1、水資源系統分析與應用課程設計前言水資源系統分析是近幾十年來發展迅速的一門學科，它利用系統科學的理論和方法分析制定水資源的合理開發、利用、保護和管理方案，以達到整體最優或最滿意的綜合效益。系統分析方法已在水資源系統的規劃、設計、施工、運行管理中得到了廣泛的應用。水資源系統分析方法包括系統建模方法、預測方法、優化方法、模擬方法、評價方法、決策方法等。水資源系統分析與應用課程設計以基本的系統分析方法（線性規劃、整數規劃、非線性規劃、動態規劃、多目標規劃與決策等系統優化方法、系統模擬方法）為主。本次課程設計將采用Lingo對目標進行規劃求解，LINGO是美國芝加哥(Chicago)大學的Linus S

2、chrage（萊納斯.施拉蓋 ）教授于1980年前后開發，它是一種專門用于求解數學規劃問題的軟件包，廣泛應用LINGO主要用于求解線性規劃、非線性規劃、二次規劃和整數規劃等問題，也可以于求解一些線性和非線性方程組及代數方程求根等。Lingo的優點有：簡單的模型表示、方便的數據輸入和輸出選擇、強大的求解器、交互式模型或創建Turn-key應用程序。其特色在于內置建模語言，提供十幾個內部函數，可以允許決策變量是整數。目錄一、 線性規劃問題1二、整數規劃問題5三、非線性規劃問題7四、動態規劃問題8五、多目標規劃問題12六、心得與體會16一、 線性規劃問題一個灌區耕地面積1000hm²,可用

3、灌溉水量360萬m³。在安排種植計劃時考慮兩種糧食作物A,B，其灌溉定額分別為3000m²/hm³、6000 m²/hm³,每公頃凈收入分別為4500元/、6000元。問如何安排兩種作物的種植面積才能使整個灌區凈收入最大？ 解： 以作物A,B的種植面積x1,x2為決策變量。目標函數：總凈收入（萬元）最大 maxZ=0.45 x1+0.60x2約束條件：(1) 耕地面積（hm²） X1+X2<=1000(2) 灌溉水量（m²/hm³） 0.3X1+0.6X2<=360(3)非負約束 X1,X2>=0

4、用Lingo求解過程為計算列方程為：MAX=0.45*X1+0.60*X2;X1+X2<=1000;0.3*X1+0.6*X2<=360;X1>=0;X2>=0;計算結果為：Global optimal solution found. Objective value: 480.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 800.0000 0.000000 X2 200.0000 0.000000 Row Slack or Surplus

5、Dual Price 1 480.0000 1.000000 2 0.000000 0.3000000 3 0.000000 0.5000000 4 800.0000 0.0000005 200.0000 0.000000“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 480.000”表示最優目標值為480.000（LINGO中將目標函數自動看作第1行，從第二行開始才是真正的約束條件）。“VALUE”給出最優解中各變量（VARIABLE）的值：x1=8000.0000，x2=200.0000。“REDUCED COST”的含義是（對MAX型問題）：基變量的REDUCED COST值為0，對

6、于非基變量，相應的REDUCED COST值表示當非基變量增加一個單位時（其它非基變量保持不變）目標函數減少的量。本例中兩個變量都是基變量。“SLACK OR SURPLUS”給出松弛（或剩余）變量的值，表示約束是否取等式約束；第2、第3行松弛變量均為0，說明對于最優解而言，兩個約束均取等式約束；第4行松弛變量為800.0000，說明對于最優解而言，這個約束取不等式約束。“DUAL PRICES”給出約束的影子價格（也稱為對偶價格）的值：第2、第3、第4、第5行（約束）對應的影子價格分別0.300000，0.500000，0.000000，0.000000.二、整數規劃問題一運輸公司利用卡車運

7、輸甲、乙兩種貨物，卡車的運輸能力為體積12m3，重量9t，每箱貨物的體積、重量、利潤列于表1，如何安排運輸方案，使利潤最大？表1 數據貨物體積(m3/箱)重量（t/箱）利潤（元/箱）甲乙2211.8100160解：設每輛卡車裝載甲貨物x1箱、乙貨物x2箱，則模型為maxZ=100x1+160x2 （利潤最大）2x1+2x2<=12 （體積限制）X1+1.8x2<=9 （重量限制）X1,x2>=0X1,x2為整數用Lingo求解過程：列方程式：max 100x1+160x2s.t.2x1+2x2<=12x1+1.8x2<=9endgin 2求解的結果為：Global

8、 optimal solution found. Objective value: 800.0000 Objective bound: 800.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 -100.0000 X2 5.000000 -160.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 800.0000 1.000000 2 2.000000 0.0000003

9、0.000000 0.000000求解結果為x1=0.0000,x2=5.0000,整數規劃最優解為800.00，每輛卡車裝載甲貨物0箱、乙貨物5箱。“REDUCED COST”的含義是（對MAX型問題）：基變量的REDUCED COST值為0，對于非基變量，相應的REDUCED COST值表示當非基變量增加一個單位時（其它非基變量保持不變）目標函數減少的量。本例中兩個變量都是基變量。“SLACK OR SURPLUS”給出松弛（或剩余）變量的值，表示約束是否取等式約束；第3行松弛變量為0，說明對于最優解而言，約束取等式約束；第1行松弛變量為800.0000，說明對于最優解而言，這個約束取不等

10、式約束。“DUAL PRICES”給出約束的影子價格（也稱為對偶價格）的值：第2、第3、（約束）對應的影子價格分別0.000000，0.000000.三、非線性問題求函數f(x)=exp(x)-5x在區間1,2上的極小值點。用Lingo求解過程如下：求解方程式：min=(exp(x)-5*x);bnd(1,x,2);求解結果： Local optimal solution found. Objective value: -3.047190 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 78

11、 Variable Value Reduced Cost X 1.609438 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 -3.047190 -1.000000當x=1.609438時，求得最小值為-3.04719，四、動態規劃問題從水庫A輸水到自來水廠E需要經過三個地區B,C,D，每個地區分別有3，3，2，種可行方案，各段線路的輸水費用標于圖中。求出其中總費用的最小線路。用Lingo求解過程如下：求解過程式：model:sets:cities/A,B1,B2,B3,C1,C2,C3,D1,D2,E/:F;roads(cities,cities)/A

12、,B1 A,B2 A,B3 B1,C1 B1,C3 B2,C1 B2,C2 B2,C3 B3, C2 B3,C3 C1,D1 C1,D2 C2,D1 C2,D2 C3,D1 C3,D2 D1,E D2,E/:D, P;endsetsdata:D=20,40,30,70,40,30,20,40,10,50,10,40,60,30,30,30,30,40;enddatan=size(cities);F(n)=0;for(cities(i) | i#lt# n:F(i)=min(roads(i,j): D(i,j)+F(j););for(roads(i,j):P(i,j)=if(F(i) #eq#

13、D(i,j)+F(j),1,0);end求解結果為：Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Variable Value N 10.00000 F( A) 110.0000 F( B1) 100.0000 F( B2) 70.00000 F( B3) 80.00000 F( C1) 40.00000 F( C2) 70.00000 F( C3) 60.00000 F( D1) 30.00000 F( D2) 40.00000 F( E) 0.000000 D( A, B1) 20.00000 D( A, B2) 40.00000

14、D( A, B3) 30.00000 D( B1, C1) 70.00000 D( B1, C3) 40.00000 D( B2, C1) 30.00000 D( B2, C2) 20.00000 D( B2, C3) 40.00000 D( B3, C2) 10.00000 D( B3, C3) 50.00000 D( C1, D1) 10.00000 D( C1, D2) 40.00000 D( C2, D1) 60.00000 D( C2, D2) 30.00000 D( C3, D1) 30.00000 D( C3, D2) 30.00000 D( D1, E) 30.00000 D(

15、 D2, E) 40.00000 P( A, B1) 0.000000 P( A, B2) 1.000000 P( A, B3) 1.000000 P( B1, C1) 0.000000 P( B1, C3) 1.000000 P( B2, C1) 1.000000 P( B2, C2) 0.000000 P( B2, C3) 0.000000 P( B3, C2) 1.000000 P( B3, C3) 0.000000 P( C1, D1) 1.000000 P( C1, D2) 0.000000 P( C2, D1) 0.000000 P( C2, D2) 1.000000 P( C3,

16、 D1) 1.000000 P( C3, D2) 0.000000 P( D1, E) 1.000000 P( D2, E) 1.000000 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000 8 0.000000 9 0.000000 10 0.000000 11 0.000000 12 0.000000 13 0.000000 14 0.000000 15 0.000000 16 0.000000 17 0.000000 18 0.000000

17、19 0.000000 20 0.000000 21 0.000000 22 0.000000 23 0.000000 24 0.000000 25 0.000000 26 0.000000 27 0.000000 28 0.000000 29 0.000000五、多目標規劃問題一個灌區耕地面積1000hm²,可用灌溉水量360萬m³。在安排種植計劃時考慮兩種糧食作物A,B，其灌溉定額分別為3000m²/hm³、6000 m²/hm³,每公頃凈收入分別為4500元/、6000元。如果希望在保證灌區凈收入達到450萬元的基礎上節約盡可能

18、多的灌溉水量，應如何安排作物種植面積？解： 以作物A,B的種植面積x1,x2為決策變量，以d11,d12表示灌區的凈收入0.45x1+0.60x2與450萬元之間的正、負偏差，以d21,d22表示灌溉的用水量0.30x1+0.60x2與360萬m³之間的正、負偏差。第一個目標要求凈收入達到450萬元，即要求d11盡可能小，第二個目標要求節約的灌溉水量盡可能多，即要求d22盡可能大，該問題的規劃模型為目標函數：minP1(d11)+P2(-d22)目標約束：0.45*x1+0.60*x2+d11-d12=450;0.30*x1+0.60*x2+d21-d22=360;絕對約束：x1+x

19、2-d31+y1=1000;0.30*x1+0.60*x2+y2=360;非負約束：X1,x2,y1,y2,d11,d12,d21,d22>=0由lingo求解過程為:求解式子為：0.45*x1+0.60*x2+d11-d12=450;0.30*x1+0.60*x2+d21-d22=360;x1+x2+y1=1000;0.30*x1+0.60*x2+y2=360;min=d11+d22;求解結果為： Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost X1 1000.000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 D11 0.000000 1.000000 D12 0.000000 0.000000 D21 60.00000 0.000000 D22 0.000000 1.000000 Y1 0.000000 0.000000 Y2 60.0