1、作業1,3作業中作業中1,3兩題主要問題符號寫法不規兩題主要問題符號寫法不規范。范。希臘字母寫法如下，箭頭中箭尾為發筆希臘字母寫法如下，箭頭中箭尾為發筆處，按箭頭指向書寫：處，按箭頭指向書寫：作業2以及相同題型例題矩形截面的柱體受到頂部的集中力 和力矩M的作用，不計體力，試用應力函數求解其應力分量。F2332DyCxyBxyAyMF245qqhyxo b/2 b/2 ) 1,(bh書中課后題坐標軸與此處不同。課后題中由于坐標不同導致將第3步邊界條件代入第2步方程時，除了A，B，C，D四個未知量以外，還有y沒有消去，因此無法計算結果。 解：應用上述應力函數求解： (2) 求應力分量，在無體力下，

2、。)3(, 0,662CyBDyCxyAxyyx（1 1）相容條件：將應力函數代入相容）相容條件：將應力函數代入相容方程方程.（寫出具體形式），寫出每項（寫出具體形式），寫出每項結果結果.，得出結論，得出結論.(3)考察邊界條件，在主要邊界主要邊界),2/(by2/ 2, 0, 3 , .(a)4yxyybqBCbq 滿足；. ,)3( d)(b/2b/2-202/2/bFAFDyAyFyxhhx得，在小邊界小邊界（ x= 0）與第二步結論一致。左邊界為y的正面，在這個面上的切應力方向與x軸正反向相反，因此等于-q。正應力的方向就是應力主矢量的正方向。上表面為x的負面，分力的反向與x軸正方向一

3、致，因此此處符號為-/20/22b/233-b/2()d,2 (2),;2hxxhyyMyMADyMDb 得/20/2b/232-b/2()d 1 ()(b)4hxyxhyFFByCyFBCbb ，得。正應力乘以正的力臂，得出力矩反向就是應力主矩的正方向。上表面正應力向上，力臂正方向向左。因此，應力主矩正方向順時針。再由(a),(b)式解出).3(21 ),(22bFqBbFqbC代入，得應力解答，。2232)(6)3(21,0,12)(12ybFqbbFqybMxybFqbbFxyyx例題1 設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計， 圖3-5，試用應力函數 求解應力分量

4、。hl 332DxyCyByAxy圖3-5xxyMsFNFydyyxl h/2 h/2o) 1,(hl解： 本題是較典型的例題，已經給出了應力函數 ，可按下列步驟求解。1. 將 代入相容方程， 顯然是滿足的。2. 將 代入式(2-24)，求出應力分量。)3( ,0,6622DyADxyCyBxyyx.04 3. 考察邊界條件： 主要邊界 上應精確滿足式(2-15),2/hy/22/2()0, 3()0, 0 . (a) 4yyhxyyhADh滿足；得 在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負x面，圖3-5中表示了負x面上的 的正方

5、向，由此得：xyx 和/20/2( )d, ;2hNxxNhFyFBh 得/203/22( )d, ;hxxhMy yMCh得/230/21( )d, . (b)4hxYxsshyFAhDhF得由(a),(b) 解出332 , . 2ssFFADhh 最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應力公式，得33221212 , 0,3(14).2NsxysxyFFMyxyhhhFyhh 例題2 擋水墻的密度為 ，厚度為b,圖示,水的密度為 ，試求應力分量。12yox2b2bg1g2解：用半逆解法半逆解法求解。1. 假設應力分量

6、的函數形式。 因為在 y=-b/2邊界上， y=b/2 邊界上， ，所以可假設在區域內 沿x 向 也是一次式變化，即 ; 0ygxy2y。)(yxfy2. 按應力函數的形式，由 推測 的形式，2221312(), ()( ) , 2()( )( ).6yxfyxx fyfyxxfyxfyfyy所以3. 由相容方程求應力函數。代入 得, 04 .0dd2dddddd622424414443yfxyfyfxyfx要使上式在任意的x處都成立，必須 43244254321142432224d0 , ;ddd20, ;dd106d0, .dffAyByCyDyffABfyyGyHyIyyyf fEyFy

7、y得得得 代入 ，即得應力函數的解答，其中已略去了與應力無關的一次式。 4. 由應力函數求解應力分量。將 代入式(2-24) ,注意 ， 體力求得應力分量為0 ,1yxfgf232321 (3 (2262)(62),xxBxfxAyyxAyByGyHEyFgx2322 (),yyyfx AyByCyDx222432(32)22 (32).23xyxA yB yCxyAByyG yH yI 5. 考察邊界條件：主要邊界主要邊界 上,有2/by/22( ), yy bgx/2( )0,yyb/2( )0, xyyb322(); (a)842bbbx ABCDgx32()0;(b)842bbbxAB

8、CD224323 ( )243 ()0.32124xbABb CbbbABGHb I得得得由上式得到23 0 (c,d)4bABbC43230 (e,f )32124bbbABGHbI求解各系數，由(a)+ (b )(a)-(b)321 , 822bbACg 23C0 4bA。221 , 42bBDg 321 , 822bbACg (c)-(d )(c)+ (d )得得得得由此得22323, .2AgCgbb 又有. 04332 )()(0 )()(24IbGbAfeHfe得，得代入A,得223 . (g)164bbIgG 在次要邊界次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：/20/

9、2/20/22/202/2( )d0, 0 ;( )d0, 0 ;( )d0, . (h)804bxxbbxxbbxyxbyFyyEbbyIgG得得得由式(g),(h)解出 . 101 ,8022gbGgbI代入應力分量的表達式得最后的應力解答：332221333232322233234 , 521 (2);3233 (3)()41080 xyxygggx yxyxygxbbbyygxbbyyybgxgybbbby。例題3已知, )();()( )(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya試問它們能否作為平面問題的應力函數？解： 作為應力函數，必須首先滿足相容方

10、程，.04 將 代入，(a) 其中A= 0，才可能成為應力函數；(b)必須滿足 3(A+E)+C=0,才可能成為應力函數。例題4圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩 的作用，試用應力函數求解圖示問題的應力及位移，設在A點的位移和轉角均為零。2FbM ,23BxAxbbAyxhOFFb/2) 1,(bh解： 應用應力函數求解：(1) 校核 相容方程 ，滿足.04 (2) 求應力分量 ，在無體力時，得. 0 ,26xyxyBAx(3) 考察主要邊界條件主要邊界條件， , 0, 0 ,xxyxb均已滿足考察次要邊界條件次要邊界條件，在y=0上，0()0, xyy0()d,byybxF 0

11、()d,2byybFbxx 滿足。;2FBb 28FAb 。得得 上述應力已滿足了 和全部邊界條件，因而是上述問題的解。04 代入，得應力的解答，.0 ),231 (2xyxybxbF(4) 求應變分量，。0 ),231 (2),231 (2xyyxbxEbFbxEbF(5) 求位移分量，3(1), 22xuFxxxE bb由對積 分 得3 (1), 22yvFxyyEbb 由對積 分 得213()();24FxuxfyEbb23()( ).22FxyvyfxEbb 將u,v代入幾何方程的第三式，。0 xyyuxv兩邊分離變量，并全都等于 常數，即212d( )d( )3,dd4fxfyFyx

12、yEb 從上式分別積分，求出20(),fxxv21023( )8FfyyyuEb。代入u,v, 得2202033(),2483().22FxFuxyyuEbbEbFxyvyxvEbb 再由剛體約束條件，0,()0,xyhuy0,( )0,xyhu0,( )0,xyhv234FhE b；2038FhE bu；0.2FvhE b得得得22233()()2483()(1)22FxFuxhyEbbEbFxvhyEbb，。代入u,v,得到位移分量的解答在頂點x=y=0，0( ).2xyFhvEb例題5 圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應力函數, 333533FxyExDxyyCxB

13、xyyAx求解應力分量。yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh 解：應用上述應力函數求解：(1) 將 代入相容方程，。得B35ABA , 012072 , 04由此，。FxyExDxyyCxBxyyBx33353335(2) 代入應力公式，在無體力下，得。，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx(3) 考察主要邊界條件主要邊界條件),2/(hy得 , 0 , 2/xyhy。0)43165()4153(2422FDhBhBhCx對于任意的x值，上式均滿足，由此得,041532BhC。04316524FDhB

14、h(a)(b),0)6345( ,0 ,2/3EChBhxhyy.)6345(, 2/3lxqEChBhxlxqhyy(c)(d)由(3)+(4)得。lqE12由(3)-(4)得。lhqCBh23452由(5)-(1)得(e)。lhqClhqB4 ,53(4) 考察小邊界小邊界上的邊界條件(x=0),由,6d)(02/2/qlyxhhxy得53.1646hhqlBDFh 由式(2)和(6)解出).480(),1013(3hllhqFlhhlqD（f）另兩個積分的邊界條件，.0d)(,0d)(02/2/02/2/yyyxhhxxhhx顯然是滿足的。 于是將各系數代入應力表達式，得最后的應力解答。

15、222222323222232(2),10(134),2(14)(3).420 xyxyxy lxyqlhhhxyyqlhhqylxhyhhlhllh 讀者試校核在x=l的小邊界上，下列條件是滿足的，.3d)(,0d)( 0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyylxhhxylxhhxlxhhx， 現以如圖所示的混凝土深梁為例，應用應力函數的差分解求出應力分量。已知混凝土深梁上邊受有均布向下的鉛直荷載q，并由下角點處的反力維持平衡。作業4類似題型 解：本題具有的兩個對稱軸，為了反映對稱性，在 y 向外荷載作用下，取 網格結點編號如圖所示。 ()()0.AAAxy作業第一個錯誤：沒有說作業第一

16、個錯誤：沒有說明對稱性！這一步一定要明對稱性！這一步一定要有，因為對稱，因此可以有，因為對稱，因此可以只分析一半。只分析一半。（其中 即AB之間面力對B點的力矩，圖中以順 時針方向為正）。()d ,()d ,()d()d ,BBBBBxyBBAABBxyAAfsfsyxyy fsxxfs B作業第二個錯誤：沒有給出公作業第二個錯誤：沒有給出公式！給出公式表中錯誤可認為式！給出公式表中錯誤可認為計算錯誤，沒有公式表示物理計算錯誤，沒有公式表示物理意義不清楚，計算也不正確意義不清楚，計算也不正確 然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結點處 的值，以及所必需的一些 及 值，即即垂直于邊界方向的導數值垂直于邊界方向的導數值，公式如下：xy由上面公式所得的計算結果見下表。作業中第三個錯誤：1. 應力函數（題中指出：應用應力函數的差分解求出應力分量）是每個點都需要求解，因此第三行每個點都要求。求解公式見上頁。 2. 都可稱為的一階偏導，它們的作用是一樣的，因此，只需要計算其中一個或者都不需計算。不需計算處劃橫杠，計算不需計算處劃橫杠，計算