1、佩爾方程與群牛問題 王元1、佩爾方程所謂佩爾方程即方程 ，其中d為非零整數(shù)，試求正整數(shù)解 x, y.例如 d=5, 我們有解 x=9, y=4我們總可以假定 d>0, 而且不是一個平方，否則，無解。這是一個不定方程，或丟番圖方程。2、簡史這個方程跟英國數(shù)學(xué)家佩爾（j. pell, 1610-1685）無關(guān)。歐拉（l. euler）錯誤地將這個方程的一個解法歸于佩爾。這個解法是另一個英國數(shù)學(xué)家布龍克爾（w. brouncker）為響應(yīng)費馬（fermat 1601-1665）的挑戰(zhàn)而發(fā)明的，但欲改變歐拉的提法總是無效的。布龍克爾的方法本質(zhì)上等同于至少早六個世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家就知道的一個方法。我

2、們也看到，這個方程曾出現(xiàn)在希臘數(shù)學(xué)中，但并無證據(jù)證明希臘人能解出這個方程。一個非常清楚的“印度人的”或“英國人的”解佩爾方程的方法包含在歐拉的書“代數(shù)學(xué)”（1770）中。現(xiàn)代教科書利用連分?jǐn)?shù)來表述這個方法，例如華羅庚“數(shù)論導(dǎo)引”。這也是歐拉提供的。這個方法證明了，若存在一個解，則這個方法就能夠找出一個解。拉格朗日（lagrange 1736-1813）于1773年第一個發(fā)表了這樣一個證明，即佩爾方程總有一個解。3、最小解我們將佩爾方程改寫為若按的大小排序，其中最小者記為這稱為最小解，其他解都是的方冪，即否則通過除法即可知不是最小解了。4、解法考慮 d=14 將展成連分?jǐn)?shù)截取一段所以得最小解.

3、，其次小的解由得出，我們有下面的表n 123615 4449 12013455 3596362074049 96768360由此看出隨 n 增長，是指數(shù)增長。5、群牛問題列辛（lessing 1729-1781）在沃爾芬布臺爾（wolffenbüttel）圖書館發(fā)現(xiàn)一份手稿，并于1773年發(fā)表，將這個問題歸于阿基米德（archimedes）名下。問題寫成22行希臘哀歌體的對句詩。用數(shù)學(xué)語言可以表述于下：要求滿足一些算術(shù)限制的屬于太陽神的白色的，黑色的，有斑點的與棕色的公牛個數(shù)，設(shè)這四種公牛的個數(shù)分別為x,y,z,t,則他們滿足方程（1）其次，命分別表示為同樣顏色的母牛個數(shù)，則滿足（2

4、）還要滿足（3） x+y 為一個平方數(shù)，（4） z+t 為一個三角數(shù)。方程（1）是一個不定方程組，線性的，有通解（x ,y ,z , t）=m (2226,1602,1580,891), m為正整數(shù)，于是（2）有解的充要條件為 真正的挑戰(zhàn)在于方程（3）與（4），即挑選k 使 為平方數(shù) 為三角數(shù)由因子分解得所以x+y為一個平方，則相當(dāng)于，z+t 為三角數(shù)的充要條件為8（z+t）+1為平方數(shù)，即改寫為其中這是一個佩爾方程。6 解答 解佩爾方程首先要將 展成連分?jǐn)?shù)，1867年德國數(shù)學(xué)家梅耶（c.f. meyer）將展成了240步，未查出周期而放棄了。1991年grosjean與de meyer發(fā)現(xiàn)周期長度為 203254。1880年愛莫紹爾（a. amthor）用了一些技巧對群牛問題的解決取得了突破。他沒有給出最小解，當(dāng)然沒有給出群牛問題的對應(yīng)解答。他證明了最小解是一個206548位數(shù)，即約有10 206545這么大的數(shù)，這個數(shù)的前四位數(shù)是7766但第四個數(shù)錯的，應(yīng)為 77602000年，倫斯查（lenstra）完全解決了，其結(jié)果為阿基米德