1、1泰勒泰勒)(taylor公式公式 設)(xf在點x 的某一鄰域內具有直到) 1( n階的導數，則在該鄰域內有2)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(! )()(xrxxnxfnnn其中1) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr（xx 與介于之間） 。復復 習習2 2. .麥麥克克勞勞林林( (maclaurin) )公公式式 在上式中令0 x，得： 2! 2)0()0()0()(xfxffxf )(! )0()(xrxnfnnn， 1) 1(! ) 1()()(nnnxnfxr（x與介于0之間） 。6 63 35 5 函數展開為冪級數函數展開為冪級數一、泰勒一

2、、泰勒)(taylor級數級數 前面討論了冪級數的收斂域及其和函數的性質，下面討論相反的問題，即給定函數)(xf，是否能找到這樣一個冪級數，它在某區間內收斂，且其和恰好就是給定函數，若能找到這樣的冪級數，則稱函數)(xf在該區間內能展開成冪級數。定義定義 設)(xf在點x的某鄰域內具有任意階導數，則稱冪級數nnnxxnxf)(! )()(0為)(xf在點x處的泰勒級數泰勒級數，記為)(xfnnnxxnxf)(! )()(0。)(xf在點0 x處的泰勒級數，稱為)(xf的麥克勞林級數麥克勞林級數記為)(xfnnnxnf! )0()(0。 當函數)x(f在ox的某鄰域內具有任意階導數時，其在ox處

3、的泰勒級數是否收斂？若收斂，是否一定以)x(f為和函數？對此，有如下定理：定定理理 設)(xf在x的某鄰域)(xn內具有任意階導數， 則)(xf在該鄰域內能展開成泰勒級數的充分必要 條件是)(xf在x處的泰勒公式的余項)(xrn滿足 0)(limxrnn，)(xnx。證明:設)(xf在x處的某鄰域)(xn內能展開成泰勒級數，即 0)()(!)()(nnnxxnxfxf， )(xnx nnnxxnxfxxxfxfxs)(! )()()()()(1。 則)()()(1xrxsxfnn。)(xf在x處的泰勒公式為)()(!)()()()()(xrxxnxfxxxfxfxfnnn )(xnx)(xf在

4、x處的泰勒級數在)(xnx內收斂于)(xf )()(lim1xfxsnn 0)()(lim)(lim1xsxfxrnnnn.定理成立。 )(xfnnnxxnxf)(!)(0，)(xnx稱為)(xf在x處的泰泰勒勒展展開開式式。 當0 x時，得)(xf的麥克勞林展開式麥克勞林展開式： nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2，)0(nx。二、二、函數展開為冪級數函數展開為冪級數1 1直接展開法直接展開法把)(xf展開成x的冪級數，其步驟如下：（1）求出)0()(nf， , 2 , 1 , 0n（2）寫出)(xf的maclaurin級數 nnxnfxfxff!)0(!2)

5、0()0()0()(2， 并求出其收斂半徑 r 和收斂域 b；（3）求出1) 1(! ) 1()()(nnnxnfxr（x與在0之間） ，bx；（4）若0)(limxrnn，則 nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2，bx。例 1將函數xexf)(展開成的x冪級數。解： （1）xnexfxfxfxf )()()()()( ， 1)0()0()0()0(0)( effffn， （2）xe的maclaurin級數為 ! 3! 2132nxxxxn, ) ,(x.（3）1)!1()(nnxnexr， （在 0 與x之間） 。)!1()!1()(11nxexnexrnxnn，

6、xe相對于 n 是一個常數，又級數11)!1(nnnx收斂，0)!1(lim1nxnn， 0)(limxrnn，從而0)(limxrnn，) ,(x.（4） ! 3! 2132nxxxxenx ，) ,(x.解： （1）), 2, 1( , )2sin()()(nnxxfn，,0)0(, 1)0(,0)0( fff,0)0(, 1)0()4( ff （2）xsin的maclaurin級數為! ) 12() 1(! 7! 5! 3121753nxxxxxnn ，) ,(x.例 2.將函數xxfsin)(展開成的 x冪級數。（4）! ) 12() 1(!7! 5! 3sin121753nxxxxx

7、xnn) ,(x.（3）122)!12(2) 12(sin)(nnxnnxr（在 0 與x之間） 。 )!12()(122nxxrnn， 而級數112)!12(nnnx收斂，0)!12(lim12nxnn，0)(lim2xrnn，從而0)(lim2xrnn，) ,(x.2 2間接展開法間接展開法 利用已知函數的冪級數展開式，經過適當的運算（如四則運算、變量代換，逐項求導、逐項積分等） ，求出所給函數的冪級數展開式的方法稱為間接展開法。 解：! ) 12() 1(! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxnn， ) ,(x.例 3將函數xxfcos)(展開成冪級數 逐項求導得： ! )2(

8、) 1(! 6! 4! 21cos2642nxxxxxnn， ) ,(x.解：xxf11)(，而x11=nnxxxx) 1(132，) 11(x. 上述展開式對1x也成立，這是因為上式右端的冪級數當1x時收斂，而)1ln(x在1x處有定義且連續。當1x時，有11) 1(41312112lnnn 。1) 1(432)1ln(1432nxxxxxxnn ) 11(x.例 4將函數)1ln()(xxf展開成的 x冪級數。將上式從x 0到逐項積分，得例 5.將函數xxfarctan)(展開成x的冪級數。 解：211)(arctanxx221642) 1(1nnxxxx， ) 1 , 1(x.dttxx

9、 0 2110arctanarctan12) 1(753121753nxxxxxnn， 1 , 1x.12) 1(753arctan121753nxxxxxxnn， 1 , 1x.例 6將函數222)(xxxxf展開成 x 的冪級數。解：)21 (21)1 (131.)2)(1 (2)(2222xxxxxxxxxxf， 011nnxx， ) 11(x，002) 1()2(211nnnnnnxxx，)22(x，2) 1(213)(002nnnnnnxxxxf20121) 1(1 31nnnnx，) 11(x。例 7將xxfln)(展開成2x的冪級數。解：)221ln(2ln)221 (2ln)2

10、2ln(lnxxxx 11) 1()1ln(nnnnxx， （11x） 112)2() 1(2lnlnnnnnnxx，（1221x） 即（40 x） 。例 8將函數xxf2sin)(展開成 x 的冪級數。 解法解法 1：xxxxf2cos2121)2cos1 (21sin)(2， ! )2() 1(cos20nxxnnn ，) ,(x. 022! )2(2) 1(2121)(nnnnnxxf nnnnxn21121 ! )2(2) 1(，) ,(x。解解法法 2：xxxf2sin)(sin)(2112121! ) 12(2) 1(nnnnnx，) ,(x。 12121! )2(2) 1()(n

11、nnnnxxf，) ,(x。問：如何將) 1, 0()(aaaxfx展開成x的冪級數？四四、幾幾個個常常用用函函數數的的冪冪級級數數展展開開式式! 3! 2132nxxxxenx ， ) ,(x；! ) 12() 1(! 3sin1213nxxxxnn ， ) ,(x； ! )2() 1(! 21cos22nxxxnn ， ) ,(x；nxxxxnn 12) 1(2)1ln(， x（1，1 2) 1(! 211)1 (xmmmxxm nxnmmmmn) 1()2)(1(!1 ，x（1，1） 此式稱為二項式展開式二項式展開式，右端的級數稱為二項式級數二項式級數。其端點的斂散性與m有關。 例如當0

12、m時，收斂區間為1，1， 當01m時，收斂區間為（1，1。特殊情況：特殊情況： 當21m時，4328642531642314212111xxxxx) 11(x 當21m時，43286427531642531423121111xxxxx) 11( !)!2(!)!12() 1(11xxnnnnn解：211)(arcsin)(xxxf，而2x118642864275316425314231211xxxx) 11(xxxfarcsin)(9753986427531764253154231321xxxxx例 9將函數xxfarcsin)(展開成的 x冪級數。) 11( ) 12( !)!2(!)!12

13、() 1(1121xxnnnxnnn例 10將函數)1ln()(2xxxf展開成 x 的冪級數。解：2211 )1ln()(xxxxf， 而nnxnnxxx242212!)!2(!)!12() 1(4221211)1 () 11( !)!2(!)!12() 1(112xxnnnnn，dxxnnxxxxfnxnn1022!)!2(!)!12() 1()1ln()(112) 12( !)!2(!)!12() 1(nnnxnnnx，) 11(x。例 11將)321ln()(2xxxf展開成x的冪級數。解：)31ln()1ln()31)(1ln()(xxxxxf， 11) 1()1ln(nnnnxx， （ 11x） 。1113)3() 1()31ln(nnnnnnxnnxx， （ 3131x） 。11123) 1()321ln()(nnnnnnxnnxxxxf nnnnxn11 3) 1(， （ 3131x） 。問：如何將)1ln()(2xxxf展開成x的冪級數？例 12將函數xxfsin)(展開成)4(x的冪級數。解：)4(4sinsinxx