1、1.1. .典型例題典型例題4. 4. 小結小結第三節等可能概型等可能概型 3. 3.幾何概型幾何概型. . )2(; ) 1 (能概型驗稱為古典概型或等可具有以上兩個特點的試生的可能性相同試驗中每個基本事件發有限個樣本點試驗的樣本空間只包含（1）定義）定義1.古典概率模型(等可能概型)以表示為古典概型的樣本空間可,.,21n n生生的的概概率率均均為為其其中中每每一一個個基基本本事事件件發發 設試驗設試驗 E 的樣本空間由的樣本空間由n 個樣本點個樣本點( (基本事件基本事件) )構成構成， A為為 E 的任意一個事件的任意一個事件，且包含且包含 k個樣本點個樣本點(基本事件基本事件)，則事

2、件，則事件 A 出現的出現的概率記為概率記為: （2） 古典概型中事件概率的計算公式古典概型中事件概率的計算公式.)(基本事件總數所包含基本事件的個數AnkAP稱此為概率的古典定義稱此為概率的古典定義. )()()(NANAP也可記為解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH則.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)()()(11 NANAP得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA ).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求”“至少有一次出現正面“至少有一次出現正面為為設事件設事件求求”“恰有一次出現正面“恰有一次出現正面為為設事件設事件將一枚

3、硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次., )1(為出現反面為出現反面為出現正面為出現正面設設TH1 1 例例.87)()()(22 NANAP因此（3 ）古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型 摸球模型是指從摸球模型是指從n個可辨認的球中按照不同的要求個可辨認的球中按照不同的要求(是否放回，是否放回，是否計序是否計序),一個一個地從中任取一個一個地從中任取m個，從而得到不同的樣本空間，個，從而得到不同的樣本空間，然 后 在 各 自 的 樣 本 空 間 中 計 算 某 事 件 的 概 率然 后 在 各 自 的 樣 本 空 間 中 計 算 某 事 件 的 概 率 . 摸球模型一般可分為四

4、種情況，各種情況的基本事件數摸球模型一般可分為四種情況，各種情況的基本事件數如下表：如下表：從從n個可個可分辨的球分辨的球中任取中任取m個球個球摸球方式摸球方式不同結果總數不同結果總數無放回無放回計序計序不計序不計序有放回有放回計序計序不計序不計序)(排列數排列數mn)1組合數組合數 mmnC)(排列數排列數mnA)(組合數組合數mnC復習排列組合的有關公式(2) (2) 取出的球最小號取出的球最小號碼碼為的概率為的概率. 例例 設袋中有設袋中有10只球，編號分別為只球，編號分別為1 1,2,10. 從中任取從中任取只球只球,求求(1) (1) 取出的球最大號碼為的概率取出的球最大號碼為的概率

5、. (3) (3) 取出的球最大號取出的球最大號碼碼小于的概率小于的概率. 許多古典概型問題可以轉化為摸球模型許多古典概型問題可以轉化為摸球模型.典型例題典型例題解解,5取出的球最大號碼為取出的球最大號碼為設設 A基本事件總數為基本事件總數為,)(310CN(1) A 所包含所包含基本事件的個數為基本事件的個數為)()()(NANAP故.20 ,5取出的球最小號碼為取出的球最小號碼為 B,5取出的球最大號碼小于取出的球最大號碼小于 C,)(24CAN31024CC(2) 31025CC. ,)(25CBN由于(3) 由于取出的三只球中，最大號碼小于，有兩種互不相容的情況：最由于取出的三只球中，

6、最大號碼小于，有兩種互不相容的情況：最大號碼為或最大號碼為大號碼為或最大號碼為3102223CCC . ,)(2223CCCNC 所包含基本事件的個數為所包含基本事件的個數為)()()(NBNBP故)()()(NCNCP故例例 設袋中有設袋中有4只紅球和只紅球和6只黑球只黑球,現從袋中有放現從袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到紅球次摸到紅球的概率的概率.解解3,2次次摸摸到到紅紅球球第第次次摸摸到到黑黑球球前前設設 A第第1 1次摸球次摸球10種種第第2次摸球次摸球10種種第第3次摸球次摸球10種種6種種第第1 1次摸到黑球次摸到黑球6種種第第2次摸到

7、黑球次摸到黑球4種種第第3次摸到紅球次摸到紅球基本事件總數為基本事件總數為,101010103 A 所包含所包含基本事件的個數為基本事件的個數為, 466 310466)( AP故故.144. 0 33334個球放到個球放到3個杯子的所有放法個杯子的所有放法種共433333解解例例4 4 把把 4 個球放到個球放到 3個杯子中去個杯子中去,求第求第1 1、2個個杯子中各有兩個球的概率杯子中各有兩個球的概率, 其中假設每個杯子可其中假設每個杯子可放任意多個球放任意多個球. 個個2種24C個個2種22C第第1 1、2 2個杯子中各有兩個球的放法個杯子中各有兩個球的放法種共2224CC 因此第因此第

8、1、2個杯子中各有兩個球的概率為個杯子中各有兩個球的概率為422243CCp.272 生日問題生日問題 (1) n個人個人生日各不相同的概率；生日各不相同的概率；)!:(nnn答案課堂思考課堂思考分房問題分房問題 n個人隨機地住入個人隨機地住入n個房間中，個房間中，求無空房的概率求無空房的概率.)2(日相同的概率個人中至少有兩個人生n).365) 1365(3643651nnp 答案).365) 1365(364365365365nnnnPp 答案人數人數至少有兩人生日相同的至少有兩人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998

9、762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500

10、.99999999999999975491600.99999999999999999900利用軟件包進行數值計算利用軟件包進行數值計算.解解(1) 在在100件產品中抽取件產品中抽取15件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,15100種C.,)( ;,)( ,件次品的概率件次品的概率求其中至少有求其中至少有件件任取任取從中從中件次品的概率件次品的概率求其中恰有求其中恰有件件取取從中任從中任件次品件次品其中有其中有件產品件產品設有設有 5 例在在 100件產品中抽取件產品中抽取15件件,其中恰有其中恰有2 件次品的取法件次品的取法共有共有,139525種CC 于是所求的概率為于是所求的概率為

11CCp .(2),次品只產品中至少有兩只是設 A, 只產品中沒有次品 A,1只是次品只產品中恰有 A與與(1)類似有：類似有：.)(51005950CCAp.)(5100495151CCCAp于是所求的概率為于是所求的概率為)(1)(APAp)(11AAP . 51004951551005951CCCCC例例 袋袋 中有中有a只白球，只白球，b只紅球，只紅球，k個人依次在袋個人依次在袋中取一只球中取一只球,(1)作放回抽樣作放回抽樣(即前一個人取一只球即前一個人取一只球觀察顏色后放回袋中，后一人再取一只球觀察顏色后放回袋中，后一人再取一只球)，(2)作作不放回抽樣不放回

12、抽樣(即前一個人取一只球觀察顏色后不放即前一個人取一只球觀察顏色后不放回袋中，后一人再取一只球回袋中，后一人再取一只球)，求第，求第i(i=1,2,k)個個人抽到白球人抽到白球(記為事件記為事件)的概率的概率(設設ka+b)解解(1) 作放回抽樣作放回抽樣,;)(baaBP顯然第第1個人有個人有a+b 種取法，種取法，第第2個人有個人有a+b-1 種取法，種取法，第第i個人有個人有a+b-i+1 種取法，種取法，故故i個人各取一球共有個人各取一球共有（a+b)(a+b-1)(a+b-i+1)= 種取法，種取法，(2) 作不放回抽樣作不放回抽樣;)(ibaAN即所有抽法ibaA ,111,個個個

13、個球球中中的的任任意意個個球球可可以以是是其其余余其其余余被被抽抽的的中中的的任任一一個個個個白白球球個個人人抽抽到到白白球球可可以以是是發發生生時時，由由于于第第當當 ibaiaiB11)(ibaAaBN于是第個人抽到白球的所有抽法為于是第個人抽到白球的所有抽法為ibaibaAAaNBNBP11)()()( 故baa說明：在抽獎游戲中先抽后抽一個樣；有放回無放回一個樣！ . 3 ; i . 3 15 , 15 7 級的概率名優秀生分配在同一班名優秀生的概率每一個班級各分配到一求名是優秀生名新生中有這去到三個班級中名新生隨機地平均分配將例ii 解解 15級級的的分分法法總總數數為為名名新新生生

14、平平均均分分到到三三個個班班55510515CCC 5!5!10! 10!5!15! . 5!5!5!15! i優優秀秀生生的的分分法法為為每每一一個個班班級級各各分分到到一一名名4448412! 3CCC . 4!4!4!12! 3! 于是所求概率為于是所求概率為 5!5!5!15! 4!4!4!12! 3! 1p . 9725 ii班班級級的的分分法法為為三三名名優優秀秀生生分分到到同同一一個個 355510212CCC . 2!5!5!12! 3 于是所求概率為于是所求概率為 5!5!5!15! 2!5!5!12!3 2 p . 916 ?)(,.,8個紅球的概率是多少問其中恰有樣兩種情

15、況考慮分不放回抽樣和放回抽個球今從中任取其余為白球個紅球其中有個球設一個箱子中有例MkknMN.,),min(, 2 , 1 , 0,)(:.,.,.) 1 ( :NnNMnMkCCCAPCCACknMNCkMCCnNAnNknMNkMknMNkMknMNkMnNnN所求的概率個樣本點共有事件由乘法原理可知種抽法有個白球個白球中抽取在種抽法有個球個紅球中抽取在個樣本點樣本空間共有基本事件將每一種抽法看作一個種抽法共有個球個球中抽取從設所求問題事件為不放回抽樣解超幾何分布的概率公式., 2 , 1 , 0)1 ()()()(,)(,)(.,)2(nkNMNMCNMNMCBPMNMCBMNMCkn

16、NNNnNBknkknnknkknknkknknkknnn個樣本點含有隨機事件種個紅球的抽法有個球中含有個球中任取出在個樣本點共有本事件個基將每一種抽法看作是一種可能的抽法有個球個球放回地抽取從設所求問題事件為放回抽樣二項分布的概率公式NMpppCCCCnMNNknNkNknnNknMNkM其中可采用近似公式不會很大和對于較大的在實際問題中,)1 (,.,沒有本質的差異不放回抽樣和放回抽樣多時當箱子中球的個數充分 ? 8 , 6 , 20001 9 整除的概率是多少也不能被整除整數既不能被問取到的數的整數中隨機地取一個在例 解解 . 8 , 6 整除整除取到的數能被取到的數能被整除整除取到的數

17、能被取到的數能被設設 BA 又又 AP , 2000333 BP , 2000250 所所求求概概率率為為 BAP BAP 1BAP 1ABPBPAP ABP , 200083 故故所所求求概概率率為為200083200025020003331 p . 43 例例10（機動）（機動） 某接待站在某一周曾接待過某接待站在某一周曾接待過 12次來訪次來訪,已知所有這已知所有這 12 次接待都是在周二和周四進行的次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有問是否可以推斷接待時間是有規定的規定的. 假設接待站的接待時間沒有假設接待站的接待時間沒有規定規定,且各來訪者在一周的任一天且各來訪者

18、在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712種種12341277777 故一周內接待故一周內接待 12 次來訪共有次來訪共有.212種種121272 p.3000000.0 小概率事件在實際中幾乎是不可能發生的小概率事件在實際中幾乎是不可能發生的 , 從而可知接待時間是從而可知接待時間是有規定的有規定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四進行的共有次接待都是在周二和周四進行的共有故故12 次接待都是在周二和周四進行的概率為次接

19、待都是在周二和周四進行的概率為三、幾何概型三、幾何概型(等可能概型等可能概型)定義定義 當隨機試驗的樣本空間是某個區域當隨機試驗的樣本空間是某個區域,并且并且任意一點落在度量任意一點落在度量（長度長度, 面積面積, 體積體積）相同的相同的子區域是等可能的子區域是等可能的,則事件則事件A的概率可定義為的概率可定義為SSAPA )(（其中（其中S是樣本空間的度量，是樣本空間的度量， 是構成事件是構成事件A的子區的子區 域的度量）域的度量）這樣借助于幾何上的度量來合理規定這樣借助于幾何上的度量來合理規定 的概率稱為的概率稱為幾何概率幾何概率.AS說明說明 當古典概型的試驗結果為連續無窮多個時當古典概

20、型的試驗結果為連續無窮多個時,就歸結為幾何概率就歸結為幾何概率. 設設 分別為甲、乙兩人到達的時刻分別為甲、乙兩人到達的時刻,y,x那末那末.0,0TyTx 兩人會面的充要條件為兩人會面的充要條件為, tyx 實例實例1 1 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 0到到T 這段時間內這段時間內, 在在預定地點會面預定地點會面. 先到的人等候另一個人先到的人等候另一個人 , 經過時經過時間間 t( tT ) 后離去后離去.設每人在設每人在0 到到T 這段時間內各這段時間內各時刻到達該地是等可能的時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互且兩人到達的時刻互不牽連不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率求甲、乙

21、兩人能會面的概率.會面問題會面問題解解故所求的概率為故所求的概率為正正方方形形面面積積陰陰影影部部分分面面積積 p 222TtTT .112 Ttxoy T Ttxy tyx t若以若以 表示平面上點表示平面上點的坐標的坐標 , 則有則有y,x實例實例2 甲、乙兩人約定在下午甲、乙兩人約定在下午1 時到時到2 時之間到時之間到某站乘公共汽車某站乘公共汽車 , 又這段時間內有四班公共汽車又這段時間內有四班公共汽車,它們的開車時刻分別為它們的開車時刻分別為 1:15、1:30、1:45、2:00. 如果他們約定如果他們約定 (1)見車就乘見車就乘; (2)最多等一輛車最多等一輛車, 求甲、乙同乘一車的概率求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達假定甲、乙兩人到達車站的時刻是互相不牽連的車站的時刻是互相不牽連的 , 且每