1、高中數學選修精品教學資料3.3.1函數的單調性與導數學習目標：1.理解函數的單調性與導數的關系(重點)2.能利用導數研究函數的單調性,會求不超過三次的多項式函數的單調區間和其他函數的單調區間(重點)3.能根據函數的單調性求參數(難點)自 主 預 習·探 新 知1函數的單調性與其導數正負的關系定義在區間(a,b)內的函數yf(x)f(x)的正負f(x)的單調性f(x)>0單調遞增f(x)<0單調遞減思考：若函數f(x)在區間(a,b)內單調遞增,則f(x)>0這個說法正確嗎？提示不正確,應該是f(x)0.2函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系一般地,設函數yf(x),

2、在區間(a,b)上導數的絕對值函數值變化函數的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)基礎自測1思考辨析(1)函數f(x)在定義域上都有f(x)>0,則函數f(x)在定義域上單調遞增()(2)函數在某一點的導數越大,函數在該點處的切線越“陡峭”()(3)函數值在某個區間上變化越快,函數在這個區間上導數的絕對值越大()(4)在區間(a,b)內,f(x)>0是f(x)在此區間上單調遞增的充要條件()答案(1)×(2)×(3)(4)×2函數yx3x的單調遞增區間為()a(0,)b(,1)c(1,) d(,)dy3x21>0,

3、故選d.3若在區間(a,b)內,f(x)>0,且f(a)0,則在(a,b)內有() 【導學號：97792146】af(x)>0 bf(x)<0cf(x)0 d不能確定 a由f(x)>0知函數f(x)在區間(a,b)內是增函數,且f(a)0,故f(x)>0.合 作 探 究·攻 重 難函數的單調性與單調區間(1)函數f(x)3x22ln x的單調遞減區間為_(2)設函數f(x)xaln x(ar),討論f(x)的單調性思路探究(1)求f(x)解不等式f(x)<0(2)求f(x)根據a的取值判斷f(x)的正負號解析(1)函數f(x)的定義域為(0,)f(

4、x)6x令f(x)<0,即<0,解得<x<.又x>0,故0<x<.即函數f(x)3x22ln x的單調遞減區間為.答案(2)f(x)的定義域為(0,)f(x)1.令g(x)x2ax1,其判別式a24.當|a|2時,0,f(x)0.故f(x)在(0,)上單調遞增當a<2時,>0,g(x)0的兩根都小于0.在(0,)上,f(x)>0.故f(x)在(0,)上單調遞增當a>2時,>0,g(x)0的兩根為x1,x2.當0<x<x1時,f(x)>0；當x1<x<x2時,f(x)<0；當x>x2

5、時,f(x)>0.故f(x)分別在,上單調遞增,在上單調遞減規律方法求函數yf(x)的單調區間的步驟：(1)確定函數yf(x)的定義域；(2)求導數yf(x)；(3)解不等式f(x)>0,函數在定義域內的解集上為增函數；(4)解不等式f(x)<0,函數在定義域內的解集上為減函數跟蹤訓練1(1)函數yx3x2x的單調遞增區間為()a.和(1,)b.c.(1,)d.ay3x22x1,令y>0,得x<或x>1,所以函數的單調遞增區間為和(1,),故選a. (2)討論函數f(x)x2aln x(ar,a0)的單調性解函數定義域為(0,),f(x)x.當a0時,f(x

6、)x0恒成立,這時函數只有單調遞增區間為(0,)；當a0時,由f(x)x0,得x；由f(x)x0,得0x,所以當a0時,函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是(0,)綜上,當a0時,單調遞增區間為(0,),無單調遞減區間；當a0時,單調遞增區間為(,),單調遞減區間為(0,)導數與函數圖象的關系(1)f(x)是函數yf(x)的導函數,若yf(x)的圖象如圖3­3­1所示,則函數yf(x)的圖象可能是()圖3­3­1(2)已知函數yf(x)的圖象如圖3­3­2所示,則函數yf(x)的圖象可能是圖中的 () 【導學號：97792147】圖3

7、­3­2解析(1)由f(x)>0(f(x)<0)的分界點判斷原函數在此分界點兩側的圖象的上升和下降趨勢由已知可得x的取值范圍和f(x)的正、負,f(x)的增減變化情況如下表所示：x(,0)(0,2)(2,)f(x)f(x)由表可知f(x)在(,0)內遞增,在(0,2)內遞減,在(2,)內遞增,滿足條件的只有d,故選d.(2)由函數yf(x)的圖象的增減變化趨勢判斷函數yf(x)的正、負情況如下表：x(1,b)(b,a)(a,1)f(x)f(x)由表可知函數yf(x)的圖象,當x(1,b)時,函數圖象在x軸下方；當x(b,a)時,函數圖象在x軸上方；當x(a,1)

8、時,函數圖象在x軸下方故選c.答案(1)d(2)c規律方法(1)研究函數與導數圖象間對應關系的注意點研究一個函數的圖象與其導函數圖象之間的關系時,注意抓住各自的關鍵要素,對于原函數,要注意其圖象在哪個區間內單調遞增,在哪個區間內單調遞減；而對于導函數,則應注意其函數值在哪個區間內大于零,在哪個區間內小于零,并分析這些區間與原函數的單調區間是否一致(2)導數與函數圖象的關系函數值增加得越來越快函數值增加得越來越慢f(x)>0且越來越大f(x)>0且越來越小函數值減少得越來越快函數值減少得越來越慢f(x)<0且越來越小絕對值越來越大f(x)<0且越來越大絕對值越來越小提醒：

9、函數圖象變化得越快,f(x)的絕對值越大,不是f(x)的值越大跟蹤訓練2(1)設函數f(x)在定義域內可導,yf(x)的圖象如圖3­3­3所示,則導函數yf(x)可能為()圖3­3­3d由函數的圖象知：當x0時,函數單調遞增,導數應始終為正；當x0時,函數先增后減再增,導數應先正后負再正,對照選項,只有d正確(2)函數yf(x)在定義域內可導,其圖象如圖3­3­4,記yf(x)的導函數為yf(x),則不等式f(x)<0的解集為_圖3­3­4(2,3)根據導數和圖象單調性的關系知當x(2,3)時f(x)<

10、0.已知函數的單調性求參數的取值范圍探究問題1在區間(a,b)內,若f(x)0,則f(x)在此區間上單調遞增,反之也成立嗎？提示：不一定成立比如yx3在r上為增函數,但其在x0處的導數等于零也就是說f(x)0是yf(x)在某個區間上遞增的充分條件2一般地,在區間(a,b)內函數的單調性與導數有什么關系？提示：函數的單調性導數單調遞增f(x)0且f(x)不恒為0單調遞減f(x)0且f(x)不恒為0常函數f(x)0已知函數f(x)x3ax1,(1)若f(x)在區間(1,)內為增函數,求a的取值范圍；(2)若f(x)的單調遞減區間為(1,1),求a的值思路探究(1)轉化為f(x)0在(1,)上恒成立

11、,求a的范圍；(2)由f(x)0,求單調減區間,對比已知,求a的值解(1)因為f(x)3x2a,且f(x)在區間(1,)上為增函數,所以f(x)0在(1,)上恒成立,即3x2a0在(1,)上恒成立,所以a3x2在(1,)上恒成立,即a3.(2)f(x)3x2a.當a0時,f(x)0,無減區間,不滿足條件當a0時,令3x2a0,得x±；當x時,f(x)0.因此f(x)在上為減函數所以1,即a3.規律方法1.利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉化為不等式在某區間上的恒成立問題,即f(x)0(或f(x)0)恒成立,利用分離參數或函數性質求解參數范圍,然后檢驗參數取“”時是

12、否滿足題意(2)先令f(x)>0(或f(x)<0),求出參數的取值范圍后,再驗證參數取“”時f(x)是否滿足題意2恒成立問題的重要思路(1)mf(x)恒成立mf(x)max.(2)mf(x)恒成立mf(x)min.跟蹤訓練3(1)若函數f(x)kxln x在區間(1,)上單調遞增,則k的取值范圍是_. 【導學號：97792148】1,)由于f(x)k,f(x)kxln x在區間(1,)上單調遞增f(x)k0在(1,)上恒成立由于k,而0<<1,所以k1.即k的取值范圍為1,)(2)已知函數f(x)x22aln x.試討論函數f(x)的單調區間若函數g(x)f(x)在1,

13、2上是減函數,求實數a的取值范圍解f(x)2x,函數f(x)的定義域為(0,).當a0時,f(x)>0,f(x)的單調遞增區間為(0,)；.當a<0時,f(x),當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表：x(0,),f(x)0f(x)遞減遞增由上表可知,函數f(x)的單調遞減區間是(0,)；單調遞增區間是(,)由g(x)x22aln x,得g(x)2x,由已知函數g(x)為1,2上的單調減函數,則g(x)0在1,2上恒成立,即2x0在1,2上恒成立,即ax2在1,2上恒成立,令h(x)x2,則h(x)2x<0,x1,2,所以h(x)在1,2上為減函數,h(x)minh(

14、2),所以a.故實數a的取值范圍為.當 堂 達 標·固 雙 基1下列函數中,在(0,)內為增函數的是()aysin xbyxexcyx3x dyxln xb對于yxex,yexxexex(1x)>0,yxex在(0,)內為增函數2在r上可導的函數f(x)的圖象如圖3­3­5所示,則關于x的不等式x·f(x)<0的解集為()圖3­3­5a(,1)(0,1)b(1,0)(1,)c(2,1)(1,2)d(,2)(2,)a當x>0時,f(x)<0,此時0<x<1,當x<0時,f(x)>0,此時x<1,因此xf(x)<0的解集為(,1)(0,1)3函數f(x)(x1)ex的單調遞增區間是_(0,)f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex,令f(x)0,解得x0,故f(x)的增區間為(