1、函數單調性從三方面刻畫函數單調性從三方面刻畫1 1、圖形刻畫、圖形刻畫 對于給定區間上的函數對于給定區間上的函數f(x)f(x)，函數圖象如從，函數圖象如從左向右連續上升，則稱函數在該區間上單調遞增，左向右連續上升，則稱函數在該區間上單調遞增，函數圖象如從左向右連續下降，則稱函數在該區函數圖象如從左向右連續下降，則稱函數在該區間上單調遞減。間上單調遞減。2 2、定性刻畫、定性刻畫 對于給定區間上的函數對于給定區間上的函數f(x)f(x)，如函數值隨自變，如函數值隨自變量增大而增大，則稱函數在該區間上單調遞增，量增大而增大，則稱函數在該區間上單調遞增，如函數值隨自變量增大而減小，則稱函數在該區如

2、函數值隨自變量增大而減小，則稱函數在該區間上單調遞減。間上單調遞減。3 3、定量刻畫，即定義、定量刻畫，即定義判斷函數單調性的方法判斷函數單調性的方法1、定義法：利用定義嚴格判斷。2、利用函數的運算性質：如若f(x)，g(x)為增函數，則 f(x)+g(x)為增函數； 1/f(x)為減函數(f(x)0); f(x)1/2為增函數(f(x)0); f(x)g(x)為增函數(f(x)0,g(x)0 ); -f(x)為減函數.3、利用復合函數關系判斷單調性 法則是“同增異減”，即兩個簡單函數的單調性相同，則這兩個函數的復合函數為增函數，若兩個簡單函數的確單調性相反，則這兩個函數的復合函數為減函數。4

3、、圖象法函數單 調 性u=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=fg(x)增減減增用定義證明函數的單調性 例1： 判斷函數f(x)=-x3+1在(-,0)上是增加的還是減少 的，并證明你的結論；若x(0,+)時，f(x)的增減性又如何？【分析【分析】 判斷f(x)的單調性，即在x1x20的前提下，比較f(x1)、f(x2 )的大小，也可以進一步轉化為判定f(x1)的符號。 【解【解】 f(x)=-x3+1在(-,0)上是減少的,證明如下:在x1x20,則 f(xf(x1 1) ) f(xf(x2 2 )= (-x)= (-x1 13 3+1) +1) (-x(-x2 23 3+1) =x+1

4、) =x1 13 3 x x2 23 3=(x=(x1 1 x x2 2)(x)(x1 12 2 + x + x1 1 x x2 2 + x+ x2 22 2) ) 由x1x20,得x1 - x2 0,且x12 + x1 x2 + x220. 即 f(x2)-f(x1)0 f(x2) f(x1). f(x)=-x3+1在(-,0)上是減少的.同理:f(x)=-x3+1在(0,+)上是減少的.【點評【點評】 證明函數的單調性關鍵步驟就是對函數值增量的 變形,常用的變形有配方法、分子（母）有理化等。求函數的單調區間 例2： 求：y=（x2-6x+9）1/2 +（x2+6x+9）1/2 的單調區間

5、【解】原函數可化為f(x)= x-3 x+3 -2x（x3） = 6（3 x 3 ） 2x（ x 3 ） 根據一元一次函數的單調性知根據一元一次函數的單調性知, ,（,33為減區間，為減區間，33， ）為增區間。）為增區間。【點評【點評】求單調區間的常用方法：利用已知函數的單調性求單調區間的常用方法：利用已知函數的單調性判斷抽象函數的單調性判斷抽象函數的單調性 例例4： 已知函數y=f(x)在(0,+)上為增加的，f(x)0) ，試判斷f(x)=1/f(x)在(0,+)上的單調性證明。【分析【分析】 利用單調性定義證明，關鍵是判斷 f(x2)-f(x1)的符號。【解【解】 f(x)在(0,+)

6、上為減少的，下面給出證明： 任取x1,x2 (0,+) ，設x2x1,則 f(x2) f(x1)=1/f(x2) 1/f(x1)=f(x1)-f(x2)/f(x2)f(x1). y=f(x)在(0,+)上為增加的,且x2x1， f(x2)-f(x1)0, 即f(x2)f(x1). f(x1)-f(x2)0. 而而f(xf(x1 1)0,f(x)0,f(x2 2)0, f(x)0)0. f(x2)-f(x1)0, 即f(x2)f(x1).所以f(x)在(0,+)上是減少的.【點評【點評】 本題充分利用了已知條件和單調函數的定義本題充分利用了已知條件和單調函數的定義,挖掘挖掘x1與與x2的大小的大

7、小f(x1)與與f(x2)的大小的關系的大小的關系.方法一：觀察函數的圖象方法一：觀察函數的圖象。方法二：利用函數單調性的定義方法二：利用函數單調性的定義。判斷函數單調區間的常用方法：判斷函數單調區間的常用方法：小小 結結 本節課主要學習了函數單調性的概念以及本節課主要學習了函數單調性的概念以及判斷函數在某個區間上的單調性的方法以及判斷函數在某個區間上的單調性的方法以及函數單調性的一些簡單運用函數單調性的一些簡單運用.練練 習習 / / 作作 業業1、討論函數f(x)=ax/(x21)(-1x0時，f(x)1求證：f(x)在r上是增函數。下圖是某市一天下圖是某市一天24小時內的氣溫小時內的氣溫

8、圖圖.問題情境問題情境1.說出氣說出氣溫在哪些溫在哪些時間段內時間段內是升高的是升高的.2.怎樣用怎樣用數學語言數學語言刻畫刻畫“隨著時隨著時間的增大氣溫逐步提高間的增大氣溫逐步提高”這一特這一特征？征？f x oxy問題問題1：觀察下列函數的圖象，指出：觀察下列函數的圖象，指出圖象變化的趨勢圖象變化的趨勢. 在區間（在區間（，+ ）內，）內， 函數函數y2x+1圖象在該區間圖象在該區間內呈逐漸上升趨勢內呈逐漸上升趨勢問題問題2：觀察函數的圖像：（當x增加的時候，y的變化怎樣？）xy0oxy1x)x(f12xyoxy1x)x(f12xyoxy1x)x(f12xyoxy1x)x(f12xyoxy

9、1x)x(f12xyoxy1x)x(f12xyoxy1x)x(f12xyoxy1x)x(f12xyox)x(f11xy2xy問題問題3：觀察下列函數的圖象，指出：觀察下列函數的圖象，指出圖象變化的趨勢圖象變化的趨勢.在區間（在區間（，1 ）內，）內， 在區間（在區間（1 ，+ ）內，）內， 函數函數y（x1）21 圖象在該區間內呈逐圖象在該區間內呈逐 漸下降趨勢漸下降趨勢.函數函數y（x1）21 圖象在該區圖象在該區間內呈逐間內呈逐 漸上升趨勢漸上升趨勢.問題問題4：觀察下列函數的圖象，指出：觀察下列函數的圖象，指出圖象變化的趨勢圖象變化的趨勢.在區間（在區間（0 ，+ ）內，）內， 函數函數

10、y 圖象在圖象在該區間內呈逐該區間內呈逐 漸下降漸下降趨勢趨勢.x1函數函數y 圖象在圖象在該區間內呈逐該區間內呈逐 漸下降漸下降趨勢趨勢.x1函數的這種性質稱為函數的這種性質稱為函數的單調性函數的單調性.那么那么如何用數學語言來準確地描述如何用數學語言來準確地描述函數的單調性呢？函數的單調性呢？例如，在區間（例如，在區間（1， + ）上當）上當x的的值增大時，函數值增大時，函數y的值也增大的事實的值也增大的事實應當如何表述？應當如何表述？ 能不能由于能不能由于x=1時，時，y=3；x=2時，時，y=5，就說隨著，就說隨著x的增大，函數值的增大，函數值y也也隨著增大？隨著增大？xoyy=f(x

11、)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)說明說明:1.在單調區間上增函數的圖像是上升的，減函數的圖像是下降的；2.函數的單調性是在函數的定義域或其子區間上的性質；3.函數的單調性是對某個區間而言的，在某一點上不存在單調性；說明說明:4.函數單調性的定義中，實際上含有兩層意思：對于任意的x1,x2m，若x1x2 ，有f(x1)f(x2)，則稱f(x)在m上是增函數；若f(x)在m上是增函數，則當x1x2時，就有f(x1)f(x2)例例：下圖是定義在閉區間：下圖是定義在閉區間-5，5上的函數上的函數y=f(xy=f(x) )的圖象，根據圖象說出的圖象，根據圖象說

12、出y=f(xy=f(x) )的單調區間，的單調區間，以及在每一個單調區間上，以及在每一個單調區間上， y=f(xy=f(x) )是增函數還是增函數還是減函數。是減函數。解：函數解：函數y=f(xy=f(x) ) 的單調的單調區間有區間有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中其中y=f(xy=f(x) )在區間在區間-5，-2)， 1，3)上是上是減函數，在區間減函數，在區間-2，1)， 3，5上是上是增函數。增函數。例題分析例題分析1x例例2 作出下列函數的圖象，并寫出函數的作出下列函數的圖象，并寫出函數的 單調區間：單調區間：（1）y=x22 ； （2）y=1x問：能不能說，函數問

13、：能不能說，函數y=上是單調減函數？上是單調減函數？（1）函數）函數y=x22在（在（，0）上是單調增函數，上是單調增函數， 在（在（ 0 ，+）上是單調增函數）上是單調增函數減函數減函數.（2）函數）函數y=1x在（在（ 0 ，+）上也是單調減函數）上也是單調減函數.在（在（，0）上是單調減函數，）上是單調減函數，在（在（，0）（）（ 0 ，+）思考：思考：觀察下列函數的圖象，并指出它們是否為定義觀察下列函數的圖象，并指出它們是否為定義域上的增函數：域上的增函數： 能不能不通過觀察函數的圖象就能不能不通過觀察函數的圖象就能知道函數的單調性呢？能知道函數的單調性呢？ ( )21f xx 證明函

14、數在區間（，）上是增函數。例例3 3內任意是區間設),(x,x 21)x2(x) 1x2() 1x2()x( f)x( f2121210 xx ,xx21210)x(f)x(f21)x(f)x(f21即),(1x2)x(f在區間則函數證明：證明：。兩個實數，且 xx 21是增函數。 （條件）（條件）（論證結果）（論證結果）（結論）（結論）1. 在這個區間上任取兩個自變在這個區間上任取兩個自變 量量x1、x2, 且且x1 x2 .2.作差（作商）并將差作差（作商）并將差f(x1) f(x2) 化簡化簡變形變形成成最簡最簡形式形式.3.判斷符號判斷符號.4.得出結論得出結論.用函數單調性定義判定或

15、證明函用函數單調性定義判定或證明函數單調性的數單調性的一般步驟一般步驟：上的單調性區間4 4 2 2, ,在在x x1 16 6x xf f( (x x) ) 例例5 試判斷函數試判斷函數 x x x x1 16 6) )x x ( (x x ) )x x( (x x2 21 12 21 12 21 1, , 4 4x xx x2 22 21 1, , 0 0 x xx x2 21 1, , 1 16 6x xx x4 42 21 1, , 0 0) )f f( (x x) )f f( (x x2 21 1) ), ,f f( (x x ) )即即f f( (x x2 21 1上上單單調調遞遞減減。 4 4 2 2, , 在在x x1 16 6x xf f( (x x) ) 0 01 16 6- -x x即即x x2 21 1, , 4 4x xx x2 2 設設2 21 1證明：證明：) )f f( (x x) )f f( (x x2 21 1) )x x1 16 6( (x x) )x x1 16 6( (x x2 22 21 11 1