1、一、正項級數及其審斂法一、正項級數及其審斂法1.1.定義定義: :，中各項均有中各項均有如果級數如果級數01 nnnuu這種級數稱為正項級數這種級數稱為正項級數. . nsss212.2.正項級數收斂的充要條件正項級數收斂的充要條件: :定理定理.有界有界部分和所成的數列部分和所成的數列正項級數收斂正項級數收斂ns部分和數列部分和數列 為單調增加數列為單調增加數列. .ns且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂；反之，若反之，若 1nnu發散，則發散，則 1nnv發散發散. .證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設設,nnvu ,

2、即部分和數列有界即部分和數列有界.1收斂收斂 nnu均為正項級數，均為正項級數，和和設設 11nnnnvu3.比較審斂法比較審斂法nvvv 21nns 則則)()2( nsn設設,nnvu 且且 不是有界數列不是有界數列.1發散發散 nnv推推論論: : 若若 1nnu收收斂斂( (發發散散) )且且)(nnnnvkunnkuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發發散散) ). .定理證畢定理證畢.比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 須有參考級數須有參考級數. 例例 1 1 討討論論 p p- -級級數數 ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設設,11nn

3、p .級數發散級數發散則則 p, 1 p設設oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級數收斂級數收斂則則 p 發散發散時時當當收斂收斂時時當當級數級數,1,1ppp重要參考級數重要參考級數: : 幾何級數幾何級數, p-, p-級數級數, , 調和級數調和級數. .例例 2 2 證明級數證明級數 1)1(1nnn是發散的是發散的.證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發散發散而級數而級數.)1(11 nnn發散發散級數級數4.4.比較審

4、斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數都是正項級數, , 如果如果則則(1) (1) 當當時時, , 二級數有相同的斂散性二級數有相同的斂散性; ; (2) (2) 當當時，若時，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當當時時, , 若若 1nnv發散發散, , 則則 1nnu發散發散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對于對于,n ,時時當當nn 22llvullnn )(232nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.設設

5、 1nnu為為正正項項級級數數, ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),則級數則級數 1nnu發散發散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,則則級級數數 1nnu收收斂斂. .5 5. .極極限限審審斂斂法法：例例 3 3 判判定定下下列列級級數數的的斂斂散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數發散原級數發散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數收斂故原級數收斂.6 6. .比比值值審審

6、斂斂法法( (達達朗朗貝貝爾爾 d da al le em mb be er rt t 判判別別法法) )：設設 1nnu是是正正項項級級數數, ,如如果果)(lim1 數數或或nnnuu則則1 時時級級數數收收斂斂; ;1 時時級級數數發發散散; ; 1 時時失失效效. .證明證明,為有限數時為有限數時當當 , 0 對對,n ,時時當當nn ,1 nnuu有有)(1nnuunn 即即,1時時當當 ,1時時當當 ,1 取取, 1 r使使,11 nmmnuru,12 nnruu,1223 nnnurruu,111 mnmur收斂收斂而級數而級數,11收斂收斂 nnnmmnuu收斂收斂, 1 取取

7、, 1 r使使,時時當當nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發散發散比值審斂法的優點比值審斂法的優點: 不必找參考級數不必找參考級數. . 兩點注意兩點注意:1 1. .當當1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發散發散級數級數例例 nn,112收斂收斂級數級數 nn)1( ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數級數 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .例例 4 4 判判

8、別別下下列列級級數數的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數故級數 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發散發散故級數故級數 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級數級數 nn.)12(211收斂收斂故級數故級數 nnn7.7.根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西

9、判別法) )：設設 1nnu是是正正項項級級數數, ,如如果果 nnnulim)( 為為數數或或 , ,則則1 時時級級數數收收斂斂; ;,1 ,1 nnn設級數設級數例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n級數收斂級數收斂.1 時級數發散時級數發散; ; 1 時失效時失效. .二、交錯級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法定義定義: : 正、負項相間的級數稱為交錯級數正、負項相間的級數稱為交錯級數. . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數滿足條件如果交錯級數滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu

10、, ,則級數收斂則級數收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調增加的是單調增加的數列數列ns,2是有界的是有界的數列數列ns)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級數收斂于和級數收斂于和),(21 nnnuur余項余項,21 nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.

11、例例 5 5 判判別別級級數數 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. .解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調遞減單調遞減故函數故函數 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數收斂原級數收斂.三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數. .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收

12、斂收斂.上定理的作用：上定理的作用：任意項級數任意項級數正項級數正項級數定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發發散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .例例 6 6 判判別別級級數數 12sinnnn的的收收斂斂性性. .解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數絕對收斂故由定理知原級數絕對收斂.四、小結四、小結正正 項項 級級 數數任意項級數任意項級數審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值

13、法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數交錯級數(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質按基本性質;,則級數收斂則級數收斂若若ssn;, 0,則級數發散則級數發散當當 nun思考題思考題 設設正正項項級級數數 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是是否否成成立立? ?思考題解答思考題解答由由正正項項級級數數 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發散發散.一、一、 填空題填空題: :

14、1 1、 p級數當級數當_時收斂時收斂, ,當當_時發散；時發散；2 2、若正項級數、若正項級數 1nnu的后項與前項之比值的根的后項與前項之比值的根 等于等于, , 則當則當_時級數收斂；時級數收斂；_時級數發散；時級數發散； _時級數可能收斂也可能發散時級數可能收斂也可能發散 . .二、二、 用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數的收斂性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .練練 習習 題題三、三、 用比值審斂法判別下列級數的收斂性用比值審斂法判別下列級數的收斂性: : 1 1、 nnn 232

15、332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值審斂法判別下列級數的收斂性用根值審斂法判別下列級數的收斂性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判別下列級數的收斂性判別下列級數的收斂性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六、六、 判別下列級數是否收斂判別下列級數是否收斂? ?如果是收斂的如果是收斂的, ,是絕對收是絕對收斂還是條件收斂斂還是條件收斂? ?1 1、 1113)1(nnnn；2 2、 5ln14ln13ln12ln1；3 3、 2ln)1(nnnn. .七、若七、若nnun2lim存在存在, ,證明證明: :級數級數 1nnu收斂收斂 . .八、證明八、證明: :0!lim3 nnnanb. .練習題答案練習題答案一