1、洛必達法則洛必達法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型未定式型未定式或或稱為稱為那末極限那末極限大大都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與兩個函數兩個函數時時或或如果當如果當 xFxfxFxfxaxxax例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 第1頁/共26頁.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及本

2、身可以除外本身可以除外點點點的某領域內點的某領域內在在都趨于零都趨于零及及函數函數時時當當設設定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. .,該法則仍然成立該法則仍然成立時時以及以及時時當當 xaxx第2頁/共26頁證證定義輔助函數, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內任取一點內任取一點在在 ,為端點的區間上為端點的區間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xFxf

3、則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時時當當,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 第3頁/共26頁例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(第4頁/共26頁例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221l

4、imxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 axbbxaxsinsinlim0 第5頁/共26頁例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 看書：P.106:例1，P.108:例3第6頁/共26頁xeexxxcos12li

5、m60 例例00 xeexxxsinlim0 原式原式解解00 xeexxxcoslim0 . 2 30sinlim7xxxx 例例00203cos1limxxx 原式原式解解220321limxxx .61 第7頁/共26頁注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好但與其它求極限方法結合使用，效果更好. .例例8 8解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式22031seclimxxx .31 220tanlim31xxx .31tan,61sin033xxxxxxx 時，時，

6、當當第8頁/共26頁.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點點點的某領域內點的某領域內在在都趨于零都趨于零及及函數函數時時當當設設.)()(lim)()(lim)()(lim)3(的的充充分分條條件件，但但非非必必要要存存在在且且僅僅是是定定理理中中xFxfxFxfxFxfaxaxax 定理定理第9頁/共26頁xxxxsinlim 例例1sin1limxxx . 1 .1cos1lim

7、不存在不存在但極限但極限xx 看書：P.108:例5，例6.第10頁/共26頁型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例9 9解解.lim2xxex 求求)0( 2limxexx 原式原式xexx2lim 2limxxe . 關鍵關鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟:,10 .0100 或或第11頁/共26頁例例1010解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟:xxxxxxsincoscoss

8、inlim0 看書：P.109:例7，例8第12頁/共26頁練習：P.140:12(3)(6)(8)(10)20211lim)3(12xxxx xxxx2121121lim0 xxxxxx 11411lim0 xxxx411lim0 )11(42lim0 xxxxx .41 xxxcotlnlim)6(120 xxx20csc1lim xxx20sinlim . 0 第13頁/共26頁)1ln(lnlim)8(121xxx xxxln1)1ln(lim1 xxxx21ln111lim xxxx 1lnlim21xxx 1lnlim211ln2lim1 xxx. 0 )0( ,lnlim)10(

9、120 xxx xxxlnlim0原式原式101lim xxx xx0lim. 0 第14頁/共26頁步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數取對數.0 例例1111解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 第15頁/共26頁例例1 12 2解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1 13 3解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln

10、1ln1xxxex 取對數得取對數得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式看書：P.110:例9，例10第16頁/共26頁練習：P.141:12(12)(14)xxxex110)1(lim)12(12 xxxxe1)1ln(10lim xxxx1)1ln(1lim0 而而20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 )1(2lim0 xxxx 21 .21 e原式原式.21)1ln(, 02xxxx 當當第17頁/共26頁 xxx22)(tanlim)14(12xxxetanln)2(2lim

11、xxxtanln)2(lim2 而而 xxx21tanlnlim2222)2(2seccotlim xxxxxxxxcossin)2(lim2122 xxxsin)2(4lim212 . 0 . 10 e原式原式作業：P.140:12(1)(2)(4)(5)(7)(9)(11)(13)第18頁/共26頁三、小結洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取對數取對數令令gfy 第19頁/共26頁思考題思考題設設)()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的

12、極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明.第20頁/共26頁思考題解答思考題解答不一定例,sin)(xxxf xxg )(顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在第21頁/共26頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 洛必達法則除了可用于求洛必達法則除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”兩種”兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決類型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求極限的問題的求極限的問題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.練練 習習 題題第22頁/共26頁二、二、 用洛必達法則求下列極限：用洛必達法則求下列極限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .第23頁/共26頁三、三、 討論函數討論函數 0,0,