1、高中數學選修精品教學資料高中數學 3.3.2 函數的極值與導數學案 新人教a 版選修 1-1基礎梳理1極值的概念如果函數yf(x)在點xa的函數值f(a)比它在點xa附近其他點的函數值都小,f(a)0,而且在點xa附近的左側f(x)0,右側f(x)0,則把點a叫做yf(x)的極小值點,f(a)叫做函數yf(x)的極小值；如果函數yf(x)在點xb的函數值f(b)比它在點xb附近其他點的函數值都大,f(b)0,而且在點xb附近的左側f(x)0,右側f(x)0,則把點b叫做yf(x)的極大值點,f(b)叫做函數yf(x)的極大值2求函數yf(x)的極值的一般方法解方程f(x)0.當f(x)0 時：

2、(1)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側f(x)0,右側f(x)0,那么f(x0)是極小值,自測自評1下面說法正確的是(b)a可導函數必有極值b函數在極值點一定有定義c函數的極小值不會超過極大值d函數在極值點處導數一定存在2函數f(x)的定義域為開區間(a,b),導數f(x)在(a,b)內的圖象如圖所示,則函數f(x)在開區間(a,b)內極小值有(a)a1 個b2 個c3 個d4 個3函數y13xx3有極小值_,極大值_解析：y13xx3,y33x2,令y0,得x1,且y在區間(,1),(1,1),(1,)上的正負性依次為,.當x

3、1 時,y1 是極小值；當x1 時,y3 是極大值答案：131函數y2x3x2的極大值為(a)a0b9c0,2716d.2716解析：y6x22x,令y0,解得x0,x13,令y0,解得 0 x13,當x0 時,取得極大值 0,故選 a.2若函數yx32mx2m2x,當x13時, 函數取得極大值, 則m的值為(c)a.13或 1b.13c1d都不對3若函數y13x3x2ax在 r r 上沒有極值點,則實數a的取值范圍是_解析：f(x)x22xa,f(x)在 r r 上沒有極值點,44a0,a1.答案：a14求函數f(x)x(x2)2的極值解析：函數f(x)的定義域為 r r.f(x)x(x24

4、x4)x34x24x,f(x)3x28x4(x2)(3x2),令f(x)0 得x23或x2.列表：從表中可以看出,當x23時,函數有極小值,且f23 2323223227.當x2 時,函數有極大值,且f(2)2(22)20.5 已知函數f(x)x3ax2bxc在x23與x1 時都取得極值 求a、b的值與函數f(x)的單調區間解析：因為f(x)x3ax2bxc,則f(x)3x22axb.依題意得,f23 12943ab0，f（1）32ab0，解得a12，b2.即f(x)3x2x2(3x2)(x1)函數f(x),f(x)的變化情況見下表：所以函數f(x)的遞增區間是，23 與(1,),遞減區間是2

5、3，1.1f(x0)0 是函數yf(x)在xx0處有極值點的(c)a充分不必要條件b充要條件c必要不充分條件d即不充分也不必要條件解析：yf(x)在xx0處有極值點時不僅要f(x0)0,而且還要x0左右的增減性相異故f(x0)0 是yf(x)在xx0處有極值的必要不充分條件2已知函數yf(x)(xr r)有唯一的極值,并且當x1 時,f(x)存在極小值,則(c)a當x(,1)時,f(x)0；當x(1,)時,f(x)0b當x(,1)時,f(x)0；當x(1,)時,f(x)0c當x(,1)時,f(x)0；當x(1,)時,f(x)0d當x(,1)時,f(x)0；當x(1,)時,f(x)0解析：考查函

6、數極小值的概念,只不過換成了符號語言,抓住極小值的定義即可得出答案 c.3函數y13xx3(d)a極小值1,極大值 1b極小值2,極大值 3c極小值2,極大值 2d極小值1,極大值 3解析：y33x2,令y0,得x1,易判斷當x1 時,有極大值y3,當x1 時,有極小值y1.故選 d.4已知函數y2x3ax236x24 在x2 處有極值,則該函數的一個遞增區間是(b)a(2,3)b(3,)c(2,)d(,3)解析：y6x22ax36,x2 為極值點,當x2 時,y642a2360,解得a15,y6x230 x36,令y0,得x2,x3,y0 時,x2 或x3,故選 b.5函數f(x)x33bx

7、3b在區間(0,1)內有極小值,則(a)a0b1bb1cb0db12解析：問題等價于方程f(x)3x23b0 在區間(0,1)內有解,并且其較大的解必須在區間(0,1)內于是得到 0b1,即 0b1.故選 a.6設函數f(x)x3mx2nx的圖象與x軸切于點(1,0),則f(x)的極值為(a)a極大值為427,極小值為 0b極大值為 0,極小值為427c極大值為 0,極小值為427d極大值為427,極小值 0解析：根據導數的幾何意義,得到f(1)0,且f(1)0,即f（1）1mn0，f（1）32mn0，解得m2,n1,此時f(x)3x24x1(3x1)(x1),再依據求極值的方法,可以得到極大

8、值為f13 427,極小值為f(1)0.故選 a.7若函數f(x)x2ax1在x1 處取極值,則a_解析：本題考查對極值定義的理解依題意有f(x)2x(x1)（x2a）(x1)2,f(1)0,解得a3.答案：38 已知三次函數f(x)的圖象經過原點,并且當x1 時有極大值 4,當x3 時有極小值 0,則函數f(x)的解析式為_解析：依題意,可設f(x)ax3bx2cx(a0),則f(x)3ax22bxc,于是f（1）3a2bc0，f（3）27a6bc0，f（1）abc4，f（3）27a9b3c0，解得a1，b6，c9.f(x)x36x29x.答案：f(x)x36x29x點評：典型的待定系數法解

9、題,本題的條件有多余,所以要注意驗根9若函數f(x)x(xc)2在x2 處有極大值,則常數c的值為_解析：f(x)x32cx2c2xf(x)3x24cxc2,f(2)c28c120,c2 或c6.當c2,f(x)3x28x4(3x2)(x2),當23x2,f(x)0,當x2,f(x)0,當x2 時有極小值當c6 時,f(x)3x224x363(x2)(x6),當 2x6 時,f(x)0,當x2 時,f(x)0,當x2 時有極大值c6 符合題意答案：610(2013惠州三模)已知函數f(x)x33ax(ar r)(1)當a1 時,求f(x)的極小值；(2)若直線xym0 對任意的mr都不是曲線y

10、f(x)的切線,求a的取值范圍解析：(1)當a1 時,f(x)3x23,令f(x)0,得x1 或x1.當x(1,1)時,f(x)0.當x(,11,)時,f(x)0.f(x)在(1,1)上單調遞減,在(,1和1,)上單調遞增f(x)的極小值是f(1)2.(2)f(x)3x23a,直線xym0,即yxm,依題意得,切線斜率kf(x)3x23a1,即 3x23a10 無解043(3a1)0,a13.11(2013惠州一模)已知f(x)lnx,g(x)13x312x2mxn,直線與函數f(x)、g(x)的圖象都相切于點(1,0)(1)求直線的方程及g(x)的解析式；(2)若h(x)f(x)g(x)其中

11、g(x)是g(x)的導函數,求函數h(x)的極大值解析：(1)直線是函數f(x)lnx在點(1,0)處的切線,其斜率kf(1)1.直線的方程yx1.又直線與g(x)的圖象相切,且切于點(1,0),g(x)13x312x2mxn在點(1,0)的導函數值為 1.g（1）0，g（1）1m1，n16.g(x)13x312x2x16.(2)h(x)f(x)g(x)lnxx2x1(x0)h(x)1x2x112x2xx（2x1）（x1）x.令h(x)0,得x12或x1(舍去)當 0 x0,h(x)單調遞增；當x12時,h(x)0.所以f(x)在(,0),(2,)上單調遞減,在(0,2)上單調遞增故當x0時,f(x)取得極小值,極小值為f(0)0； 當x2時,f(x)取得極大值,極大值為f(2)4e2.(2)設切點為(t,f(t),則l的方程為yf(t)(xt)