最后的拾遺。系統地講述了學習的幾乎所有方面。讓讀到她的人如果實踐的話不僅能在學習上得到提高，在腦力上或者說理解力上肯定會受益匪淺。在此， 說句題外話，我一直覺得日本人寫書在細節上做的是無與倫比的，但是這本書讓我對這個看法有了一定的動搖，因為她里面的講述部分讓我覺得美國是個應試教育的國家嗎，簡直比我們中國還要 應試。那個考試應對細節的部分放在中國，一點也沒有違和感的，好嗎？所以他們能出現這樣的情況，從沒到過日本的人能夠寫出描寫日本人的書，然后讓日本人都覺得是經典的，沒有在企業里 做過實務管理的德魯克能成為管理上的大師，其理念影響了全世界不得不說，美國的教育真不是蓋的。細節上，我印象比較深的是，

21、作者開篇開始傳授如何應該認識自己的學習模式，運用了 一些測試題目，然后根據結果找出與自己最近似的學習模式，她把學習模式分為幾種情況，分別有左腦型，右腦型，還有另外的分法，為視覺的，聽覺的，動作的。我看了一下，確實有跟自己近 的類型，我就是視覺的，對號入座后就可以比較直接的去揚長避短了。然后，作者說了，做任何事情，時間管理技巧都是不可缺少的，她不僅教導的是學習的技能，還有很多其他的道理，對我們 人生都是有益的，我相信，如果我們的孩子從小就學習這些，將會受用終生。還有，作者提到了學習技巧規劃里的家庭檔案系統，將我們現在工作中的管理引進了學習中，這是一個非常好的學習 習慣，如果孩子持續的做，嚴格地做，獲得的收益將無法估量，因為，這在我們現在工作中都必須要用的管理信息的技能，實在是太可貴了