1、人教版高中數學必修精品教學資料數學必修 5(人教a版)一、等差數列一、等差數列1定義：定義：an1and(nn*)或或 anan1d(nn*,n2)2通項公式：通項公式：ana1(n1)d(nn*)3如果數列如果數列an的通項公式是的通項公式是 ananb(a、b 是與是與 n 無關的無關的常數常數),那么數列那么數列an一定是等差數列一定是等差數列4等差數列前等差數列前 n 項和公式：項和公式：snn a1an 2,snna1n n1 2d.5如果數列如果數列an的通項公式是的通項公式是 snan2bn(a、b 是與是與 n 無關無關的常數的常數),那么數列那么數列an一定是等差數列一定是等

2、差數列6.a、b、c 成等差數列成等差數列anb 為為 a、c 的等差中項的等差中項2bac.7在等差數列在等差數列an中中,anam(nm)d(nn*)8在等差數列在等差數列an中中,由由 mnpqamanapaq,若若 mn2paman2ap.9.在等差數列在等差數列an中中,sk,s2ksk,s3ks2k構成等差數列構成等差數列2(s2ksk)sk( s3ks2k)10已知已知an 、bn為等差數列為等差數列,則則anc,can,anbn,ankbn(其中其中 c 為常數為常數,kn*)仍是等差數列仍是等差數列11已知已知an 為等差數列為等差數列,若若 k1,k2,k3,kn為等差數列

3、為等差數列,則則ak1,ak2,ak3,akn仍是等差數列仍是等差數列12.若三個數成等差數列若三個數成等差數列,則設這三個數為則設這三個數為 ad,a,ad,可簡化計可簡化計算算13證明等差數列的兩種方法證明等差數列的兩種方法(1)定義：定義：an1and(nn*)(2)等差中項等差中項 2anan1an1(nn*,n2)二、等比數列二、等比數列1定義：定義：an1anq(nn*)或或anan1q(nn*,n2)2通項公式：通項公式：ana1qn1(nn*)3等比數列前等比數列前 n 項和：項和：sna1anq1qa1 1qn 1q(q1)；snna1(q1)4a,b,c 成等比數列成等比數

4、列b 為為 a、c 的等比中項的等比中項b2ac.5在等比數列在等比數列an中中,anamqnm(nn*)6在等比數列在等比數列an中中,由由 mnpqamanapaq,若若 mn2pamana2p.7.在等比數列在等比數列an中中,sk,s2ksk,s3ks2k構成等比數列構成等比數列( s2ksk)2sk(s3ks2k)(sk0)8已知已知an 、bn為等比數列為等比數列,則則can,anbn,anbn(其中其中 c 為不為不為為0 的常數的常數,kn*)仍是等比數列仍是等比數列9 已知已知an 為等比數列為等比數列,若若 k1,k2,k3,kn為等差數列為等差數列 ,則則ak1,ak2,

5、ak3,akn仍是等比數列仍是等比數列10若三個數成等比數列若三個數成等比數列,則設這三個數為則設這三個數為aq,a,aq,可簡化計算可簡化計算11證明等比數列的兩種方法證明等比數列的兩種方法(1)定義：定義：an1anq 或或anan1q(nn*,n2)(2)等比中項：等比中項：a2nan1an1(nn*,n2)三、通項公式的求法三、通項公式的求法數列的通項公式是數列的重要內容之一數列的通項公式是數列的重要內容之一,它把數列各項的性質集它把數列各項的性質集于一身常用的求通項的方法有觀察法、公式法、累加法、累乘法于一身常用的求通項的方法有觀察法、公式法、累加法、累乘法、前前 n 項和作差法、輔

6、助數列法項和作差法、輔助數列法累加法累加法： 數列的基本形式數列的基本形式為為an1anf(n)(nn*)的解析式的解析式,而而f(1)f(2)f(n)的和可求出的和可求出累乘法：數列的基本形式為累乘法：數列的基本形式為an1anf(n)(nn*)的解析關系的解析關系,而而f(1)f(2)f(n)的積可求出的積可求出前前 n 項和作差法：利用項和作差法：利用 ans1 n1 ，snsn1 n2 ,能合則合能合則合待定系數法待定系數法：數列有形如數列有形如 an1kanb(k1)的關系的關系,可用待定系可用待定系數法求得數法求得(ant)為等比數列為等比數列,再求得再求得 an.四、特殊數列的前

7、四、特殊數列的前 n 項和項和利用等差利用等差、 等比數列求和公式是最基本最重要的方法等比數列求和公式是最基本最重要的方法 數列的求數列的求和除記住一些公式外和除記住一些公式外,還應注重對通項公式的分析與整理還應注重對通項公式的分析與整理,根據其特征根據其特征求和求和,常用的方法技巧有分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂常用的方法技巧有分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等項相消法等分組求和法分組求和法：有一類數列有一類數列,既不是等差數列既不是等差數列,也不是等比數列也不是等比數列,但如但如果將這類數列適當拆開果將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列可分為幾個等差、

8、等比或常見的數列,那么就那么就可以分別求和可以分別求和,再將其合并即可再將其合并即可倒序相加法倒序相加法： 這是在推導等差數列的這是在推導等差數列的前前n項和公式時所用的方法項和公式時所用的方法,就是將一個數列倒過來排列就是將一個數列倒過來排列(反序反序),再把它與原數列相加再把它與原數列相加,就可以得就可以得到到n 個個 a1an.錯位相減法錯位相減法： 這是在推導等比數列的這是在推導等比數列的前前n項和公式時所用的方法項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數列這種方法主要用于求數列anbn的前的前 n 項和項和,其中其中an、bn分別是等分別是等差和等比數列差和等比數列裂項相消法裂項相消

9、法： 這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用 裂裂項法的實質是將數列中的每項項法的實質是將數列中的每項(通項通項)分解分解,然后重新組合然后重新組合,使之能消去使之能消去一些項一些項,最終達到求和的目的最終達到求和的目的題型題型 1求數列的通項公式求數列的通項公式(一一)觀察法觀察法就是觀察數列的特征就是觀察數列的特征,橫向看各項之間的關系結構橫向看各項之間的關系結構,縱向看各項與縱向看各項與項數項數 n 的內在聯系的內在聯系,從而歸納出數列的通項公式從而歸納出數列的通項公式數列數列 114,329,5316,7425,的通項公式為的通項公式為()aa

10、n(2n1)n n1 2ban(2n1)n n1 2can(2n1)n n1 2dan4n1 n1 2解析：解析：114114,329329,53165316,an(2n1)n n1 2.答案：答案：b(二二)公式法公式法等差數列與等比數列是兩種常見且重要的數列等差數列與等比數列是兩種常見且重要的數列,所謂公式法就是所謂公式法就是先分析后項與前項的差或比是否符合等差、等比數列的定義先分析后項與前項的差或比是否符合等差、等比數列的定義,然后用然后用等差、等比數列的通項公式表示它等差、等比數列的通項公式表示它已知數列已知數列an為無窮數列為無窮數列,若若an1an12an(n2且且nn*),且且

11、a24,a68,求通項求通項 an.解析：解析：an1an12an,an1,an,an1成等差數列成等差數列又又n2 且且 nn*,數列數列an為等差數列為等差數列,設首項為設首項為 a1,公差為公差為 d.由由a24，a68，可得可得a13，d1，通項通項 an3(n1)1n2.(三三)利用利用 an與與 sn的關系的關系前前 n 項和關系式有兩種形式：一種是項和關系式有兩種形式：一種是 sn與與 n 的關系式的關系式,記為記為 snf(n),它可由公它可由公式式ans1 n1 snsn1 n2 直接求出通直接求出通項項an,但要注但要注意意n1 與與 n2 兩種情況能否統一；另一種是兩種情

12、況能否統一；另一種是 sn與與 an的關系式的關系式,記記為為f(an,sn)0,求它的通項公式求它的通項公式 an.已知數列已知數列an的前的前 n 項和為項和為 sn,且且 an5sn3,求數列求數列an的通項公式的通項公式解析：解析：當當 n1 時時,a15a13,a134,當當 n2 時時,an5sn3,an15sn13,anan15(snsn1)即即 anan15an,anan114,an是首項是首項 a134,公比公比 q14的等比數列的等比數列ana1qn134n-114(nn*)(四四)累加法、累乘法累加法、累乘法有些數列有些數列,雖然不是等差數列或等比數列雖然不是等差數列或等

13、比數列,但是它的后項與前項的但是它的后項與前項的差或商具有一定的規律性差或商具有一定的規律性,這時這時,可考慮利用累加或累乘法可考慮利用累加或累乘法,結合等差結合等差、等比數列的知識解決等比數列的知識解決已知已知 a11,an1ann2n,求求 an.解析：解析：當當 n2 時時,ana1a2a1a3a2anan11314253n1n1n n1 2.而而 a11 也適合上式也適合上式故故an的通項公式的通項公式 an12n(n1)(五五)構造法構造法有些數列直觀上不符合以上各種形式有些數列直觀上不符合以上各種形式,這時這時,可對其結構進行適當可對其結構進行適當變形變形,以利于使用以上各類方法以

14、利于使用以上各類方法設數列設數列an是首項為是首項為 1 的正項數列的正項數列,且且 an1anan1an0(nn*),求求an的通項的通項解析：解析：an1anan1an0.1an11an1.又又1a11,1an是首項為是首項為 1,公差為公差為 1 的等差數列的等差數列,故故1ann,an1n.(六六)形如：已知形如：已知 a1,an1panq(p、q 為常數為常數)形式均可用構造等形式均可用構造等比數列法比數列法,即即 an1xp(anx),anx為等比數列為等比數列,或或 an2an1p(an1an),an1an為等比數列為等比數列若數列若數列an滿足滿足 a11,an112an1,求

15、求 an.分析分析：根據遞推公式求出前幾項根據遞推公式求出前幾項,再觀察規律再觀察規律,猜想通項公式猜想通項公式,有時有時比較困難可變換遞推公式比較困難可變換遞推公式,利用構造等差或等比數列的技巧利用構造等差或等比數列的技巧,從而求從而求通項公式通項公式解析：解析：解法一：解法一：an112an1,an212an11,兩式相減得：兩式相減得：an2an112(an1an),令令 bnan1an(n1,2,3,),則則 b1a2a132112,bn112bn,數列數列bn是以是以12為首項為首項,12為公比的等比數列為公比的等比數列ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1b1b2bn1

16、1n 1121121122n-112.解法二：解法二：設設 an1a12(ana),則則 an112an12aa,根據根據 an112an1 可得：可得：12aa1,即即 a2,an1212(an2)令令 bnan2,則則 b1a121,bn112bn,數列數列bn是以是以1 為首項為首項,12為公比的等比數列為公比的等比數列bnb1qn1(1)12n1,an2bn2n-112.題型題型 2數列求和的方法數列求和的方法數列中求前數列中求前 n 項和是數列運算的重要內容項和是數列運算的重要內容,高考題中涉及此部分高考題中涉及此部分與通項的綜合問題與通項的綜合問題,對于等差數列與等比數列可依據公式

17、求其和對于等差數列與等比數列可依據公式求其和,對于對于某些具有特殊結構的非等差某些具有特殊結構的非等差、 等比數列可轉化為利用等差或等比數列等比數列可轉化為利用等差或等比數列前前 n 項和公式能求和的形式項和公式能求和的形式,常用方法有公式法、分組法、裂項法、常用方法有公式法、分組法、裂項法、錯位相減法等要對通項進行深入研究錯位相減法等要對通項進行深入研究,找出規律找出規律,確定恰當的解題方確定恰當的解題方法法等差數列等差數列an中中,a13,公差公差 d2,sn為前為前 n 項和項和,求求1s11s21sn.解析：解析：等差數列等差數列an的首項的首項 a13,公差公差 d2,前前 n 項和

18、項和 snna1n n1 2d3nn n1 22n22n(nn*),1sn1n22n1n n2 121n1n2 ,1s11s21sn12113121413151n11n11n1n2342n32 n1 n2 .設數列設數列an滿足滿足 a13a232a33n1ann3(nn*)(1)求數列求數列an的通項；的通項；(2)設設 bnnan,求數列求數列bn的前的前 n 項和項和 sn.解析：解析：(1)a13a232a33n1ann3,當當 n2 時時,a13a232a33n2an1n13,由由得得 3n1an13,an13n,在在中中,令令 n1,得得 a113,數列數列an的通項公式的通項公式

19、 an13n.(2)bnnann3n,sn3232333n3n,3sn32233334n3n1.由由得得 2snn3n1(332333n)n3n13 13n 13,sn 2n1 3n1434.題型題型 3數列的應用問題數列的應用問題(2013廣東卷廣東卷)設數列設數列an的前的前 n 項和為項和為 sn.已知已知 a11,2snnan113n2n23,nn*.(1)求求 a2的值；的值；(2)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；(3)證明：對一切正整數證明：對一切正整數 n,有有1a11a21an74.(1)解析：解析：依題意依題意,2s1a213123,又又 s1a11,所以所以 a24；(2)解析：解析：當當 n2 時時,2snnan113n3n223n,2sn1(n1)an13(n1)3(n1)223(n1),兩式相減得兩式