1、2021 年 3 月高三第一次大聯考（新課標卷）理科數學 試卷（滿分： 150 分考試時間： 120 分鐘）一、挑選題（本大題共12 小題，每道題5 分，共 60 分在每道題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1如 z1i2 ，就 z 的虛部是ia 3b3c 3id3i2已知集合a x | x21 , b x | log2 x1 ，就a ab x | 0x2b ab x | x2c ab x | x2d ab x |1x23已知等差數列 an 的前 n 項和為sn ， a22, s621 ，就 a5a 3b 4c 5d 6 4劉徽是我國魏晉時期宏大的數學家，他在九章算術中對勾股定理

2、的證明如下列圖. “勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也合成弦方之冪，開方除之，即弦也”已.知圖中網格紙上小正方形的邊長為1，其中 “正方形 abcd 為朱方，正方形befg 為青方 ”，就在五邊形agfid 內隨機取一個點，此點取自朱方的概率為16993a bcd 374937115依據國家統計局發布的數據，2021 年 11 月全國 cpi（居民消費價格指數）同比上漲4.5%， cpi 上漲的主要因素是豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響cpi 上漲 3.27 個百分點 .下圖是 2021 年 11 月 cpi一籃子商品所占權重，依據該圖，以下結論錯誤選項理科

3、數學第 1頁（共 6頁）a cpi 一籃子商品中所占權重最大的是居住b cpi 一籃子商品中吃穿住宅占權重超過50% c豬肉在cpi 一籃子商品中所占權重為2.5%d豬肉與其他畜肉在cpi 一籃子商品中所占權重約為0.18%6函數f xcos xx 在 2 ,2 的圖象大致為cos xxabcd7 2021 年 10 月 1 日，中華人民共和國成立70 周年，舉國同慶.將 2,0,1,9,10 這 5 個數字依據任意次序排成一行，拼成一個6 位數，就產生的不同的6 位數的個數為a 96b 84c 120d 3608已知直線3xym0 過雙曲線c： xy1a0,b0 的左焦點f，且與雙曲線c 在

4、其次象限交22a2b2理科數學第 2頁（共 6頁）于點 a，如 | fa | | fo | （o 為坐標原點） ，就雙曲線c 的離心率為a 2b 3 +1c5d519如圖，已知正方體abcd1- a1 b1 c1 d 的棱長為 2，點 p 段cb1 上，且 b1 p2 pc ，平面經過點a, p, c1 ，就正方體abcda1 b1 c1 d1 被平面截得的截面面積為53a 36b 26c 5d4x2y210 已 知f1 ，f2 是 橢 圓c： 221 ab ab0 的 左 、 右 焦 點 ， 過f2 的 直 線 交 橢 圓 于p,q 兩 點 . 如| qf2 |,| pf2 |,| pf1

5、|,| qf1 | 依次構成等差數列，且| pq |pf1，就橢圓 c 的離心率為23ab34c155d1051511為了討論國民收入在國民之間的安排，防止貧富過分懸殊，美國統計學家勞倫茨提出了聞名的勞倫茨曲線，如下列圖.勞倫茨曲線為直線ol 時，表示收入完全公平.勞倫茨曲線為折線okl 時，表示收入完全不公平 .記區域 a 為不公平區域，a 表示其面積，s 為 okl 的面積，將ginias稱為基尼系數 .對于以下說法： gini 越小，就國民安排越公正；設勞倫茨曲線對應的函數為yf x，就對x0,1 ，均有f x1 ； x理科數學第 3頁（共 6頁）如某國家某年的勞倫茨曲線近似為2yx x

6、0,1 ，就gini1 ； 4如某國家某年的勞倫茨曲線近似為yx3 x0,1 ，就gini1 .2其中正確選項：a12 定 義 ： nf bxg x表 示 不 等cd式f xg x 的 解 集 中 的 整 數 解 之 和 . 如f x| log2 x | ，g xax122 ，nf xgx6 ，就實數 a 的取值范疇是a ,1b log 2 32,0c 2log 2 6,0d log 2 32 ,04,二、填空題（本大題共4 小題，每道題5 分，共 20 分）13已知單位向量a, b的夾角為2 就 | a2b | = .14如sin31 ,0, ，就 63cos 12 .15已知數列 an 中

7、，sn 為其前 n 項和，a11 ， an an 12n ，就a6 ，s200 .16一個長、寬、高分別為1、2、2 的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，就容器體積的最小值為 .三、解答題（本大題共6 小題，共70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12 分）已知 abc的內角a, b, c 的對邊分別為a, b, c ，且滿意2cos b2ab . c（ 1）求角 c 的大小；（ 2）如 abc 的面積為 332，求 abc 的周長的最小值.18（本小題滿分12 分）如圖，在四棱錐pabcd 中， pab 是等邊三角形，bcab ， bccd23 ，abad2 .

8、（ 1）如 pb（ 2）如 pc3be ，求證：ae 平面 pcd ；4 ，求二面角apcb 的正弦值19（本小題滿分12 分）理科數學第 4頁（共 6頁）已知拋物線2c : y2 px p0 的焦點為 f ，直線 l 交 c 于a, b 兩點（異于坐標原點o） .（ 1）如直線 l 過點 f , oa ob12 ，求 c 的方程；（ 2）當oa ob0 時，判定直線l 是否過定點，如過定點，求出定點坐標；如不過定點，說明理由.20（本小題滿分12 分）手工藝是一種生活態度和對傳統的堅持，在我國有許多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，仍大量遠銷海外

9、.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請 3 位行家進行質量把關，質量把關程序如下： （i ）如一件手工藝品 3 位行家都認為質量過關，就該手工藝品質量為 a 級；（ ii ）如僅有 1 位行家認為質量不過關，再由另外 2 位行家進行其次次質量把關，如其次次質量把關這 2 位行家都認為質量過關，就該手工藝品質量為 b 級，如其次次質量把關這2 位行家中有1 位或 2 位認為質量不過關，就該手工藝品質量為c 級；（iii ）如有 2 位或 3 位行家認為質量不過關， 就該手工藝品質量為d級.已知每一次質量

10、把關中一件手工藝品被1 位行家認為質量不過關的概率為13，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（ 1）求一件手工藝品質量為b 級的概率；（ 2）如一件手工藝品質量為a,b,c 級均可外銷，且利潤分別為900 元， 600 元， 300 元，質量為d 級不能外銷，利潤記為100 元.求 10 件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；記 1 件手工藝品的利潤為x 元，求 x 的分布列與期望.x21（本小題滿分12 分）已知函數f xeln x . a（ 1）如 f x 在 1,2 上是減函數，求實數a 的最大值；（ 2）如 0a1 ，求證：f x2ln a . a請考生在第22、 23 兩題

11、中任選一題作答留意：只能做所選定的題目假如多做，就按所做的第一個題目計分22（本小題滿分10 分）選修4-4：坐標系與參數方程在平面直角坐標系xoy 中，曲線 c 的參數方程為x1cos y| sin|為參數 . 在以坐標原點為極點，x 軸的理科數學第 5頁（共 6頁）正半軸為極軸的極坐標系中，直線l 的極坐標方程為sin3.6（ 1）求曲線c 的一般方程及直線l 的直角坐標方程；（ 2）求曲線c 上的點到直線l 的距離的最大值與最小值.23（本小題滿分10 分）選修4-5：不等式選講已知 f x| x | x2 | .（ 1）求 f x 的最小值；（ 2）求不等式f x| 4x | 的解集

12、. x理科數學第 6頁（共 6頁）2021 年 3 月高三第一次大聯考（新課標卷）理科數學全解全析123456789101112bdccdabbbdad1 b【解析】由于z1i2i13i ，所以 z 的虛部是3 .應選 b2 d【 解析】因為a x | x21 x |1x1,b x | log 2 x1 x | 0x2, 所以ab x | 0x1 , ab x |1x2 ,應選 da1d2a13 c【 解 析 】 方 法 一 ： 設 等 差 數 列 an a515115 .應選 c的 公 差 為 d ， 就6a165d2， 解 得121d， 所 以1方法二：由于s6a1a6 3aa ，所以32

13、a 21a562525，就5.應選 c4 c【解析】由題圖得，ab3,bgci4 ，依據題意得di32425 .五邊形agfid 的面積為s五邊形 agfid2513413437 ，正方形abcd 的面積為9，因此，所求概率為p9.應選 c22375 d【解析】cpi 一籃子商品中，居住宅占權重為23.0% ，最大，選項a 正確；吃穿住宅占權重為19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50% ，選項 b 正確；豬肉在cpi 一籃子商品中所占權重為2.5% ，選項 c 正確；豬肉與其他畜肉在cpi 一籃子商品中所占權重為4.6%，選項 d 錯誤 .應選 d6a 【解析】由于f 01

14、，所以排除 c、d當 x 從負方向趨近于0 時，0cos xxcos xx ，可得 0f x1 .應選 a 7 b 【解析】 2,0,1,9,10 依據任意次序排成一行，得全部不以0 開頭的排列數共4a 496 個，其中含有24a4個 10 的排列數共212 個，所以產生的不同的6 位數的個數為961284 .應選 b8b 【解析】直線3xym0 的傾斜角為，易得 | fa | | fo |3c 設雙曲線c 的右焦點為e，可得 afe中，fae90 ，就 | ae |3c ，所以雙曲線c 的離心率為e2c3cc31.應選 b9 b 【解析】延長c1 p 與 bc 交于點 e，就點 e 為 bc

15、 中點，連接ae，取a1 d1 中點 f ，連接 af ， c1f ，就四邊形aec1f 就是正方體abcda1b1c1d1 被平面截得的截面 ,四邊形aec1 f 是邊長為5 的菱形，連接 ac1 , ef ，所以ac1ef ，且ac123, ef22 ，所以四邊形aec1 f 的面積為 26 ,應選 b理科數學全解全析第 1頁（共 9頁）10 d 【解析】如下列圖，設| qf2 |,| pf2 |,| pf1 |,| qf1 | 依次構成等差數列 an ，其公差為d .依據橢圓定義得a1a2a3a44a ，又 a1a2a1a3 ，就a1d a12d a13d 4a，解得a1a1d a12d

16、d2 a ， a12 a, a24 a, a36 a, a48 a .所以 | qf1 |8 a ， | pf1 |6 a ， | pf2 |4 a ， | pq |6 a .555555 4 a 26 a 252 c 256 a2 6 a 25 8 a 2在 pf1 f2 和 pf1q 中，由余弦定理得cosf1pf255555，整24 a6 a26 a6 a懂得得 ec a10515.應選 d5555a11 a 【解析】對于，依據基尼系數公式gini，可得基尼系數越小，不公平區域的面積a 越小，國民s安排越公正，所以正確.對于，依據勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得x0,1 ，均有f

17、xx ， 可 得f x1 ， 所 以 錯 誤 . 對 于 ， 因 為 a12 xx dx 1 x21 31x |01 ， 所 以x0236011ginia61 ，所以錯誤 .對于， 由于 a13 xx dx 1 x21x4 |11 ，所以ginia41 ，s1320244s122所以正確 .應選 a 12 d 【解析】由題意得，nf xg x6 表示不等式| log 2 x |a x122 的解集中整數解之和為6.當 a0時 ， 數 形 結 合 （ 如 圖 ） 得| log2 x |a x122 的 解 集 中 的 整 數 解 有 無 數 多 個 ，理科數學全解全析第 2頁（共 9頁）| lo

18、g 2 x |ax212 解集中的整數解之和肯定大于6.當 a0 時， g x 2 ，數形結合（如圖） ，由f x 2 解得 11x4 在內有 3 個整數解，為1，2，3，滿意nf xg x6 ，所以 a0 符合題意 .,444當 a0 時，作出函數f x| log 2 x | 和g xax122 的圖象，如下列圖.如 nf xg x6 ，即| log 2 x |a x122 的整數解只有1， 2， 3.只需滿意f 3g 3，即log 2 34 a2，解得log 2 32a0 ，所以log 2 32a0 .f 4g 429a244綜上，當nf xg x6 時，實數 a 的取值范疇是log 2

19、32,04.應選 d.13 7【 解 析 】 因 為 單 位 向 量a, b 的 夾 角 為 2 ， 所 以 a b3|a | | b | cos 2 132， 所 以| a2b | =a 24a b4b2141 4 =7 .214 42【 解 析 】 因 為 ， 所 以 . 因 為0, ， 所 以661241246理科數學全解全析第 3頁（共 9頁） 7 ,，又666sin1063，所以7 ,66，所以cos11 222.coscoscoscossinsin63312464646222 21 42 .232362158，321003（寫為1001013 也得分） 【解析】由a11，a a2n

20、 得，a22 .當 n2 時，aa2n 1 ，2所以 an 1 2 ，所以 a n n 1n 1 nan 1n 的奇數項是以1 為首項，以2 為公比的等比數列；其偶數項是以2 為首項，以112100 212100 22 為公比的等比數列.就 a6228 ， s2001212210021013321003 .16 27 【解析】一個長、寬、高分別為1、2、2 的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動,就圓柱形容4器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為12 +22 +22 =3 ,所以容器體積的最小值為3 227 .17（本小題滿分12 分）3=24【解析】（ 1

21、）由于2cos b2ab c，所以 b2c cos b2a ，（ 1 分）2222由余弦定理得b2c acb 2ac2a ，化簡得 abcab ，2222可得 ab 2abc1 ，解得22cos c1 ，（ 4 分）2又由于 c0, ，所以 c.（ 6 分）（ 2）由于 s31sin33 3，所以 ab6 ，（ 8 分）abcabcab242就 ab2ab26 （當且僅當 ab6 時，取等號）.（ 9 分）由（ 1）得 c222abab2ababab6 （當且僅當ab6 時，取等號） ，解得 c6 .（ 11 分）所以 abc36 （當且僅當abc6 時，取等號） ，所以 abc的周長的最小值

22、為3 6 .（ 12 分）18（本小題滿分12 分）【解析】（ 1）如圖，作ef pc ，交 bc 于 f ，連接 af .由于 pb3be ，所以 e 是 pb 的三等分點，可得bf23 .3由于 abad2 ， bccd23 ， acac ，所以 abc adc ，由于 bcab ，所以abc90，（ 1 分）理科數學全解全析第 4頁（共 9頁）由于 tanacbab23，所以acbacd30 ，所以bcd60，（ 2 分）由于 tanafbbc23ab2bf23333 ，所以afb60 ，所以 af cd，（ 3 分）由于 af平面 pcd ， cd平面 pcd ，所以 af 平面 pc

23、d .（ 4 分）又 ef pc ， ef平面 pcd ， pc平面 pcd ，所以 ef 平面 pcd .（ 5 分）由于 afeff ， af 、 ef平面 aef ，所以平面aef 平面 pcd ，所以 ae 平面 pcd .（ 6 分）（ 2）由于pab 是等邊三角形，ab2 ，所以 pb2 .又由于 pc4 ， bc23 ，所以pc2pb2bc 2 ，所以 bcpb .又 bcab ， ab, pb平面 pab ， abpbb ，所以 bc平面 pab .由于 bc平面 abcd ，所以平面pab平面 abcd .在平面 pab 內作 bz平面 abcd .（7 分）以 b 點為坐標

24、原點，分別以bc, ba, bz 所在直線為x, y , z 軸，建立如下列圖的空間直角坐標系bxyz ，就 c 23,0,0， a0, 2,0 ，p 0,1,3 ，所以 bc23,0,0， bp0,1,3 ， ac23,2,0 ， ap0,1,3.（ 8 分）設 m x1 , y1 , z1 為平面 bpc 的法向量，就m bc0 ，即 mbp023x10，y13z10令 z11 ，可得 m0,3,1 .（ 9 分）設 nx, y , z 為平面 apc 的法向量，就n ac0 ，即23x22 y20 ，222nap0y23z20令 z21 ，可得 n1,3,1 .（ 10 分）理科數學全解

25、全析第 5頁（共 9頁）所以 cos m, n315，就 sinm , n15 225 ，25555所以二面角apcb 的正弦值為255.（ 12 分）19（本小題滿分12 分）【解析】設a x1 , y1 , bx2 , y2 .22py1y2p（ 1）由題意知f ,0 ，a, y1 ,b, y2 .設直線 l 的方程為xtytr ，（ 1 分）22 p2p2y22 px由p 得 y2xty2 ptyp20 ，就4p2t 24 p20 ，2由根與系數的關系可得yy2pt , y yp2 ，（ 3 分）121 2y 2 y 232所以 oa ob12y yp（分）4 p21 2.44由 oa

26、ob12 ，得3 p 2412 ，解得 p4 .（ 5 分）所以拋物線c 的方程為y28x .（ 6 分）（ 2）設直線 l 的方程為xnym nr , m0 ，（ 7 分）2由y2 px得 y22 pny2pm0 ，由根與系數的關系可得y1 y22 pm ，（ 9 分）xnymy 2 y 2122 pm 2所以 oa obx1 x2y1 y2y1 y224 p2 pm24 p0 ，解得 m2 p .（11 分）所以直線 l 的方程為xny2p nr ，所以 oa ob0 時，直線 l 過定點 2 p,0.（ 12 分）20（本小題滿分12 分）1【解析】（ 1）一件手工藝品質量為b 級的概率

27、為c3111211 216 .（ 3 分）333812（ 2）由題意可得一件手工藝品質量為d 級的概率為c1 2131 37 ，3 1c333327設 10 件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，就b10, 727 ， （5 分）1ck 7 k1 20 9 kk7k20 10 kpk1102727707 k就 pk c10 ,2727pk k7k20 10 k20k20 .c10 2727理科數學全解全析第 6頁（共 9頁）由 707k1 得 k50，所以當 k1時，p21 ，即p 2p1 ，20k2027p1由 707k1 得 k50，所以當 k2 時， pk1pk ，20k所以當20k2

28、 時， p27k 最大，即10 件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2 件.（ 8 分）由上可得一件手工藝品質量為a 級的概率為11 38 ，一件手工藝品質量為b 級的概率為16 ，327811一件手工藝品質量為c 級的概率為 c111 2c1111 220 ，132 3333381一件手工藝品質量為d級的概率為7 ，2790060030010081620727818127所以 x 的分布列為就期望為x p6001630020100713100 .（12 分）81812727e x 90082721（本小題滿分12 分）【解析】（ 1） fx1x x，（1 分）在 1,2 上，由于e0ax

29、f x 是減函數，所以x1f xeax0 恒成立，1x1即xe 恒成立，只需aax xe max.（ 3 分）令 t xxex ， x1,2 ，就t xexxex ，由于 x1,2 ，所以t x0 .所以 t xxex 在 1,2 上是增函數，所以xex 2e2 ，max所以 12e2 ，解得 0a a1.（ 4 分）22e所以實數 a 的最大值為122e.（5 分）（ 2）xf x eln x x a0 ，x1f xe. axx令 g xe1 x ax0 ，就g x e1，x2ax依據題意知g x0 ，所以g x 在 0, 上是增函數 .（ 7 分）1又由于1a，g e10 a當 x 從正方向趨近于0 時，1ax趨近于， ex 趨近于 1，所以x1g