1、東北師范大學物理學院Mathematical Methods in Physics第一篇 復變函數論引 言一、復變函數的內容：、將實變函數中：函數、極限、延續、 微商、 積 分、級數等概念推行至復變函數中；、建立了三角函數和指數函數，雙曲函數 的關系;、解除了實數領域中假設干禁令;二、復變函數的運用：1、解偏微分方程的邊值問題，如：保角變換法；2、解微分方程的初值問題，如：拉普拉斯變換法；3、計算實積分，如：留數定理。 復變函數實際被人譽為19世紀最獨特的發明，曾被稱為19世紀的數學享用，也曾被稱為籠統科學最調和的實際之一。 本篇研討的中心問題是解析函數的問題.引 言中心內容：第一章 解析函數

2、論學習目的：解析函數1、熟練掌握復數的各種表示及運算規那么；*3、重點掌握解析函數的概念及性質；2、熟練掌握復變函數中與實變函數平 行的概念；Theory of Analytic Functions1.1 復數及其運算一、復數概念1. 定義zyzxImRe2. 性質212121222111) 1 (yyxxzziyxziyxz，則若.)()() 3(，cbaRcbaR無大小z)2(iyxziyxyxz),(ArgzArgzx xy yArctygArctygy yx x2 22 2 2,2, ,1 1, ,0 0k k, ,2k2kargzargzArgzArgzargzargz規定規定: :

3、二、復數的表示方法1.幾何表示XYyzx o1i幅角的主值1.1 復數及其運算；點z) 1 (；向量oz)2(: ),() 3(極坐標 的模z 的幅角，多值z 問：問：x xy yarctgarctgzarg如何用 來表示 ? y ya ar rc ct t, ,x x0 0, ,y y0 0 x xy ya ar rc ct t, ,x x0 0, ,y y0 0 x xa ar rg gz zy ya ar rc ct t, ,x x0 0, ,y y0 0 x xy ya ar rc ct t, ,x x 0 0, ,y y0 0 x x答答: :02 ,?若如何用a表示ayargzrc

4、tgrgzx問問: :1.1 復數及其運算YXN A(4)復球表示：2.代數表示A 1.幾何表示二、復數的表示方法;AA復平面上的點球面上的點;復平面上的北極N復球面全平面復平面cossin(ix iyze 三角）指數1.1 復數及其運算o1，與分析中+、 -有根本在那兒 +、 -只是量化的數數學學著著區區別別變變變變記記號號o =， 但部、 部和角是意的z= z （z）z2定：= 0 （z）z= （z0）0規實實虛虛輻輻則則認認為為無無義義留意：留意：二、復數的表示方法1.1 復數及其運算1、運算結果與實數運算結果相符合2、運算規那么與實數運算規那么相符合三、復數的運算規那么111222zx

5、iyzxiy，若若121212121 212121 2zz(xx ) i( yy )zz(x xy y ) i(x yy x )規定規定: :132i滿足、那么1.1 復數及其運算容易證得：容易證得：三、復數的運算規那么1.1 復數及其運算nmmnmmnniiiiiizzCzzzzzzzzeeeeee0212121212121)()()()(212121211212()1212()12122/(/)(0)i ArgzArgzi ArgzArgzzzzz ezzzz ezinArgznnezz20, 12 .2argzkimmmkmzze， ，三、復數的運算規那么nininsincos)sin(cosDeMoivre公式1.1 復數及其運算進而可證明：進而可證明：inArgznnezz三、復數的運算規那么:3n1.1 復數及其運算20, 12 .2argzkimmmkmzze，