1、對高中數學“立體幾何中的向量方法”一節例題教學的建議淺談法向量在立體幾何中的應用人民教育出版社課程教材研究所與中學數學課程教材研究開發中心編著的普通高中課程標準實驗教科書選修2-1第三章空間向量與立體幾何，第2 小節立體幾何中的向量方法一節，教科書通過安排了“思考”、 “探究”等欄目，討論用向量表示空間中的點、 直線與平面的位置， 介紹了直線的方向向量與平面的法向量，以及用向量表示空間中直線、平面平行、垂直及夾角等，在此內容之后配套了相關的練習，為用向量方法解決立體幾何問題作了鋪墊.教科書接下來通過四個逐步深入展開的例題討論本節主題，即立體幾何中的向量方法， 其中例 1、例 2 直接利用向量運

2、算，例3、例 4 把向量方法與坐標方法相結合，最后以框圖形式引導學生進行小結， 使學生對本節內容主題的認識進一步深化，提高抽象概括能力 .本節內容能很好使學生理解并掌握向量方法解決立體幾何問題的一般方法（三步曲） . 但筆者認為，教科書本節內容中的例題4，在教學中可以更好地加以整合及補充，以進一步提高學生解決空間幾何問題的能力.以下就例題4 及其相關的建議及整合補充進行說明： 例題 4 再現例 4 如圖 1，在四棱錐abcdp中，底面abcd是正方形，側棱pd底面abcd，dcpd，點e是pc的中點，作pbef交pb于點f. 求證：pa/平面edb；求證：pb平面efd；求二面角dpbc的大小

3、 . 解： 如圖 2 所示建立空間直角坐標系， 點d為坐標原點，設1dc. 證明：連接ac，ac交bd于點g，連接eg. 依題意得0, 0, 1a，1 , 0, 0p，21,21,0e. 因為底面abcd是正方形，所以點g是此正方形的中心，故點g的坐標為0 ,21,21，且1, 0, 1pa，21,0,21eg. 所以egpa2，即pa/eg. 而eg平面edb，pa平面edb，因此pa/平面edbabcdpef圖 1 abcdpefzxy圖 2 g證明：依題意得0, 1 , 1b，1, 1 , 1pb, 又21,21,0de，故021210depb, 所以depb由已知pbef，且edeef

4、，所以pb平面efd. 解：已知efpb，由可知dfpb，故efd是二面角dpbc的平面角，設點f的坐標為zyx,，則1,zyxpf. 因為pbkpf，所 以kkkkzyx,1, 1 , 11,， 即kx，ky，kz1，因為0dfpb，所以01311 ,1, 1 , 1kkkkkkk，所以31k，點f的坐標為32,31,31，由點e的坐標為21,21,0，所以61,61,31fe，因為213161366632,31,3161,61,31cosfdfefdfeefd，所以60efd，即二面角dpbc的大小為60. 關于例 4 的建議自 2004 年以來，全國轟轟烈烈進行著高中新課程改革，向量是此

5、次新課程增加的基礎內容之一 .空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角.它的引入，為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具. 例 4 的三個小問， 分別涉及證明直線與平面平行、 垂直，計算二面角的大小，這三個方面的問題都可以利用向量解決.前兩問的證明教材使用坐標法，由向量表示轉到有關判定定理.該問在教學時教師可以組織學生討論如何利用已知條件適當建立空間直角坐標系，展示向量方法與坐標方法相結合的優越性.第小問教科書采用了先找出所求二面角的平面角，再用向量方法通過求平面角的大小來求二面角的大小 . 但筆者在教學的過程中，發現對于求二面角的第個小問，學生不容易由第問得到efd

6、就是二面角的平面角，而且該問如果沒有第小問做鋪墊，學生不容易找出該二面角的平面角.筆者認為，本小節前面教科書花了較大篇幅介紹并學習了直線的方向向量及平面的法向量，這兩種向量的利用在解決一些問題時能夠把復雜的問題簡單化， 尤其是在解決有關二面角的問題時，平面的法向量的利用能讓許多不擅長分析證明， 擅長計算的學生多了一種解題的選擇，因為用法向量去求二面角的大小可以不用找出或構造出二面角的平面角并證明求解，它只需通過計算并觀察就可求出二面角的大小，所以如果教師在教學時就適當給學生補充利用法向量解題的例子， 學生可以在掌握之后并加以使用必能提高解題效率.所以，筆者在上述教材分析之后，補充了該小問法向量

7、的教學，其解法如下：依題意，有10,0c，01, 0p，10, 1b，0,0,0d則1, 1 , 1pb，1, 1 , 0pc，1, 0, 0pd設zyxm,為平面pbd的一個法向量，則00pbmpdm即00zyxz解得0zyx, 令1x，得0, 1, 1m為平面pbd的一個法向量 . 同法可求平面pbc的一個法向量為1 , 1 , 0n. 21221,cosnmnmnm，根據圖形可觀察得到二面角dpbc是銳二面角，二面角dpbc的大小為60. 總之，設m、n分別是二面角l的兩個面、的法向量，則nmnmnm,cos，nm,就是二面角的平面角或其補角 . 關于例題 4 的補充在筆者隨機翻閱的07

8、、08 兩年共 38 套的高考題中，有22 套高考題均有考核二面角的大小或其三角函數.所以教師應在平時多給學生時間練習有關二面角的習題，對學生在考試中立體幾何方面多拿分將有所幫助.此外，38套高考題中，均有不同程度地考核到求線面角、點面距等有關問題.故筆者認為，繼第小問之后，教師可以補充以下幾個小問，即：求面def與面abcd所成角的余弦值 . 該問求的是面與面所成的角， 傳統的解法是通過在兩個相交平面的交線取點做平面角來求面面角 .但該問題中的兩個平面即面def與面abcd無交線，通過找出兩平面的平面角來解決問題比較困難，所以它是利用法向量解決面面所成角問題的一個很好的例子 .其解法如下：由

9、已知pd底面abcd，可得pd為面abcd的一個法向量，由可知pb為面efd的一個法向量，lmn1,0,0pd，1, 1 , 1pb，33311,cospbpdpbpdpbpd，即面def與面abcd所成角的余弦值為33總之，兩平面所成角的大小與二面角的大小均可以通過構造所成角的平面角來求，但當構造平面角較難時，就可以利用平面的法向量來求.但要注意的是兩個平面所成的角一定是不大于90的角，而二面角是兩個半平面所成的角，其取值范圍是180,0，有時不易判斷兩半平面法向量的夾角的大小是與二面角的大小是相等的還是互補的，但由于二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的，所以我們完全可以根據圖形觀察得到

10、結論. 由上可見，用向量法求面面夾角可大大降低思維難度，用法向量求角的大小又可以省去煩瑣的作圖過程，最終把抽象的空間想象全部轉化為代數運算. 求直線ce與面def所成的角的余弦值 . 該問是求線面所成的角， 求線面角的傳統方法是要先在平面上做出斜線在平面內的射影，斜線與射影所成的角就是該直線與平面所成的角.而用向量法求直線與平面所成的角， 可避開找角的困難， 只要計算上不失誤就可以正確求出角的大小. 該問用向量法的解題過程如下：由知pb是面def的一個法向量，且1, 1 , 1pb，又21,21, 0ce，3626121321121101,coscepbcepbcepb，設直線與平面def所成

11、角為，則36,cossincepb，33321sin1cos2，直線與面def所成角的余弦值為33. 總之，用向量法解線面角問題時有這樣的結論：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的 夾角為，則有uauacossin或sincos. 求點c到面def的距離. 該問是求點到平面的距離， 這類問題傳統的解決方法是過該點做平面的垂線段，垂線段的長度即為所求的點到平面的距離.而用法向量求點到平面的距離，垂線段常常不必作出來， 只需設出垂線段對應的向量或平面的法向量，利用公式即可求解 . 該問的解答如下：21,21,0ce，1, 1 , 1pb，點c到面def的距離33

12、31pbpbced. 總之，用向量法求點面距的一般求法是，先求出該平面的一個法向量，然后找出從該點出發到平面的任一條斜線段對應的向量，最后求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.即設n是平面的法向量，ab是的一條斜線，a，則點b到平面的距離nnabd. 求直線與平面的距離時，如圖，直線a/平面，因直線a上任一點到平面的距離與直線a到平面的距離相等 .故直線a與平面的距離為nnabd， 其中a為直線a上任一點，b為平面內任一點，n為平面的法向量 .求平面與平面的距離類似以上分析 . 總之， 直線和平面的距離與兩平行平面的距離可轉化為點到平面的距離來求. 隨著新教材的推廣使用， 利用向量解決立體幾何一系列問題必將成為高考命題的