1、學習必備歡迎下載第 6 章平行四邊形優題與易錯題答案與解析1. 在. abcd 中， ab 與 cd 的關系為：ab=cd 且 ab cd2 考點 ：三角形中位線定理；專題 ：規律型；分析： 十等分點那么三角形中就有9 條線段，每條線段分別長，讓它們相加即可解答：解：依據題意：圖（ 1），有1 條等分線，等分線的總長=；圖（2），有 2條等分線，等分線的總長=a；圖（ 3），有圖（ 4），有3 條等分線，等分線的總長9 條等分線，等分線的總長=a；a=a故答案為a3 考點 ：三角形中位線定理；分析： 作 cf 中點 g，連接 dg ，由于 d 、g 是 bc、cf 中點，所以dg 是 cbf

2、的中位線，在 adg 中利用三角形中位線定理可求 af=fg ，同理在 cbf 中，也有 cg=fg，那么有af=cf解答： 解：作 cf 的中點 g，連接 dg ，就 fg=gc又 bd=dc dg bfae=ed af=fg=故答案為4 考點 ：三角形中位線定理；分析： 依據三角形中位線定理易得所求的三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，那么所求的三角形的周長就等于原三角形周長的一半解答： 解：點 d 、e、f 分別是 ab 、bc、ac 的中點， de， ef， df 分別是原三角形三邊的一半， def 與 abc 的周長之比 =1 ：2故答案為 1： 25一個任意三角形的三邊長分別是6

3、cm，8 cm，12cm，它的三條中位線把它分成三個平行四邊形，就它們中周長最小是14cm 考點 ：三角形中位線定理；分析： 周長最小的應當是中位線與最短邊圍成的平行四邊形解答： 解：如圖： ab=6cm ， ac=8cm ， bc=12cm ， d ，f，e 分別為三角形各邊中點三條中位線把它分成三個平行四邊形，就它們中周長最小的應當是中位線與最短邊圍成的平行四邊形即.adef ad=ef=3cm ， de=af=4cm ，其周長為2×3+2×4=14（cm）故答案為 146.考點 ：三角形中位線定理；分析：易得 abd ， acd 為 abc 面積的一半，同理可得 be

4、c 的面積等于 abc 面積的一半，那么陰影部分的面積等于 bec的面積的一半解答： 解： d 為 bc 中點，依據同底等高的三角形面積相等，學習必備歡迎下載s abd=s acd =s abc =×4=2，同理 sbde=scde =s bce=×2=1，s bce=2 ，f 為 ec 中點，s bef=s bce=×2=1故答案為 17 考點 ：三角形中位線定理；專題 ：整體思想；分析： 依據題意，易得mn=de ，從而證得 mno edo ，再進一步求 ode 的高，進一步求出陰影部分的面積解答： 解：連接 mn ，作 af bc 于 fab=ac ， bf

5、=cf=bc=×8=4 ，在 rt abf 中， af=，m 、n 分別是 ab ， ac 的中點，mn 是中位線，即平分三角形的高且mn=8 ÷2=4，nm=de ， mno edo ，o 也是 me ， nd 的中點，陰影三角形的高是1.5÷2=0.75， s 陰影 =4×0.75÷2=1.58 考點 ：三角形中位線定理；翻折變換（折疊問題）；專題 ：操作型；分析： 由翻折可得 pde= cde ，由中位線定理得de ab ，所以 cde= dap ，進一步可得 apd= cde 解答： 解： ped 是ced 翻折變換來的， ped ce

6、d ， cde= edp=48 °，de 是 abc 的中位線，de ab ， apd= cde=48 °，點評： 此題考查三角形中位線定理的位置關系，并運用了三角形的翻折變換學問，解答此題的關鍵是要明白圖形翻折變換后與原圖形全等9 考點 ：三角形中位線定理；翻折變換（折疊問題）；分析： 依據折疊圖形的對稱性，易得 edf eaf ，運用中位線定理可知 aef 的周長等于 abc 周長的一半，進而def 的周長可求解解答： 解： edf 是eaf 折疊以后形成的圖形， edf eaf ， aef= def ，ad 是 bc 邊上的高， efcb，又 aef= b ， bde

7、= def， b= bde ， be=de ， 同理， df=cf ，ef 為abc 的中位線， def 的周長為 eaf 的周長，即ae+ef+af=（ab+bc+ac ） =（12+10+9） =15.5學習必備歡迎下載10 考點 ：三角形中位線定理；專題 ：規律型；分析： 依據三角形的中位線定理建立周長之間的關系，按規律求解解答： 解：依據三角形中位線定理可得其次個三角形的各邊長都等于最大三角形各邊的一半，那么其次個三角形的周長=abc 的周長 × =1× =，第三個三角形的周長為= abc 的周長 × × =（） 2，第 10 個三角形的周長=（

8、） 911考點 ：三角形中位線定理；等邊三角形的性質；分析： 利用平移性質可得圖形abcdefg 外圍的周長等于等邊三角形 abc 的周長加上ae ，gf 長，利用三角形中位線長定理可得其余未知線段的長解答： 解： abc 、 ade 及 efg 都是等邊三角形，d 和 g 分別為 ac 和 ae 的中點，ab=ac=bc=4de=cd=ac=×4=2，ef=gf=ag=de=×2=1圖形 abcdefg 外圍的周長是ab+cd+bc+de+ef+gf+ag=4+2+4+2+1+1+1=1512 考點 ：三角形中位線定理；等邊三角形的性質；分析： 依據等邊三角形的中位線所圍

9、成的三角形仍是等邊三角形可求得中位線的長為2，就等邊三角形的邊長為4解答： 解：等邊三角形的中位線所圍成的三角形的周長為6，中位線的長為2，等邊三角形的邊長為413 考點 ：三角形中位線定理；分析： 三角形的高和梯形的高相等，那么面積之比等于的三角形的底邊和梯形上下底邊之和的比解答： 解：在 abc 中， de 為中位線， bc=2de ，設高為 hs ade=de.h=de.h； s 梯形 bced =（de+bc ）.h=de.h，s ade： s 梯形 bced =，14 考點 ：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；分析： 先依據三角形中位線定理求出ac 的長，再利用直角三角形斜邊

10、上的中線等于斜邊的一半解答解答： 解： d、f 是 bc 、ab 的中點，ac=2fd=2 ×8=16cm ，e 是 ac 的中點， ah bc 于點 h ，eh=ac=8cm 15 考點 ：三角形中位線定理；等腰三角形的性質；分析： 由 d 、e 是 ac 、ab 中點，可知de 是 abc 的中位線，那么de ab ，即 1= 3，又ad=de ，又可得 2= 3，那么可知 是正確的， 有 d 是 ac 中點， ad=de ，可證 cd=de ，再利用 de ab ，可得出 b= c在 rt aec 中， 2 不肯定等于 c，所以 不正確解答： 解：由題意可證明 ade 、 de

11、c 、 abc 都是等腰三角形， aec 是直角三角形，就結論正確選項 應選 d學習必備歡迎下載16.解：由題意可得，dc=5cm，平行四邊形abcd ， bae= dea ，又 ae為dab 的角平分線，dae= dea ， ade 是等腰三角形， ad=de ， 當 de=2cm時，該平行四邊形的周長是10+4=14cm；當de=3cm時，該平行四邊形的周長是10+6=16cm17 考點 ：平行四邊形的性質；分析： 如圖：依據題意可以作出兩種不同的圖形，所以答案有兩種情形由于在.abcd 中， ad=2 ，ae 平分 dab 交 cd 于點e，bf 平分 abc 交 cd 于點 f，所以

12、de=ad=cf=bc=2 ；就求得 .abcd 的周長 解答： 解：四邊形 abcd 是平行四邊形，ab cd ，bc=ad=2 ，ab=cd ， eab= aed ， abf= bfc，ae 平分 dab ， bf 平分 abc ， dae= bae ， cbf= abf ， aed= dae ， bfc= cbf，ad=de ， bc=fc ， de=cf=ad=2 ，由圖 得： cd=de+cf ef=2+2 1=3，.abcd 的周長為 10；由圖 得： cd=de+cf+ef=2+2+1=5 ，.abcd 的周長為 14.abcd 的周長為 10 或 14 故答案為 10 或 14

13、18 考點 ：平行四邊形的性質；分析： 利用平行四邊形的性質，依據三角形的面積和平行四邊形的面積逐個進行判定，即可求解解答： 解： a 、由于高相等，三個底是平行四邊形的底，依據三角形和平行四邊形的面積可知，陰影部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，正確；b、由于兩陰影部分的底與平行四邊形的底相等，高之和正好等于平行四邊形的高，所以陰影部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，正確；c、依據平行四邊形的對稱性，可知小陰影部分的面積等于小空白部分的面積，所以陰影部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，正確；d、無法判定陰影部分面積是否等于平行四邊形面積一半，錯誤應選 d 點評： 此題考查了平行四邊形的

14、性質，并利用性質結合三角形的面積公式進行判定，找出選項19考點 ：平行四邊形的性質；專題 ：動點型；分析： 依據平行四邊形的性質，得 abd bcd ， bep bhp ， pgd pfd，所以得其面積分別相等，從而得面積相等的平行四邊形有3 對解答： 解：面積始終相等的平行四邊形有：平行四邊形aepg 和平行四邊形phcf；平行四邊形abhg 和平行四邊形befc ；平行四邊形 aefd 和平行四邊形ghcd 共 3 對應選 c20 考點 ：平行四邊形的性質；學習必備歡迎下載分析： 可先求平行四邊形的總面積，由于ae=ef=fc ，所以三個小三角形的面積相等，進而可求解解答： 解：如圖，過點

15、d 作 dg ab 于點 g，ad=6 ， dab=30 °， dg=3 ，平行四邊形abcd 的面積為 s=ab .dg=8 ×3=24， abc 的面積為 s=×24=12 bef 的面積 s=×12=421考點 ：平行四邊形的性質；專題 ：規律型；分析： 從圖中這三個圖形中找出規律，可以先找出這三個圖形中平行四邊形的個數，分析三個數字之間的關系從而求出第n 個圖中平行四邊形的個數解答： 解：從圖中我們發覺（1）中有 6 個平行四邊形， （2）中有 18 個平行四邊形，（ 3）中有 36 個平行四邊形，第n 個中有 3n（ n+1）個平行四邊形應選

16、b 22 考點 ：平行四邊形的性質；專題 ：應用題；分析： 由于在平行四邊形中，已給出條件mn ab dc， efda cb ，因此， mn 、ef 把一個平行四邊形分割成四個小平行四邊形，所以紅、紫四邊形的高相等，由此可證明s1s4=s2 s3 解答： 解：設紅、紫四邊形的高相等為h1 ，黃、白四邊形的高相等，高為h2， 就 s1 =de .h1， s2=af .h2， s3 =ec .h1，s4=fb .h2，由于 de=af ，ec=fb ，所以 a 不對；s1 +s4=de .h1+fb .h2=af .h1+fb .h2，s2 +s3=af .h2+ec .h1=af .h2 +fb

17、.h1 ，所以 b 不對；s1 s4=de .h1.fb.h2=af .h1.fb.h2，s2 s3 =af.h2.ec.h1=af .h2.fb.h1 ，所以 s1s4=s2s3，應選 c23考點 ：平行四邊形的性質；分析： 四邊形具有不穩固性、外角和等于360°、內角和等于360°，不具有的是對角線相互平分；對角線相互平分的四邊形是平行四邊形解答： 解： a 、一般四邊形都具有不穩固性，不僅僅是平行四邊形具有，錯誤；b、對角線相互平分，是平行四邊形的一種判定方法，一般四邊形不具有，正確；c、任意四邊形的外角和等于360°，不僅僅是平行四邊形具有，錯誤；d、任意

18、四邊形的內角和等于360°，不僅僅是平行四邊形具有，錯誤應選 b 24考點 ：平行四邊形的性質；分析： 依據平行四邊形的性質可知 abc 的面積是平行四邊形面積的一半，再進一步確定 ber 和 abc 的面積關系即可解答： 解： s. abcd=12 s abc=s.abcd=6 ，s abc=×ac×高=×3ef×高=6 ，得到：×ef×高=2， bef 的面積 =×ef×高=2 bef 的面積為 2學習必備歡迎下載25 考點 ：垂線；多邊形內角與外角；專題 ：分類爭論；分析： 分 2 在 1 的內部和

19、外部兩種情形爭論， 當 2 在 1 內部時，利用四邊形的內角和定理求解即可； 當 2 在 1 的外部時，依據等角的余角相等的性質2=1解答： 解：如圖，由于1 與 2 的位置不明確，所以分2 在 1 的內部和外部兩種情形爭論：（1）如圖一，當 2 在 1 內部時，2=360° 1 90°90°=360°48° 90°90°=132°；（2）如圖二，當 2 在 1 的外部時， 3=4， 1 與 2 的兩邊相互垂直， 2=1=48 °因此 2 的度數為48°或 132°點評： 此題主要考查

20、垂直得到90°角，此題留意分兩種情形爭論，同學往往簡單漏掉2 在 1 外部的情形而導致出錯26考點 ：多邊形；分析： 一個 n 邊形剪去一個角后，剩下的外形可能是n 邊形或（ n+1）邊形或（ n 1）邊形解答： 解：當剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，就這張紙片原先的外形可能是四邊形或三角形或五邊形，不行能是六邊形應選 a 點評： 剪去一個角的方法可能有三種：經過兩個相鄰頂點，就少了一條邊；經過一個頂點和一邊，邊數不變；經過兩條鄰邊，邊數增加一條27.考點 ：平面鑲嵌（密鋪） ；分析： 分別求出各個正多邊形的每個內角的度數，結合鑲嵌的條件即可求出答案解答： 解：正三角形的每個內

21、角是60°，正方形的每個內角是90°， 3×60°+2×90°=360°，正三角形可以；正五邊形每個內角是180° 360°÷5=108°，正方形的每個內角是90°， 108m+90n=360°明顯 n 取任何正整數時，m 不能得正整數，故不能鋪滿；正方形的每個內角是90°，正六邊形的每個內角是120 度 90m+120n=360 °， m=4 43n，明顯 n 取任何正整數時，m 不能得正整數，故不能鋪滿；正方形的每個內角是90°，正

22、八邊形的每個內角為：180°360°÷8=135 °， 90°+2×135°=360°，正八邊形可以故答案為正三角形或正八邊形28 考點 ：等邊三角形的判定與性質；多邊形內角與外角；專題 ：運算題；分析： 先延長其中三邊構造等邊三角形，利用等邊三角形的性質解題即可解答： 解：如下列圖，六個內角都是120°，三角形的每個內角都是60°，即 cde ， bfg ， ahi ， abc 都為等邊三角形，ce=2，bf=3 ， bc=2+4+3=9 ， ah=ab gh bg=9 1 3=5，di=ac

23、 ai cd=9 5 2=2，hi=ah=5 ，該六邊形的周長是：1+3+4+2+2+5=17 故答案為 1729 考點 ：三角形中位線定理；分析： 此三角形的三條中位線等于原三角形三邊的一半，表示出三條中位線，讓其相加得9，即可求得最長的中位線，也就求出了最長的邊長解答： 解：設三角形三邊分別為2x， 3x， 4x三角形的三條中位線圍成的三角形的周長是+=9 解得： x=2原三角形的最長邊是4×2=8故答案為 8學習必備歡迎下載30 考點 ：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；分析： 易知 de 是 abc 的中位線，那么ab=2de ，而 cf 是abc 斜邊上的中線，應等

24、于ab 的一半解答： 解： abc 是直角三角形，cf 是斜邊的中線，cf=ab ，又 de 是 abc 的中位線，ab=2de=2 ×3=6cm ，cf=×6=3cm 31 考點 ：三角形中位線定理；分析： 先依據平行線的判定定理判定ab de，再依據bd=cd 判定 de 是 abc 的中位線，進而依據三角形的中位線定懂得答即可解答： 解： b= cde ， ab de，d、e 兩點分別在bc 、ac 邊上， bd=cd ， de 是 abc 的中位線，ab=2de ，de=2 ，ab=2de=2 ×2=432（2021.太原）假如三角形的兩邊分別為3 和 5

25、，那么連接這個三角形三邊中點所得的三角形的周長可能是（）a 4 b 4.5c5 d5.5考點 ：三角形中位線定理；三角形三邊關系；分析： 此題依據三角形三邊關系，可求第三邊大于2 小于 8，原三角形的周長大于10 小于 16，連接中點的三角形周長是原三角形周長的一半，那么新三角形的周長應大于5 而小于 8，看哪個符合就可以了解答： 解：設三角形的三邊分別是a、b、c，令 a=3，b=5，2 c 8， 10三角形的周長16， 5中點三角形周長8 應選 d 33考點 ：三角形中位線定理；勾股定理；分析： 由中位線定理易得bc 長，那么利用勾股定理即可求得ab 長解答： 解： abc 中， b=90

26、 °， d 、e 分別是邊 ab 、ac 的中點，bc=2de=2 ×4=8，在 rt abc 中， ac=10 ，bc=8 ，由勾股定理得ab=6 故答案為 634 考點 ：三角形中位線定理；專題 ：操作型；分析： 應先依據所給條件判定出abe 的外形，得到bae 的度數，利用所給線段即可求得ae 長解答： 解： fgad fba= b ad在直角三角形ab e 中， f 是 ae 的中點， af=b f fab = fb a fab = b ad= bae=30 °在直角三角形abe 中，依據勾股定理，得ae=2 故答案為 2點評： 主要是發覺一個30

27、6;的直角三角形abe ，此題也是折疊等邊三角形的一種方法：延長eb交 ad 于 m ，就三角形 aem 即是等邊三角形學習必備歡迎下載35 考點 ：平行四邊形的判定與性質；三角形的面積；勾股定理；分析：連接 ac 交 bd 于 g，ae 交 df 于 h 依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形aedb 和 afdc 易得 ac=fd ，eh=bg 運算該六邊形的面積可以分成3 部分運算，即平行四邊形afdc 的面積 + 三角形 abc 的面積 +三角形 efd 的面積解答： 解：連接 ac 交 bd 于 g， ae 交 df 于 hab 平行且等于ed ， af 平行且等于

28、cd ，四邊形 aedb 是平行四邊形，四邊形afdc 是平行四邊形，ae=bd ， ac=fd ，eh=bg 平行四邊形 afdc 的面積 +三角形 abc 的面積 +三角形 efd 的面積 =fd .bd=24 ×18=432 36考點 ：平行四邊形的性質；分析： 設平行四邊形的面積為1，就 dam 的面積 =s dab =s. abcd ，而由于=，所以 emb 上的高線與 dab 上的高線比為=，所以 s emb =× sdab =，于是 s dec=4s meb=，由此可以求出陰影面積，從而求出面積比為解答： 解：設平行四邊形的面積為1，四邊形 abcd 是平行四

29、邊形，s dab=s.abcd ，又 m 是.abcd 的 ab 的中點，就sdam =s dab =， 而=， emb 上的高線與 dab 上的高線比為 =， s emb=× s dab =， s dec=4smeb =，s 陰影面積 =1=， 就面積比為故填空答案： 另解：四邊形面積為ah三角形 amd 、dmb 、cbm 面積均為， 就四邊形 mbcd 面積為，由此即可求解37 考點 ：全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質；分析： 依據三角形全等的判定，由已知條件可證 abe cdf；繼而證得 ag=gh=hc ；又依據三角形的中位線定理可證abg dch ，得 eg=bg 而 s abe =s age 不正確故正確的結論有3 個解答： 解：在 .abcd 中， ab=cd ， bae= dcf ，bc=da ；e、f