1、精品資料歡迎下載一、問題的提出遞推數列特點方程遞推 迭代 是中學數學中一個特別重要的概念和方法，遞推數列問題才能要求高，內在聯系親密，包蘊著不少精妙的數學思想和方法；在遞推數列中占有重要一席的斐波那契數列，又稱兔子數列，是同學特別愿意探討的遞推問題，很多同學都會不約而同地向老師提出，這個數列有通項公式嗎？如有，怎樣求它的通項公式？筆者就曾遇到過一位寵愛鉆研的同學，帶著參考書上的解法而向我請教：已知斐波那契數列 a1a21, an 1anan1 n2,3, ，求通項公式an ；參考書上的解法是這樣的： 解此數列對應特點方程為x2x1 即 x2x10 ，解得 x15 ，2設此數列的通項公式為an1

2、c15 n21c2 5 n ，2由初始條件a1a 21可知，c115215 2151c2215 21c1，解之得5，c1c12所以 anc2 51125 ）n1255 n；522這位同學坦率地表示，盡管參考書上介紹了利用特點方程求通項公式的一些結論，用上述方法得到的通項公式也是正確的，但他仍是“看不懂”；換句話說，這種解法的依據是什么？特點方程是怎樣來的？我雖然深知這是特點方程惹的禍，但由于現行教材只字未提特點方程，我也從未在課堂上作過補充，假如將有關利用特點方程求遞推數列通項的一些結論直接出現出來，或者以“高考不作要求”為由來搪塞，同學是難以接受的，也是不負責任的；面對一頭霧水的數學尖子，我

3、在充分確定其善于摸索、勇于探究的珍貴品質的同時，也在苦苦查找解答這一問題的良策；其后不久，一次偶然的數學探究活動，竟使這一長期困惑我們教學活動的尷尬問題迎刃而解；二、討論與探究問題的解決源于對一階線性遞推數列通項公式的探求：如數列an 滿意 a1b, an 1candc1, 其通項公式的求法一般采納如下的參數法，將遞推數列轉化為等比數列：設 an 1tcant, 就an 1canc1t，令 c1) tdd ，即 td，當 c c1d1時可得an 1can ，c1c1知數列 a nd是以 c 為公比的等比數列，c1adna1c1dcnc11bc ndb c n 1d將 a1b 代入并整理，得an

4、.c1將上述參數法類比到二階線性遞推數列an 1panqa n1 ,能得到什么結論？仿上，我們來探求數列an 1tan的特點：不妨設an 1tansantan1 ，就 an 1st anstan1 ,令stpstq（ 1） 如方程組有兩組不同的實數解s1 ,t1 , s2 , t 2 ,就 an 1t1ans1ant1an1 ,an 1t2 ans2 ant 2an1 ,n1即 an 1t1an、 an 1t 2an分別是公比為s1 、 s2 的等比數列，由等比數列性質可得an 1t1ana2t1a1 s1,an 1t 2ana2t2 a1 s2,1n1 t1t 2, 由上兩式消去an 1 可

5、得aa2ns1 t1t1a1t 2n.s1a2 s2 t1t2 a1t2n.s2 .（ 2） 如方程組有兩組相等的解s1s2t1t 2，易證此時t1s1 ，就an 1t1ans1 ant1an 12s1 an 1t1an 2 ns11a2t1a1 ，nn1an 1ans1s1a2s1a12s1an,即ns1是等差數列，ann由等差數列性質可知s1a1ns11 . a2s1a12，s1所以 a na1a 2s1s1a 12s1a 2s1 a1 .n s1s n 21（限于同學學問水平，如方程組有一對共軛虛根的情形略）2這樣，我們通過參數方法，將遞推數列轉化為等比（差）數列，從而求得二階線性遞推數

6、列的通項， 如將方程組消去 t 即得 s2psq0 ，明顯s 、s 就是方程 xpxq2的兩根，我們不妨稱此方程為二階線性遞推數列就得到了散見于各種數學參考資料的如下結論：an 1pan12qa n 1 的特點方程，于是我們nn設遞推公式為an 1panqan1, 其特點方程為xpxq即x 2pxq0 ，n1、 如方程有兩相異根s1 、 s2 ，就 anc1s1c2 s2 ；2、 如方程有兩等根s1s2 ，就 anc1nc2 s1 .其中 c1 、 c2 可由初始條件確定；這正是特點方程法求遞推數列通項公式的根源所在，令pq1 ，就可求得斐波那契數列的通項，真是“踏破鐵蹄無覓處，得來全不費工夫

7、”！將上述方法連續類比到分式線性遞推數列an 1a anc anb（ a,b, c, ddr, c0 ），看看又會有什么發覺？仿照前面方法，等式兩邊同加參數t ，就 an 1ta anbtan actb dtactc andc and令 tbdt ，即actct 2ad tb0記此方程的兩根為t1,t 2 ，（ 1） 如 t1t 2 ，將 t1, t 2 分別代入式可得an 1t1act1ant1c andan 1t 2act 2 ant2c and以上兩式相除得an 1t1an 1t 2act1ant1 ，act 2ant2于是得到ant1ant2為等比數列，其公比為act1 ，act2數列

8、 an的通項ant1aan 可由nt 2a1t1 aa1t2act1 nct 21求得；（ 2）如 t1t 2 ，將 tt 1 代入式可得an 1t1 act1 ant1,c and考慮到上式結構特點，兩邊取倒數得1an 1t11act1cant1dant1ct1由于 t 1t2 時方程的兩根滿意2t1ad， acct1dct1于是式可變形為1a n 1t1cact11ant11ant1為等差數列，其公差為c，act1數列 an的通項an 可由1ant11a1t1n1cact1求得這樣，利用上述方法，我們可以把分式線性遞推數列轉化為等比數列或等差數列，從而求得其通項；假如我們引入分式線性遞推數

9、列an 1aanc anb （ a, b,c,d dr, c0 ）axb2的特點方程為x，即 cxdaxb0 ，此特點方程的兩根恰好是方程兩cxd根的相反數，于是我們又有如下結論：分式線性遞推數列 aa anba, b, c, dr,c0 ），其特點方程為xaxb，n 1（2即 cxdaxbc and0 ，cxd1、如方程有兩相異根ans1 、 s2 ，就ans1成等比數列，其公比為s2acs1；acs22、如方程有兩等根 s1s2 ，就1ans1成等差數列，其公差為c.acs1值得指出的是，上述結論在求相應數列通項公式時當然有用，但將遞推數列轉化為等比（等差）數列的思想方法更為重要；如對于其

10、它形式的遞推數列，我們也可借鑒前面的參數法，求得通項公式，其結論與特點方程法完全一樣，有愛好的讀者不妨一試；三、應用舉例例1、 已知數列 a11, a 25, 且 an 14an4an1 n2) ，求通項公式an ；解設 an 1tans anta n1 ，an 1 stanstan 1st4s2令可得2n1st4t2于是 an 12an2 an2an 122 a2 an 2 2 n 1 a2a1 3 2 n 1 ，an 1an3ana113 n 1n22，即是以42n21為首項、24為公差的等差數列， an2 n1n2134，從而 an3n1 2 n 2 .例 2、設數列an 滿意 a12,

11、 an 15an 2an4, 求an .7解： 對等式兩端同加參數t 得a7t4an 1t5an4t2t5 an7t42t5n2t5 ,2an72 an72an7令 t7 t 2t4，解之得 t51， 2 ，代入上式得 an 113an2an1, an 1729an2 ,2an7兩式相除得an 11an 121an1 ,3an2an1即an2是首項為 a11a121 ,公比為41 的等比數列，3an1an21 314n ,從而a4 3n 12n4 3n 11四、收成與反思隨著一般高中課程改革的逐步深化，要求廣大老師在新課標理念指導下，大膽實 施課堂教學改革；如何制造性地處理教學內容，無疑是一項特別現實的課題；由于數 學學問出現方式的多樣性、解決問題策略的多挑選性和數學思維的開放性，老