1、xyaa0bcby=f (x) 第三章 1. 理解羅爾定理,拉格朗日中值定理的條件和結論,了解柯西中值定理.2. 熟練掌握洛必塔法則,理解洛必塔法則應用的條件,并能熟練地用洛必塔法則求各種未定型極限.3. 掌握用導數的符號研究函數的單調增 (減) 區間的方法.4. 理解函數極值的概念,能熟練地求出函數的極值點和極值.5. 能用導數研究曲線的凹向區間和拐點.6. 了解函數作圖的方法和步驟,會描繪簡單函數的圖形.7. 理解函數最大值和最小值的概念,會求閉區間上連續函數的最大值和最小值.一、羅爾（一、羅爾（ rolle）定理）定理.羅爾定理: 若函數 f (x) 滿足:(1) f (x) 在 a,

2、b上連續;(2) f (x)在( a, b )內可導;(3) f (a)=f (b)則在( a, b )內至少有一點 , 使得 f .第一節第一節 中值定理中值定理圖3-1-1bacbax0y幾何意義:若在兩端點高度相同的連續曲線弧上,除端點外處處具有不垂直于 x 軸的切線,那么在這曲線弧內部至少有一點, 在該點處具有水平切線. 由 f (x) 在 a, b上連續,則 f (x) 在 a, b 上必取得最大值 m 和最小值 m(顯然 m m).(1) 若 mm ,由 f (a)=f (b) ,則 m 與 m 中至少有一個不是端點的函數值,不妨設 m f (a),所以, ( a, b ) , 使

3、 f ( )=m,下面證明, f .證明證明：由 f (x) 在 ( a, b )內可導知 f 存在.而 f xfxfx) ()(lim0 0f + xfxfx lim0 0由于 f 存在, 所以, f ( f + 0即 f .(2) 特別 m=m, 這時 f (x)=m對于x a, b , 都有 f x因此,可以取 a, b 內任意一點作為有 f .在區間例例1. 驗證羅爾定理對xxfsinln)(上的正確性.65,6解解: 因為xxfsinln)(在65,6上連續,)65,6(在內可導,21)65( 6 ln)(ff且由羅爾定理知,至少存在一點,65,6)(使得 f xxxsincos0c

4、ot事實上,65,6 2)( 確有 . 0cot f使注：羅爾定理可作為注：羅爾定理可作為 f 的根的存在性定理的根的存在性定理.例例2 設函數 f (x) = (x1)(x2)(x3),不求導數,試判 斷方程 f x 有幾個實根,它們分別在何區間?解解: f (x)在1, 2上連續, 在(1, 2)上可導,且 f (1)= f (2);由羅爾定理: 1 , 使 f (1;同理, 2, ,注意到 f (x)=0為二次方程,使 f (2;它至多有兩個實根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部實根.f (x)滿足條件(2), (3),但不滿足條件(1),在(0, 1)內,21)( xf例如例如:

5、 (i)y=f (x)=121x1 , x = 1, x0, 1)圖3-1-2 xy011231 , 1 |)(xxxfyf (x)在-1, 1上,滿足條件(1), (3),但不滿足條件(2),當 x 時,f (x)= 1.x 時,f (x)= 1.x=0時,f (0)不存在.(ii)0 xy111圖3-1-3y = |x|(iii) y=f (x)=x, x1, 2,f (x)在1, 2上滿足條件(1), (2),但不滿足條件(3),在(1, 2)內, f (x)=1.02112xy圖3-1-4y=x二二. 拉格朗日拉格朗日 (lagrange) 中值定理中值定理.拉格朗日中值定理拉格朗日中

6、值定理:若函數 f (x)滿足(1) f (x) 在 a, b 上連續;(2) f (x) 在(a, b) 內可導.則在 (a, b) 內至少有一點 ,使等式 f (b) f (a)=f ( )(b a). (1)成立.圖3-1-5xyaa0bcbabafbff)()()(幾何意義:若連續曲線弧 ab上,平行于弦 ab.除端點外,處處具有不垂直于 x 軸的切線,那末在這曲線弧內至少有一點,在該點處的切線證證: 令 (x)= f (x)l(x)( )()()()(axabafbfafxf顯然: (x)在 a, b 上連續,在 (a, b)內可導,且 a b, 由羅爾定理, a, b,使 ( )

7、.而 (x),)()()(abafbfxf所以 ( )abafbff)()() (=0由此得 f ( ).)()(abafbf即 f (b)f (a)=f ( )(ba).注注:(1)式也可寫成:abafbff)()() (2)或 f (a) f (b)= f ( ) (a b). (3)若 f (x)在 a, b上滿足拉格朗日中值定理條件,對于 a, b 上任意兩點 x, x+x,在 x, x+x (或 x+x, x ) 上, 公式(1) 也成立.y=f (x+x) f (x) =f ( ) x . 其中 (x, x+x) 或 (x+x, x) 記 =x+ x (其中0 1) 有限增量公式:

8、y= f ( x+ x ) x (4)比較比較 :f (x)在 x 處于可微：ydy=f (x)x要求:| x |很小，且f (x)0f (x)在 a, b 上滿足拉格朗日定理條件：y= f ( x+ x )x要求: x有限.如果函數 f (x) 在區間 i 上導數恒為零,那末 f (x)在區間 i 上是一個常數.定理定理:(即 f (x)c, xif (x) xi.)證明證明: 在區間 i 上任取兩點 x1, x2, 不妨設 x1 x2,則 f (x)在x1, x2上滿足拉格朗日定理條件.有 f (x2) f (x1)=f ( )( x2x1). ( x1 b0 n1.證明證明:令 f (x

9、)= x n顯然 f (x) 在 b, a上滿足拉格朗日定理條件, 證明: nbn1(ab) an bn nan1(a b)有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a)即 an bn = n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b) 即 nbn1(ab) an bn 0 時,)1ln(1xxx1ln x證明證明: 令 f (x)=ln(1+x)顯然 f (x) 在 0, x 上滿足拉格朗日定理條件,xxf11)( 且有 f (x)f (0)= f ( )(x0) (0 x)xx111ln)1ln( 即又

10、11+ 1+ x11111x所以xxxx11xxxx)1ln(1即三三. 柯西柯西 ( cauchy) 中值定理中值定理.若圖 中的曲線弧 ab 由參數方程)( )()(btatfytfx表示,其中 t 為參數,那末,曲線上點( x , y )處的切線的斜率為)()(tftfdxdy弦 ab 的斜率為)()()()(afbfafbf圖3-1-5xyaf(a)0bcf(b)所以),( ) () ()()()()(baffafbfafbf柯西中值定理柯西中值定理:若函數 f (x) 及 f (x)滿足:(1) f (x) 及 f (x) 在 a, b上連續; (2) f (x) 及 f (x) 在

11、 (a, b) 可導; (3) f (x) 0 x(a, b).則在 (a, b) 內至少存在一點 ,使等式) () ()()()()(ffafbfafbf(5)成立.證證: f (b) f (a) = f (1) (b a) 0 (a 1 x時, f (x)與f (x)都存在,且f (x)0 .0)(lim)(limxfxfxx)()(limxfxfx那末)()(limxfxfx)()(limxfxfx例例4: 求=1解解: xxx1arctan2limxxx1arctan2lim22111limxxx221limxxx二二.型型 未定型未定型.定理定理3：(洛必塔法則) 如果(1) (2)

12、 在x0的某一去心鄰域內 (或|x|x時) , f (x)與f (x)都存在,且f (x)0 )(lim)(lim)()(00 xfxfxxxxxx(3) 存在, (或為)()(lim)(0 xfxfxxx)()(lim)()(lim)()(00 xfxfxfxfxxxxxx則例例5: 求. 0) ,( lim 為正整數nexxnx lim xnxex lim 1xnxexn ) 1(lim 22xnxexnn= 2 ) 1(lim 1 -nxxexnn !lim nxxen= 0解解: 三、其它未定型三、其它未定型 .1. 0 . 型, 型.例例6: 求 . )0( lnlim0nxnxx1

13、01limnxx-nx01lim0nxxn lnlim0 xnxx lnlim0nxxx)(0型).(型解解: 例例7: 求 . )tan(seclim2xx-x)tan(seclim2xx-x cossin1lim2xx-x).00( 型)-(型 sincoslim2xxx0 10解解: 2. 00型, 1 型, 0型 未定型. 將冪指函數f (x)g(x)取對數, 化成乘積形式:ln f (x)g(x)=g(x)ln f (x)例例8: 求xxxlim0(00型)設y=xx 則 lny=xlnx .xxyxxlnlimlnlim00(0型)xxx1lnlim0).(型2011limxxx)

14、(lim0 xx= 0解法一解法一:又 y=eln y所以 .yxlim0yxeln0limyxelnlim0=e0=1解法二解法二. xxxxxexln00limlimxxxelnlim0 xxxe1ln lim02011 limxxxe= e0 = 1例例9: 求210)(coslimxxx(1型)解法一解法一: 21)(cosxxxxecosln12xxxcosln1lim 20( 0型)20coslnlimxxx).00( 型xxxx2)sin(cos1lim0 xxxxsincos21lim021所以: 210)(coslimxxxxxxecosln1lim2021 e解法二解法二:

15、 210)(coslimxxx(1型)21cos1cos10) 1(cos1limxxxxx211coslim 20 xxx而21210)(coslim exxx故例例10: 求xxx)1(lnlim0( 0型)1ln(ln)1(lnxxxex)1ln(lnlim0 xxxxxx1)1ln(lnlim0(0型).(型解解: 2201)1(111ln1limxxxxxxxx10)1(lnlim= 0 xxx)1(lnlim0 )1ln(ln0limxxxe)1ln(lnlim0 xxxe=e0 = 1所以例例11: 求xxxx30sinarcsinlim).00( 型解解: 當 x0時. x-a

16、rcsinxx-arcsinxsin3x x3xxxx30sinarcsinlim30arcsinlimxxxx).00( 型2203111limxxx222011131limxxxx2202011lim131limxxxxx).00( 型xxxx2)2()1 (21lim31212020121lim31xx61例例12: 求xxxxsinlimxxxxsinlim )sin1 (limxxxxxxsin1lim1= 1解解: )sin(lim .xxxx但是1cos1limxx不存在(且不為)sin( limsinlim .xxxxxxxx這時注: 當不存在且不為時,不能用洛必塔法則. )(

17、 )( limxfxfx例例13: 求)( lim 型xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeee11lim )11 ()11 (lim22xxxxxeeeexxxee221111lim111解解: 但是 )()(limxxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeeelim).(型第三節第三節 泰勒公式泰勒公式1. 若f (x)在x0可微,則在x0附近.)()()()(1000 xpxxxfxfxf(1)且 (1)()(001xfxp)()()2(001xfxp)(o )()(011xxxpxfr誤差0 xyy=p2(x) y=f (x)y=p1(x)x0m2. 考

18、慮2020102)()()()(xxaxxaaxpxf).()()2(002xfxp).()()3(002xfxp 220212! 2)(),(2)(axpxxaaxp 而!2)(),(),(020100 xfaxfaxfa 得2000002)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxp 故：(2)(o)()()(2022xxxpxfxr誤差).()() 1 (002xfxp且nnnxxaxxaxxaaxpxf)(.)()()()(0202010且：)()(00 xfxpn.)()(0)(0)(xfxpnnn)()(00 xfxpn)()(00 xfxpn .!)(,.,! 2)( ),(

19、 ),( 0)(020100nxfaxfaxfaxfann 解得nnnxxnxfxxxfxxxfxfp)(!)(. )(! 2)()()(00)(200000 (3)(o)( 0nnxxxr誤差泰勒泰勒(taylor)中值定理中值定理 如果函數f (x)在含有x0的某個開區間(a,b)內具有直到(n+1)階的導數,則當x在(a,b)內時,f(x)可以表示成(xx0)的一個n次多項式與一個余項rn(x)之和.200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(.00)(xrxxnxfnnn10)1()()!1()()(nnnxxnfxr這里在x0與x之間.其中(4)證明

20、：證明：)()(xpxfrnn記10)1()()!1()()(nnnxxnfxr只需證(在x0與x之間)由假設rn(x)具有直到(n+1)階導數,0)(.)()(0)(00 xrxrxrnnnn且10010010)()()()()()(nnnnnnxxxxxrxrxxxr)( )() 1()(01011之間與在xxxnrnn)()(1()()(000101nnnnxxxnxrr)( )() 1()(0121022之間與在xxnnrnn = )()(2) 1()()(0000)()(xxxnnxrrnnnnnn)( )!1()(0)1(之間與在xxnrnn10)1()()!1()()( nnnn

21、xxnrxr所以)()( )()()( )1()1(xfxrxpxfxrnnnnn注意到10)1()()!1()()( nnnxxnfxr故注注1：公式200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxpn nnxxnxf）00)(!)(.稱為f (x)按xx0的冪展開的n次近似多項式.200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(.00)(xrxxnxfnnn稱為f (x)按xx0的冪展開的n階泰勒公式.其中:若對于某個固定的n,當x在開區間 (a, b) 內變動時，;| )(|1mxfn則，101)()!1()(|)(|nnnxxnfxr10|)!

22、1(nxxnm0)()(lim00nnxxxxxr及)(o)(0nnxxxr稱為皮亞諾型余項. )()!1()()(10)1(nnnxxnfxr) 10( )()!1()(1000)1(nnxxnxxxf稱為拉格朗日型余項.)( 0之間與在xx注2:注注3：當n=0時,泰勒公式即為拉格朗日中值定理.)( )()()(000之間與在xxxxfxfxf泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.注注4：當x0=0時) 10( x麥克勞林(maclaurin)公式:1)1()(2)!1()(!)0(. !2)0()0()0()( nnnnxnxfxnfxfxffxf)(!)0(.! 2)0()0()0(0

23、)(2nnnxxnfxfxff 例例1. 寫出f (x)=ex的n階麥克勞林公式.解：解：xnexfxfxfxf )(.)()()()1(由1)0(.)0()0()0(0)( effffn得所以1 2)!1(!1.! 21! 111nxnxxnexnxxe!.! 212nxxxenx) 10( |)!1()!1()(1|1 nxnxnxnexnexr誤差當 x=1時!1.!2111ne)!1(3)!1(|nnern誤差當n=10時,7182181.2e61010!113|r誤差例例2. 求f (x)=sinx展開到n階的麥克勞林公式解解：因為).2sin()0();2sin()()()(nfnxxfnn, 0)0( , 1)0( , 0)0(fff所以,.,0)0(, 1)0( )4(ffmmmrmxxxxxx212)1(753)!12() 1(.! 7! 5! 3sinxx sin|! 3)sin(|3232xxr誤差所以m=1,) 10(! 3|3x! 3sin3xxx|!5)25sin(|54xxr誤差) 10(! 5|5x!5!3sin53xxxx|!7)27sin(|76xxr誤差) 10(! 7|7xm=2m=3oyxy = x! 5! 353xxxyy =sin x!33xxy常用函數的麥克勞林展式常用函數的麥克勞林展式1. f (x