1、應用多元分析因子分析7.6 設某客觀現象可用X=(X1,X2,X3)來描述，在因子分析時，從約相關陣出發計算出特征值為1=1.754，2=1，3=0.255. 由于1+2/(1+2+3)85%,所以找前兩個特征值所對應的公共因子即可，又知1，2對應的正則化特征向量分別為(0.707,-0.316,0.632)及（0，0.899，0.4470），要求：（1）計算因子載荷矩陣A，并建立因子模型。（2）計算共同度hi2（i=1，2，3）。（3）計算第一公因子對X 的“貢獻”。解：（1）根據題意，A=（t1，t2）1002=0.7070-0.3160.8990.6320.44701.754001=0.

2、9360-0.4190.8990.8370.4470由此可以建立因子模型X1=0.936F1+1X2=-0.419F1+0.899F2+2X3=0.837F1+0.4470F2+3（2）因為hi2=j=1maij2，i=1,2，ph1=0.9362+02=0.876h2=(-0.419)2+0.8992=0.984h1=0.8372+0.4472=0.900（3）因為是從約相關陣計算的特征值，所以gt2=t*所以g12=1=1.754即第一公共因子對X的“貢獻”為1.7547.8 某汽車組織欲根據一系列指標來預測汽車的銷售情況，為了避免有些指標間的相關關系影響預測結果，需首先進行因子分析來簡化

3、指標系統。下表是抽查歐洲某汽車市場7個品牌不同型號的汽車的各種指標數據，試用因子分析法找出其簡化的指標系統。解：令價格為X1，發動機為X2，功率為X3，軸距為X4，寬為X5，長為X6，軸距為X7，燃料容量為X8，燃料效率為X9，將數據輸入spss軟件（1） 在SPSS窗口中選擇AnalyzeData ReductionFactor，調出因子分析主界面，并將九個變量移入Variables框中；（2） 點擊Descriptives按鈕，展開相應對話框，選擇Initial solution復選項，單擊Continue按鈕，返回主界面；（3） 點擊Extraction按鈕，在Method下拉列表中選擇

4、因子提取的方法，在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關矩陣和協方差矩陣，在Display欄中指定與因子提取有關的輸出項，如未旋轉的因子載荷陣和因子的碎石圖。因為此時在系統默認情況下提取因子，結果是只抽取了一個成分，從方差貢獻來看，前三個成分貢獻了90.9%，所以在第三步Extraction子對話框中的Number of factors后的矩形框中輸入3單擊Continue按鈕，返回主界面；（4） 點擊Rotation按鈕，選擇Varimax，并選擇Display欄中的Rotated solution復選框，在輸出窗口中顯示旋轉后的因子載荷陣。單擊Continue按鈕，返回主

5、界面；（5） 點擊Scores按鈕，選中Save as variables復選框。選中Display factor score coefficient matrix復選框，單擊Continue按鈕返回主界面；（6） 單擊OK按鈕，運行因子分析過程。因子分析結果如下：特征根與方差貢獻率表Total Variance ExplainedComponentInitial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsRotation Sums of Squared LoadingsTotal% of VarianceCumulative %Total%

6、of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %16.79275.47275.4726.79275.47275.4723.02433.60433.6042.90510.05185.522.90510.05185.5222.62429.15762.7613.4875.41290.934.4875.41290.9342.53628.17390.9344.2983.30694.2405.2272.52596.7666.1361.50898.2737.083.91999.1928.041.45699.6489.032.352100.000旋轉前

7、因子載荷陣Component MatrixaComponent123價格.793.514-.073發動機.888.203.261功率.869.289.359軸距.853-.327-.171寬.895-.240.213長.790-.559.140軸距.933-.045-.271燃料容量.892.187-.326燃料效率-.895.031.110旋轉后因子載荷陣Rotated Component MatrixaComponent123價格.062.688.650發動機.415.773.357功率.351.870.294軸距.743.196.522寬.759.503.274長.935.223.180

8、軸距.555.336.724燃料容量.340.407.809燃料效率-.546-.421-.583由旋轉后的因子載荷陣可以看書，軸距、長、寬有較強相關性，可以歸為一類影響因子，發動機、功率有較大相關性，歸為一類影響因子，價格、燃料容量、燃料效率、軸距具有較強相關性，可以歸為一類影響因子。因子得分系數矩陣Component Score Coefficient MatrixComponent123價格-.399.289.342發動機-.015.525-.278功率-.060.700-.409軸距.305-.344.241寬.354.195-.338長.599-.100-.332軸距.036-.29

9、1.494燃料容量-.186-.221.651燃料效率-.071.082-.239其簡化了指標體系為F1、F2、F3，從旋轉后的因子得分系數矩陣得出簡化的指標體系：F1=-0.399X1-0.015X2-0.06X3+0.305X4+0.354X5+0.599X6+0.036X7-0.186X8-0.071X9F2=0.289X1+0.525X2+0.700X3-0.344X4+0.195X5-0.100X6-0.291X7-0.221X8+0.82X9F3=0.324X1-0.278X2-0.409X3+0.241X4-0.338X5-0.332X6+0.494X7+0.651X8-0.23

10、9X9令價格為X1，發動機為X2，功率為X3，軸距為X4，寬為X5，長為X6，軸距為X7，燃料容量為X8，燃料效率為X9，將數據輸入spss軟件（1） 在SPSS窗口中選擇AnalyzeData ReductionFactor，調出因子分析主界面，并將九個變量移入Variables框中；（2） 點擊Descriptives按鈕，展開相應對話框，選擇Initial solution復選項，單擊Continue按鈕，返回主界面；（3） 點擊Extraction按鈕，在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關矩陣和協方差矩陣，在Displa

11、y欄中指定與因子提取有關的輸出項，如未旋轉的因子載荷陣和因子的碎石圖。因為此時在系統默認情況下提取因子，結果是只抽取了一個成分，從方差貢獻來看，前兩個成分貢獻了85.5%，所以在第三步Extraction子對話框中的Number of factors后的矩形框中輸入2單擊Continue按鈕，返回主界面；（4） 點擊Rotation按鈕，選擇Varimax，并選擇Display欄中的Rotated solution復選框，在輸出窗口中顯示旋轉后的因子載荷陣。單擊Continue按鈕，返回主界面；（5） 點擊Scores按鈕，選中Save as variables復選框。選中Display fa

12、ctor score coefficient matrix復選框，單擊Continue按鈕返回主界面；（6） 單擊OK按鈕，運行因子分析過程。因子分析結果如下：特征根與方差貢獻率表Total Variance ExplainedComponentInitial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsRotation Sums of Squared LoadingsTotal% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %

13、16.79275.47275.4726.79275.47275.4724.01044.55944.5592.90510.05185.522.90510.05185.5223.68740.96485.5223.4875.41290.9344.2983.30694.2405.2272.52596.7666.1361.50898.2737.083.91999.1928.041.45699.6489.032.352100.000旋轉前因子載荷陣Component MatrixaComponent12價格.793.514發動機.888.203功率.869.289軸距.853-.327寬.895-.240

14、長.790-.559軸距.933-.045燃料容量.892.187燃料效率-.895.031旋轉后因子載荷陣Rotated Component MatrixaComponent12價格.930.171發動機.784.463功率.830.387軸距.395.824寬.485.790長.190.949軸距.646.674燃料容量.776.477燃料效率-.629-.638由旋轉后的因子載荷陣可以看書，價格、發動機、功率、軸距、燃料容量、燃料效率有較強相關性，可以歸為一類影響因子，軸距、寬、長、具有較強相關性，可以歸為一類影響因子。因子得分系數矩陣Component Score Coefficient MatrixComponent12價格.476-.333發動機.249-.073功率.312-.144軸距-.158.349寬-.086.283長-.341.529軸距