1、14.2 空間解析幾何空間解析幾何4.2.2 空間曲線及其方程空間曲線及其方程4.2.1 空間曲面及其方程空間曲面及其方程4.2.3 二次曲面二次曲面24.2.1 向量及其線性運算向量及其線性運算2、平面及其方程、平面及其方程1、曲面方程的概念、曲面方程的概念31. 曲面方程的概念曲面方程的概念求到兩定點求到兩定點a(1,2,3) 和和b(2,-1,4)等距離的點的等距離的點的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得化簡得即即說明說明: 動點軌跡為線段動點軌跡為線段 ab 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程

2、, 不在此平面上的點的坐標不滿足此方程不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解:設(shè)軌跡上的動點為設(shè)軌跡上的動點為, ),(zyxm,bmam 則軌跡方程軌跡方程. (1) 曲面與方程曲面與方程4定義定義 0),(zyxfszyxo如果曲面如果曲面 s 與方程與方程 f( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系:(1) 曲面曲面 s 上的任意點的坐標都滿足此方程上的任意點的坐標都滿足此方程;則則 f( x, y, z ) = 0 叫做叫做曲面曲面 s 的方程的方程, 曲面曲面 s 叫做叫做方程方程 f( x, y, z ) = 0 的圖形的圖形.兩個基本

3、問題兩個基本問題 :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面不在曲面 s 上的點的坐標不滿足此方程上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程時已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖必要時需作圖 ). 5 m0 m r設(shè)設(shè)),(zyxm是球面上任一點，是球面上任一點， ，rmm |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有，即即rzzyyxx 202020)()()( .)()()(2202020rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為.2222rzyx 以下給出幾例

4、常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.222yxrz表示上表示上(下下)球面球面 .解解例例6例例 研究方程研究方程042222yxzyx解解: 配方得配方得5, )0, 2, 1(0m此方程表示此方程表示:說明說明: 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( a 0 )都可通過配方研究它的圖形都可通過配方研究它的圖形. 其圖形可能是其圖形可能是的曲面的曲面. 表示怎樣表示怎樣半徑為半徑為的球面的球面.0)(222gfzeydxzyxa球心為球心為 一個一個球面球面, 或或點點 , 或或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx7定義定義 一條平面曲線一條平面曲線(2) 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面

5、繞其平面上一條繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. 該定直線稱為該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 .例如例如 :8建立建立yoz面上曲線面上曲線c 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的的方程方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxm當繞當繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時,0),(11zyf,), 0(111czym若點若點給定給定 yoz 面上曲線面上曲線 c: ), 0(111zym),(zyxm1221,yyxzz則有則有0),(22zyxf則有則有該點轉(zhuǎn)到該點轉(zhuǎn)到0),(zyfozyxc9思考思考：當曲線當曲線 c 繞繞 y 軸旋

6、轉(zhuǎn)時，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？0),(:zyfcoyxz0),(22zxyf10例例 求求 yoz 坐標面上的拋物線坐標面上的拋物線2zy 成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解解: 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時, 將將 y 改換成改換成22xy，即得，即得，222zxy繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所軸旋轉(zhuǎn)所xyzo22zxy- - 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面.11例例 試建立頂點在原點試建立頂點在原點, 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為的圓錐面方程的圓錐面方程. 解解: 在在yoz面上直線面上直線l 的方程為的方程為cotyz 繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為圓錐面的方程為cot2

7、2yxz)(2222yxazcota 令令xyz兩邊平方兩邊平方l), 0(zym12xy例例 求坐標面求坐標面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線12222czax分別繞分別繞 x軸和軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為所成曲面方程為所成曲面方程為z13xyz(3) 柱面柱面引例引例. 分析方程分析方程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方程的坐標也滿足方程222ryx解解:在

8、在 xoy 面上，面上，表示圓表示圓c, 222ryx222ryx沿曲線沿曲線c平行于平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間故在空間222ryx過此點作過此點作柱面柱面.對任意對任意 z ,平行平行 z 軸的直線軸的直線 l ,表示表示圓柱面圓柱面oc在圓在圓c上任取一點上任取一點 , )0 ,(1yxmlm1m),(zyxm點其上所有點的坐標都滿足此方程其上所有點的坐標都滿足此方程,14xyzxyzol定義定義 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 c 移動的直線移動的直線 l 形成形成的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. 表示表示拋物柱面拋物柱面,母

9、線平行于母線平行于 z 軸軸;準線為準線為xoy 面上的拋物線面上的拋物線. z 軸的軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byax z 軸的軸的平面平面.0 yx 表示母線平行于表示母線平行于 c(且且 z 軸在平面上軸在平面上)表示母線平行于表示母線平行于c 叫做叫做準線準線, l 叫做叫做母線母線.xyzoo15xzy2l一般地一般地,在三維空間在三維空間柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 軸軸;平行于平行于 y 軸軸;平行于平行于 z 軸軸;準線準線 xoz 面上的曲線面上的曲線 l3.母線母線柱面柱面,準線準線 xoy 面上的曲線面上的曲線 l1.母線母線準線準線 yoz 面上的

10、曲線面上的曲線 l2. 母線母線( , )0f x y 方方程程表表示示( , )0g y z 方方程程表表示示( , )0h z x 方方程程表表示示xyz3lxyz1l16從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxf，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線c.（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y17zyxo0mn(1)

11、平面的點法式方程平面的點法式方程),(0000zyxm設(shè)一平面通過已知點設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向且垂直于非零向0)()()(000zzcyybxxam稱稱式式為平面為平面 的的點法式方程點法式方程,求該平面求該平面 的的方程方程.( , , ),m x y z 任任取取點點),(000zzyyxx法向量法向量.量量, ),(cban nmm000nmmmm0則有則有 故故n 稱稱為為平平面面的的2. 平面及其方程平面及其方程18例例 求過點求過點1(2)1(6)(3)0 xyz5xyz即即0m解解: 利用點法式得平面方程利用點法式得平面方程0(2,6,3)m(1,1,1)n 的平面方程

12、的平面方程. n且垂直于向量且垂直于向量19kji例例 求過三點求過三點1,m 又又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1m2m3m解解: 取該平面取該平面 的法向量為的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21mm)3,2,0(3m的平面的平面 的方程的方程. 利用點法式得平面利用點法式得平面 的方程的方程346231nn3121mmmm20此平面的此平面的三點式方程三點式方程也可寫成也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點過三點)3,2, 1(),(kzy

13、xmkkkk的平面方程為的平面方程為說明說明:21,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解22(2) 平面的一般方程平面的一般方程設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減以上兩式相減 , 得平面的點法式方程得平面的點法式方程此方程稱為此方程稱為平面的一般平面的一般0dzcybxa任取一組滿足上述方程的數(shù)任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則則0)()()(000zzcyybxxa0000dzcybxa顯然方程顯然方程與此點法式方程等

14、價與此點法式方程等價, )0(222cba),(cban 的平面的平面, 因此方程因此方程的圖形是的圖形是法向量為法向量為 方程方程.23特殊情形特殊情形 當當 d = 0 時時, a x + b y + c z = 0 表示表示 通過原點通過原點的平面的平面; 當當 a = 0 時時, b y + c z + d = 0 的法向量的法向量平面平面平行于平行于 x 軸軸; a x+c z+d = 0 表示表示 a x+b y+d = 0 表示表示 c z + d = 0 表示表示 a x + d =0 表示表示 b y + d =0 表示表示0dczbyax)0(222cba平行于平行于 y

15、軸軸的平面的平面;平行于平行于 z 軸軸的平面的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.,), 0(icbn24設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax由平面過原點知由平面過原點知, 0 d由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 cba,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解25例例 求通過求通過 x 軸和點軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.解解: 因平面通過因平面通過 x 軸軸 ,0ad故故設(shè)所求平面方程為設(shè)所

16、求平面方程為0zcyb代入已知點代入已知點) 1,3,4(得得bc3化簡化簡,得所求平面方程得所求平面方程03 zy26當平面與三坐標軸的交點分別為當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(crbqap1czbyax時時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為平面方程為 pozyxrq分析分析:利用三點式利用三點式 按第一行展開得按第一行展開得 即即0ax yzab0a0c(3) 平面的截距式方程平面的截距式方程27設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax將三

17、點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距28外一點外一點,求求),(0000zyxp0dzcybxa例例 設(shè)設(shè)222101010)()()(cbazzcyybxxa222000cbadzcybxad0111dzcybxa解解:設(shè)平面法向量為設(shè)平面法向量為),(1111zyxp在平面上取一點在平面上取一點是平面是平面到平面的距離到平面的距離d .0p, 則則p0 到平面的距離為到平面的距離為01prjppdn

18、nnpp010p1pnd, ),(cban (點到平面的距離公式點到平面的距離公式)29(5) 兩平面的夾角兩平面的夾角設(shè)平面設(shè)平面1的法向量為的法向量為 平面平面2的法向量為的法向量為則兩平面夾角則兩平面夾角 的的余弦余弦為為 cos即即212121ccbbaa222222cba212121cba兩平面法向量的夾角兩平面法向量的夾角(常為銳角常為銳角)稱為稱為兩平面的夾角兩平面的夾角.122n1n),(1111cban ),(2222cban 2121cosnnnn 302特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：21) 1 (0212121ccbbaa21/)2(212121ccbbaa),(:),

19、(:2222211111cbancban1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n31例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz 解解(1)222222|1 2( 1) 12 1|cos1( 1)2211 1cos2 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.3 (1)260,250 xyzxyz 32(2)2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 例例 研

20、究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)260,250 xyzxyz 解解33(3),1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合解解例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)2

21、60,250 xyzxyz 34)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：(2)210,310 xyzyz (3) 210,42210 xyzxyz (4) 210,42220 xyzxyz (1)260,250 xyzxyz 解解35因此有因此有例例 一平面通過兩點一平面通過兩點垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,020cba即即ca2的法向量的法向量,0cba

22、ccab)()0(0) 1() 1() 1(2czcycxc約去約去c , 得得0) 1() 1() 1(2zyx即即02zyx0) 1() 1() 1(zcybxa)1, 1, 1(1m, )1, 1,0(2m和和則所求平面則所求平面故故, ),(cban方程為方程為 n21mmn且且36xyzo0m例例 解解: 設(shè)球心為設(shè)球心為求內(nèi)切于平面求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標面所構(gòu)成與三個坐標面所構(gòu)成則它位于第一卦限則它位于第一卦限,且且2220001111zyx00331xx , 1000zyxrzyx000因此所求球面方程為因此所求球面方程為000zyx633331,

23、),(0000zyxm四面體的球面方程四面體的球面方程.從而從而)(半徑r2222)633()633(633)633(zyx374.2.2 空間曲線及其方程空間曲線及其方程2、空間直線及其方程、空間直線及其方程1、空間曲線方程的概念、空間曲線方程的概念38(1) 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組其一般方程為方程組0),(0),(zyxgzyxf2sl0),(zyxf0),(zyxg1s例如例如,方程組方程組221235xyxz 表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線 c. xzy1oc21. 空間曲線方程的概念空

24、間曲線方程的概念39又如又如,方程組方程組表示上半球面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線c. 022222xayxyxazyxzao40zyxo(2) 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程將曲線將曲線c上的動點坐標上的動點坐標 x, y, z 表示成參數(shù)表示成參數(shù) t 的函數(shù)的函數(shù):稱它為稱它為空間曲線的空間曲線的 參數(shù)方程參數(shù)方程.)(txx 例如例如,圓柱螺旋線圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos2, 當當時時bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上升高度上升高度, 稱為稱為螺距螺距 .)(tyy )(tzz m41例例 將下列曲線化為參數(shù)方程表示

25、將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為故所求為得所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t42(3) 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線 c 的一般方程為的一般方程為消去消去 z 得投影柱面得投影柱面則則c 在在xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線 c 為為消去消去 x 得得c 在在yo

26、z 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程消去消去y 得得c 在在zox 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程0),(0),(zyxgzyxf,0),(yxh00),(zyxh00),(xzyr00),(yzxtzyxcc43zyxc1o例如例如,在在 xoy 面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為222200 xyyz 1) 1() 1(1:222222zyxzyxc44zxyo1c又如又如,所圍的立體在所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為:上半球面上半球面和錐面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在在 xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線)(34:2222yx

27、zyxzc二者交線二者交線.0, 122zyx所圍圓域所圍圓域:二者交線在二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域面上的投影曲線所圍之域 .452. 空間直線及其方程空間直線及其方程xyzo01111dzcybxa02222dzcybxa1 2 l因此其一般式方程因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，直線可視為兩平面交線，(不唯一不唯一)46),(0000zyxm(2) 空間直線的點向式空間直線的點向式(對稱式對稱式)方程方程故有故有說明說明: 某些分母為零時某些分母為零時, 其分子也理解為零其分子也理解為零.mxx000yyxx設(shè)直線上的動點為設(shè)直線上的動點為 則

28、則),(zyxmnyy0pzz0此式稱為直線的此式稱為直線的對稱式方程對稱式方程(也稱為點向式方程也稱為點向式方程)直線方程為直線方程為s已知直線上一點已知直線上一點),(0000zyxm),(zyxm例如例如, 當當0,0,mnp時時和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms smm/047(3) 空間直線的參數(shù)方程空間直線的參數(shù)方程設(shè)設(shè)得參數(shù)式方程得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz048例例 用對稱式及參數(shù)式表示直線用對稱式及參數(shù)式表示直線解解: 先在直線上找一點先在直線上找一點. 3102380 xyzxyz 30310yzyz再求直線的方向向量

29、再求直線的方向向量1,3yz 令令 x = 1, 解方程組解方程組, 得得交已知直線的兩平面的法向量為交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點是直線上一點 .(1,1,3) 故故.s1(1, 3,1),n )3, 1,2(2n21ns,ns21nns49故所給直線的故所給直線的對稱式方程為對稱式方程為參數(shù)式方程參數(shù)式方程為為110 1 37xtytzt t110 x 11y 37z 解題思路解題思路: 先找直線上一點先找直線上一點;再找直線的方向向量再找直線的方向向量.(10,1,7)21nns131213ijk 50例例 用對稱式及參數(shù)式表示直線用對稱式及參數(shù)式表示直線解解:先在直線上找一點

30、先在直線上找一點.043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量再求直線的方向向量2,0zy令令 x = 1, 解方程組解方程組,得得是直線上一點是直線上一點 .)2,0, 1(故.s12snn)3, 1,4(312111kji51故所給直線的故所給直線的對稱式方程為對稱式方程為參數(shù)式方程參數(shù)式方程為為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點先找直線上一點; 再找直線的方向向量再找直線的方向向量.(4, 1,3)s (1,0,2)例例 用對稱式及參數(shù)式表示直線用對稱式及參數(shù)式表示直線043201 zyxzyx522l1l(4) 空間直線間的夾角空間

31、直線間的夾角 則兩直線夾角則兩直線夾角 滿足滿足21, ll設(shè)直線設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取通常取銳角銳角)的方向向量分別為的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s53特別有特別有:21) 1(ll 21/)2(ll0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss54例例 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角解解: 直線直線直線直線二直線夾角二直線夾角 的余弦為的余弦為13411:1zyxl0202:2z

32、xyxl cos22從而從而4的方向向量為的方向向量為1l的方向向量為的方向向量為2l) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 55當直線與平面垂直時當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角規(guī)定其夾角線所夾銳角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角稱為直線與平面間的夾角;l (5) 空間直線與平面的夾角空間直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時當直線與平面不垂直時,設(shè)直線設(shè)直線 l 的方向向量為的方向向量為 平面平面 的法向量為的法向量為則直線與平面夾角則直線與平面夾角 滿足滿足.2222222cbapnmpcnbma直線和

33、它在平面上的投影直直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn56特別有特別有:l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: 取已知平面的法向量取已知平面的法向量124xyz則直線的對稱式方程為則直線的對稱式方程為2340 xyz直的直線方程直的直線方程. 為所求直線的方向向量為所求直線的方向向量. 231 垂垂 (2, 3,1)n n例例 求過點求過點(1, 2 , 4) 且與平面且與平面57特別有特別有:l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx則直線的對

34、稱式方程為則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程直的直線方程. 為所求直線的方向向量為所求直線的方向向量. 132垂垂 ) 1,3,2(nn例例 求過點求過點(1,2 , 4) 且與平面且與平面58解解: 直線直線 l 的方向向量是：的方向向量是：222222|2 155 ( 9)3 5|sin25315( 9)5 則直線與平面的夾角正弦是則直線與平面的夾角正弦是159562xyz的位置關(guān)系的位置關(guān)系. 平面平面 s 的法向量：的法向量：和平面和平面 s ： (15,9, 5)n 例例 討論直線討論直線 l :216253xyz(2, 5, 3)l 0 于是夾角為于是夾角為 0。所以直

35、線與平面平行或直線在平面內(nèi)。所以直線與平面平行或直線在平面內(nèi)易證易證( 0, 2, 16 ) 在直線上，也在平面上，所以直線在在直線上，也在平面上，所以直線在平面內(nèi)。平面內(nèi)。594.2.3 二次曲面二次曲面2、橢球面、橢球面1、橢圓錐面、橢圓錐面3、雙曲拋物面、雙曲拋物面4、橢圓拋物面、橢圓拋物面5、單葉雙曲面、單葉雙曲面6、雙葉雙曲面、雙葉雙曲面60二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程0 321321232221 dzcycxcyzbxzbxybzayaxa所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為二次曲面二次曲面，其其中中iiba ,不不全全為為零零。 二次曲面方程經(jīng)過配方和適當選取空間直角坐二次曲面方程經(jīng)過配方和適當選取空間直角坐標系后，可以化成如下幾種標準形式標系后，可以化成如下幾種標準形式. 611. 橢圓錐面橢圓錐面22222( ,)xyza bab為為正正數(shù)數(shù)zt 在在平平面面上上的的截截痕痕為為橢圓橢圓在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕為過原點的兩直線上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)橢圓錐面也可由