1、起課后提升作業(yè) 二十幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2016·麗江高二檢測)函數(shù)f(x)=x,則f(3)等于()a.36b.0c.12xd.32【解析】選a.因為f(x)=(x)=12x,所以f(3)=123=36.【規(guī)律總結(jié)】求函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的方法函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)等于f(x)在點x=x0處的函數(shù)值.在求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)時可以先利用導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù),再將x0代入導(dǎo)函數(shù)求解,不能先代入后求導(dǎo).2.若y=lnx,則其圖象在x=2處的切線斜率是()a.1b.0c.2d.12【解析】選d.因為y=1x,所以

2、當(dāng)x=2時,y=12,故圖象在x=2處的切線斜率為12.3.已知函數(shù)f(x)=x3的切線的斜率等于3,則切線有()a.1條b.2條c.3條d.不確定【解析】選b.因為f(x)=3x2=3,解得x=±1.切點有兩個,即可得切線有兩條.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若曲線y=x3+x-2在點p0處的切線平行于直線4x-y+1=0,則點p0的一個坐標(biāo)是()a.(0,-2)b.(1,1)c.(-1,-4)d.(1,4)【解析】選c.因為y=3x2+1=4,所以x=±1,所以y=0或-4,所以p0的坐標(biāo)為(1,0)或(-1,-4).4.給出下列四個導(dǎo)數(shù)式:(x4)=4x3;(2x)=2xln2;(ln

3、x)=-1x;1x=1x2.其中正確的導(dǎo)數(shù)式共有()a.2個b.3個c.4個d.5個【解析】選a.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式求導(dǎo),再判斷即可.(x4)=4x3;(2x)=2xln2;(lnx)=1x;1x=-1x2,故正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列各式中正確的是()a.(lnx)=xb.(cosx)=sinxc.(sinx)=cosxd.(x-8)=-18x-9【解析】選c.因為(lnx)=1x,(cosx)=-sinx,(x-8)=-8x-9=-8x9,所以a,b,d均不正確,c正確.5.(2016·南寧高二檢測)質(zhì)點沿直線運動的路程s與時間t的關(guān)系是s=5t,則質(zhì)點在t=4時的速度為()a.12

4、523b.110523c.25523d.110523【解析】選b.s=15t -45.當(dāng)t=4時,s=15·1544=110523.6.函數(shù)y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為()a.94e2b.2e2c.e2d.e22【解析】選d.因為y|x=2=e2,所以切線方程為y-e2=e2(x-2).當(dāng)x=0時,y=-e2,當(dāng)y=0時,x=1.故切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為12×|-e2|×1=e22.7.(2016·福州高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=logax,f(1)=-1,則a=()a.3b.2c.1ed.e【解析】選c.因為

5、f(x)=1xlna,所以f(1)=1lna=-1.所以lna=-1.所以a=1e.8.(2016·寶雞高二檢測)已知直線y=kx是曲線y=ex的切線,則實數(shù)k的值為()a.1eb.-1ec.-ed.e【解析】選d.設(shè)切點為(x0,ex0).y=ex,當(dāng)x=x0時,y=ex0,所以過切點的切線方程為y-ex0=ex0(x-x0),即y=ex0x+(1-x0)ex0,又y=kx是切線,所以k=ex0,(1-x0)ex0=0,所以x0=1,k=e.【延伸探究】若將本題中的曲線“y=ex”改為“y=lnx”,則實數(shù)k=()a.1eb.-1ec.-ed.e【解析】選a.設(shè)切點為(x0,lnx

6、0).y=1x,當(dāng)x=x0時,y=1x0,所以過切點的切線方程為y-lnx0=1x0(x-x0),即y=1x0x+lnx0-1,所以lnx0-1=0,k=1x0,所以x0=e,k=1e.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016·興義高二檢測)設(shè)曲線y=xn+1(nn*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,則a1+a2+a99的值為.【解析】y=(n+1)xn,曲線在點(1,1)處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=nn+1.an=lgxn=lgnn+1=lgn-lg(n+1),則a1+a2+a99=lg1-lg2+lg2

7、-lg3+lg99-lg100=-lg100=-2.答案:-210.(2016·廣州高二檢測)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,若曲線y=lnx在x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線與直線ax-y+3=0垂直,則實數(shù)a的值為.【解析】因為y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y=1x,即曲線y=lnx在x=e處的切線斜率為k=1e,由于切線與直線ax-y+3=0垂直,則a·1e=-1,解得a=-e.答案:-e【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=lnx的圖象在x=1處的切線方程是.【解析】f(x)=1x,f(1)=1,所以切點為(1,0),根據(jù)點斜式寫出方程:y=x-1.答案:y=x-1三、解答題(每小題10分,

8、共20分)11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x8.(2)y=1x4.(3)y=3x.(4)y=2x.(5)y=log2x.(6)y=cos2-x.【解題指南】(1)利用冪函數(shù)公式求導(dǎo).(2)轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)求導(dǎo).(3)轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)求導(dǎo).(4)利用指數(shù)函數(shù)求導(dǎo).(5)利用對數(shù)函數(shù)求導(dǎo).(6)先化簡再求導(dǎo).【解析】(1)y=(x8)=8x8-1=8x7.(2)y=1x4=(x-4)=-4x-5.(3)y=(3x)=(x13)=13x13-1=13x-23.(4)y=(2x)=2xln2.(5)y=(log2x)=1xln2.(6)因為y=cos2-x=sinx,所以y=(sinx)=cosx.【規(guī)律總

9、結(jié)】1.公式記憶:對于公式(ax)=axlna與(logax)=1xlna記憶較難,又易混淆,要注意區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征,既要從縱的方面(lnx)與(logax)和(ex)與(ax)區(qū)分,又要從橫的方面(logax)與(ax)區(qū)分,找出差異記憶公式.2.求導(dǎo)注意點:(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時不需對公式說明,掌握這些公式的基本結(jié)構(gòu)和變化規(guī)律直接應(yīng)用即可.(2)需要根據(jù)所給函數(shù)的特征,恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.(3)對一些函數(shù)求導(dǎo)時,要弄清一些函數(shù)的內(nèi)部關(guān)系,合理轉(zhuǎn)化后再求導(dǎo),如y=3x2,y=1x3,可以轉(zhuǎn)化為y=x23,y=x-3后再求導(dǎo).【補(bǔ)償訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=a2(a為常數(shù)).(2)y=x1

10、2.(3)y=x-5.(4)y=lgx.【解析】(1)因為a為常數(shù),所以a2為常數(shù),所以y=(a2)=0.(2)y=(x12)=12x11.(3)y=(x-5)=-5x-6=-5x6.(4)y=(lgx)=1xln10.12.(2016·煙臺高二檢測)求過曲線y=cosx上點p3,12且與在這點的切線垂直的直線方程.【解析】因為y=cosx,所以y=-sinx,曲線在點p3,12處的切線斜率是y|x=3=-sin3=-32.所以過點p且與切線垂直的直線的斜率為23,所以所求的直線方程為y-12=23x-3,即2x-3y-23+32=0.【誤區(qū)警示】已知與曲線上某點的切線垂直這一條件具

11、有雙重含義:一是所求直線與切線垂直;二是所求直線也過此點.在確定與切線垂直的直線方程時,應(yīng)注意函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)y是否為零,當(dāng)y=0時切線平行或重合于x軸,過切點p垂直于切線的直線斜率不存在.【能力挑戰(zhàn)題】已知直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于a,b兩點,o是坐標(biāo)原點,試在拋物線的弧aob上求一點p,使abp的面積最大,并求最大值.【解題指南】解答本題的關(guān)鍵點是注意到|ab|是定值,通過圖形分析使abp的面積最大,只需點p到ab的距離最大,即點p是拋物線的平行于ab的切線的切點.【解析】設(shè)p(x0,y0),過點p作與ab平行的直線為l,如圖,設(shè)直線x-2y-4=0與拋物線y2=x相交于a(x1,y1),b(x2,y2),聯(lián)立方程組,得x-2y-4=0,y2=x得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,所以|ab|=1+k2|x1-x2|=1+14(x1+x2)2-4x1x2=52144-64=10,要使abp的面積最大,只要點p到ab的距離最大,而p點是拋物線的弧aob上的一點,因此點p是拋物線上平行于直線ab的切線的切點