1、第1篇 NX MasterFEM 仿真解決方案第1章 有限元分析方法簡(jiǎn)介隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，為了不斷滿足建造更為快速的交通工具、更大規(guī)模的 建筑物、更大跨度的橋梁、更大功率的發(fā)電機(jī)組和更為精密的機(jī)械設(shè)備的需求，工程師需 要對(duì)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力強(qiáng)度以及溫度場(chǎng)、流場(chǎng)、電磁場(chǎng)和滲流等技術(shù)參數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算。由 于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，要從理論上求解上述方程式往往是不可能的。近年來(lái)在計(jì)算機(jī)技術(shù) 和數(shù)值分析方法支持下發(fā)展起來(lái)的有限元分析（Finite Element Analysis ，F(xiàn)EA）方法則為解決這些復(fù)雜的工程分析計(jì)算問(wèn)題提供了有效的途徑。凡是涉及空間形態(tài)的物質(zhì)結(jié)構(gòu)，不論 是以固體、流體還是場(chǎng)的

2、形式存在，有限元都是非常有效的分析方法，見(jiàn)圖1.1。圖1.11.1基本原理有限元分析的基本概念是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復(fù)雜問(wèn)題后再求解。它將求解域看成是 由許多稱(chēng)為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的（較簡(jiǎn)單的）近似解,然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件（如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不 是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題被較簡(jiǎn)單的問(wèn)題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段，見(jiàn)圖1.2，圖中u、v分別為x、y方向的位移。1.2有限元求解問(wèn)題的基本步驟有限元求解問(wèn)題的基本步驟通常為：i.問(wèn)題及求

3、解域定義根據(jù)實(shí)際問(wèn)題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。2求解域離散化將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí) 慣上稱(chēng)為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越小（網(wǎng)絡(luò)越細(xì)）則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié) 果也越精確，但計(jì)算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。3.確定狀態(tài)變量及控制方法一個(gè)具體的物理問(wèn)題通常可以用一組包含問(wèn)題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示， 為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式，見(jiàn)圖1.3，圖中u、v分別為x、y方向的位移。o = Dc=where k =護(hù)D& dv圖1.34 單元推導(dǎo)對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近

4、似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐 標(biāo)系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣 (結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱(chēng)剛度陣或柔度陣)。為保證問(wèn)題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵 循。對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng) 以規(guī)則為好，畸形時(shí)不僅精度低，而且有無(wú)法求解的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致求解失敗。5 總裝求解將單元總裝形成離散域的總矩陣方程(聯(lián)合方程組)，反映對(duì)近似求解域的離散域的 要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件。總裝是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變 量及其導(dǎo)數(shù)(可能的話)連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處，見(jiàn)圖1.4。6 聯(lián)立方程組求

5、解和結(jié)果解釋有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機(jī)法。求 解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對(duì)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過(guò)與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的 允許值比較來(lái)評(píng)價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。簡(jiǎn)言之，有限元分析可分成 3個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元 模型，完成單元網(wǎng)格劃分；后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡(jiǎn)便提取信息，了解 計(jì)算結(jié)果。1. 切=釘 %, f2=切 xj,2. F= K X,where K= k1 k 23. K - K-14. x= KF5. 滬Bx o= D e圖1.41.3有限元分析的優(yōu)勢(shì)和局限性驗(yàn)證模型能否達(dá)到設(shè)計(jì)要求的途徑之一就是

6、做原型試驗(yàn)，通過(guò)測(cè)試來(lái)驗(yàn)證模型的各項(xiàng) 指標(biāo)，然后修改模型再做測(cè)試，直到模型性能滿足設(shè)計(jì)要求為止。途徑之二就是有限元分 析方法。FEA最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來(lái)，逐步推廣到板、殼和實(shí)體等連續(xù)體固體 力學(xué)分析，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法，見(jiàn)圖1.5。有限元分析方法可以對(duì)多種類(lèi)型的工程和產(chǎn)品的物理、力學(xué)性能進(jìn)行分析、模擬、預(yù)測(cè)、評(píng)價(jià)和優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn) 產(chǎn)品技術(shù)的創(chuàng)新。相對(duì)傳統(tǒng)的驗(yàn)證方法，F(xiàn)EA具有的優(yōu)勢(shì)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)增加設(shè)計(jì)功能，減少設(shè)計(jì)成本。(2 )縮短設(shè)計(jì)和分析的循環(huán)周期。(3) 增加產(chǎn)品和工程的可靠性。(4) 采用優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低材料的消耗或成本。(5) 在產(chǎn)品制造或工程施工前預(yù)先發(fā)現(xiàn)潛在的問(wèn)題。(6) 模擬各種試驗(yàn)方案，減少試驗(yàn)時(shí)間和經(jīng)費(fèi)。(7) 進(jìn)行機(jī)械事故分析，查找事故原因。當(dāng)然FEA不是萬(wàn)能的，在有限元分析中，CAD模型的建立、單元形式的選取和邊界條件的確立都對(duì)計(jì)算結(jié)果、計(jì)算效率和計(jì)算精度有