1、精選優質文檔-傾情為你奉上第2講不等式與線性規劃考情解讀(1)在高考中主要考查利用不等式的性質進行兩數的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規劃主要考查直接求最優解和已知最優解求參數的值或取值范圍問題(2)多與集合、函數等知識交匯命題，以填空題的形式呈現，屬中檔題1四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集(2)簡單分式不等式的解法變形>0(<0)f(x)g(x)>

2、0(<0)；變形0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)簡單指數不等式的解法當a>1時，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)；當0<a<1時，af(x)>ag(x)f(x)<g(x)(4)簡單對數不等式的解法當a>1時，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；當0<a<1時，logaf(x)>logag(x)f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.2五個重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a

3、、bR)(3)(a>0，b>0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a>0，b>0)3二元一次不等式(組)和簡單的線性規劃(1)線性規劃問題的有關概念：線性約束條件、線性目標函數、可行域、最優解等(2)解不含實際背景的線性規劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據線性目標函數的幾何意義確定最優解；求出目標函數的最大值或者最小值4兩個常用結論(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的條件是熱點一一元二次不等式的解法例1(1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解

4、集為_(2)已知函數f(x)(x2)(axb)為偶函數，且在(0，)單調遞增，則f(2x)>0的解集為_思維啟迪(1)利用換元思想，設10xt，先解f(t)>0.(2)利用f(x)是偶函數求b，再解f(2x)>0.答案(1)x|x<lg 2(2)x|x<0或x>4解析(1)由已知條件0<10x<，解得x<lglg 2.(2)由題意可知f(x)f(x)即(x2)(axb)(x2)(axb)，化簡得(2ab)x0恒成立，故2ab0，即b2a，則f(x)a(x2)(x2)又函數在(0，)單調遞增，所以a>0.f(2x)>0即ax(x4

5、)>0，解得x<0或x>4.思維升華二次函數、二次不等式是高中數學的基礎知識，也是高考的熱點，“三個二次”的相互轉化體現了轉化與化歸的數學思想方法(1)不等式0的解集為_(2)已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx1>0.若pq為真命題，則實數m的取值范圍是_答案(1)(，1(2)(2,0)解析(1)原不等式等價于(x1)(2x1)<0或x10，即<x<1或x1，所以不等式的解集為(，1(2)pq為真命題，等價于p，q均為真命題命題p為真時，m<0；命題q為真時，m24<0，解得2<m<2.故pq為真時，2<m<

6、;0.熱點二基本不等式的應用例2(1)(2014·湖北)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F.如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_輛/時；如果限定車型，l5，則最大車流量比中的最大車流量增加_輛/時(2)(2013·山東改編)設正實數x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為_思維啟迪(1)把所給l值代入，分子分母同除以v，構造基本不等式的形式求最值；(2)關鍵是尋找取得最大值時的條件答

7、案(1)1 900100(2)1解析(1)當l6.05時，F1 900.當且僅當v11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時當l5時，F2 000.當且僅當v10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時，比中的最大車流量增加100 輛/時(2)由已知得zx23xy4y2，(*)則1，當且僅當x2y時取等號，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211，所以當且僅當y1時，的最大值為1.思維升華在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條

8、件才能應用，否則會出現錯誤(1)若點A(m，n)在第一象限，且在直線1上，則mn的最大值為_(2)已知關于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實數a的最小值為_答案(1)3(2)解析(1)因為點A(m，n)在第一象限，且在直線1上，所以m，n>0，且1.所以·()2(當且僅當，即m，n2時，取等號)所以·，即mn3，所以mn的最大值為3.(2)2x2(xa)2a2·2a42a，由題意可知42a7，得a，即實數a的最小值為.熱點三簡單的線性規劃問題例3(2013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分

9、別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為_元思維啟迪通過設變量將實際問題轉化為線性規劃問題答案36 800解析設租A型車x輛，B型車y輛時，租金為z元，則z1 600x2 400y，且x，y滿足畫出可行域如圖，直線yx過點A(5,12)時縱截距最小，所以zmin5×1 6002 400×1236 800，故租金最少為36 800元思維升華(1)線性規劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區域面積；三是確定目標函數中的字母系數的取值范圍(2)解決線性規劃問題首先要找到可行域，再注

10、意目標函數所表示的幾何意義，利用數形結合找到目標函數的最優解(3)對于應用問題，要準確地設出變量，確定可行域和目標函數(1)已知實數x，y滿足約束條件，則w的最小值是_(2)(2013·北京)設關于x，y的不等式組表示的平面區域內存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是_答案(1)1(2)解析(1)畫出可行域，如圖所示w表示可行域內的點(x，y)與定點P(0，1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為1.(2)當m0時，若平面區域存在，則平面區域內的點在第二象限，平面區域內不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m<0.如圖所示的陰影部分為不等式

11、組表示的平面區域要使可行域內包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即m<m1，解得m<.1幾類不等式的解法一元二次不等式解集的端點值是相應一元二次方程的根，也是相應的二次函數圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數的零點；分式不等式可轉化為整式不等式(組)來解；以函數為背景的不等式可利用函數的單調性進行轉化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉化為“和式”或將“和式”轉化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(式)的大小或證明不等式或求函數的最值或解決不等式恒成立問題解決問題的關鍵是弄清分式代數式、函數解析式、不等式的結構特點，選擇好利用基本不等式的

12、切入點，并創造基本不等式的應用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結構使其具備基本不等式的應用條件利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可3線性規劃問題的基本步驟(1)定域畫出不等式(組)所表示的平面區域，注意平面區域的邊界與不等式中的不等號的對應；(2)平移畫出目標函數等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與平面區域有公共點，根據目標函數的幾何意義確定最優解，注意要熟練把握最常見的幾類目標函數的幾何意義；(3)求值利用直線方程構成的方程組求解最優解的坐標，代入目標函數，求出最值.真題感悟1(2014·山東改編)已知實數x，

13、y滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關系式恒成立的是_>； ln(x21)>ln(y21)；sin x>sin y; x3>y3.答案解析因為0<a<1，ax<ay，所以x>y.采用賦值法判斷，中，當x1，y0時，<1，不成立中，當x0，y1時，ln 1<ln 2，不成立中，當x0，y時，sin xsin y0，不成立中，因為函數yx3在R上是增函數，故恒成立2(2014·浙江)當實數x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數a的取值范圍是_答案1，解析畫可行域如圖所示，設目標函數zaxy，即yaxz，要使1

14、z4恒成立，則a>0，數形結合知，滿足即可，解得1a.所以a的取值范圍是1a.押題精練1為了迎接2015年3月8日的到來，某商場舉行了促銷活動，經測算某產品的銷售量P萬件(生產量與銷售量相等)與促銷費用x萬元滿足P3，已知生產該產品還需投入成本(102P)萬元(不含促銷費用)，產品的銷售價格定為(4)萬元/萬件，則促銷費用投入_萬元時，廠家的利潤最大？答案1解析設該產品的利潤為y萬元，由題意知，該產品售價為2×()萬元，所以y2×()×P102Px16x(x>0)，所以y17(x1)17213(當且僅當x1，即x1時取等號)，所以促銷費用投入1萬元時，

15、廠家的利潤最大2若點P(x，y)滿足線性約束條件點A(3，)，O為坐標原點，則·的最大值為_答案6解析由題意，知(3，)，(x，y)，則·3xy.令z3xy，如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當直線yxz經過點B時，z取得最大值由解得即B(1，)，故z的最大值為3×1×6.即·的最大值為6.3如果關于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分別為(a，b)，(，)，那么稱這兩個不等式為“對偶不等式”，如果不等式x24xcos 22<0與不等式2x24xsin 21<0為“對偶不等式”，且(，)，則_.答案解析由題意可

16、知ab2，ab4cos 2，2sin 2，即2sin 2，2cos 22sin 2，tan 2.(，)，2(，2)，2.(推薦時間：50分鐘)一、填空題1函數f(x)則不等式x(x1)f(x1)1的解集是_答案x|x1解析當x<1時，原不等式可化為x(x1)·(x)1，解得x21恒成立，所以x<1.當x1時，原不等式可化為x(x1)·x1，解得1x1，所以1x1.綜上，原不等式的解集為x|x12下列不等式一定成立的是_lg>lg x(x>0)；sin x2(xk，kZ)；x212|x|(xR)；>1(xR)答案解析應用基本不等式：x，y>

17、0，(當且僅當xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應用條件及取等號的條件當x>0時，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故不正確；運用基本不等式時需保證“一正、二定、三相等”，而當xk，kZ時，sin x的正負不定，故不正確；由基本不等式可知，正確；當x0時，有1，故不正確3(2013·重慶改編)關于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a_.答案解析由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，因a>0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，

18、由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(2014·重慶改編)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是_答案74解析由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，當且僅當時取等號5已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為_答案8解析約束條件所表示的區域如圖，由圖可知，當目標函數過A(1,4)時取得最大值，故zx2y1的最大值為12×418.6已知f(x)是R上的減函數，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1ln x)|<1的解集是_答

19、案(，e2)解析|f(1ln x)|<1，1<f(1ln x)<1，f(3)<f(1ln x)<f(0)，又f(x)在R上為減函數，0<1ln x<3，1<ln x<2，<x<e2.7若x，y滿足條件且z2x3y的最大值是5，則實數a的值為_答案1解析畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，則當直線z2x3y過點A(a，a)時，z2x3y取得最大值5，所以52a3a，解得a1.8若點A(1,1)在直線2mxny20上，其中mn>0，則的最小值為_答案解析點A(1,1)在直線2mxny20上，2mn2，又mn>0，m&g

20、t;0且n>0.()(21)(32)，當且僅當，即nm時取等號，的最小值為.二、解答題9設集合A為函數yln(x22x8)的定義域，集合B為函數yx的值域，集合C為不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范圍解(1)由x22x8>0，得4<x<2，即A(4,2)yx(x1)1，當x1>0，即x>1時，y211，此時x0，符合要求；當x1<0，即x<1時，y213，此時x2，符合要求所以B(，31，)，所以AB(4，31,2)(2)(ax)(x4)0有兩根x4或x.由(1)知RA(，42，)當a>0時，Cx|4x，不可能CRA；當a<0時，Cx|x4或x，若CRA，則2，a2，a<0.故a的取值范圍為，0)10已知函數f(