1、實(shí)例實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的問題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行一、問題的提出一、問題的提出 討論函

2、數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)p沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 方方 向?qū)?shù)的定義向?qū)?shù)的定義x引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(,puplyyxxplx 上的另一點(diǎn)且上的另一點(diǎn)且為為并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè) oylp xyp |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考慮考慮是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf

3、 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)p沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.22(,)( , )()()f xx yyf x yppxyplppl 定定義義函函數(shù)數(shù)的的增增量量與與兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離之之比比值值，當(dāng)當(dāng)沿沿著著 趨趨于于時(shí)時(shí)，如如果果此此比比值值的的極極限限存存在在，則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)記為記為證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)

4、(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求函數(shù)求函數(shù)yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 1(p處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))0 , 1(p 到點(diǎn)到點(diǎn))1, 2( q的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). 解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù))4sin(2)4cos( lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 pq,例例 2 2

5、 求函數(shù)求函數(shù)22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn)（1，1）沿與沿與x軸方向夾角為軸方向夾角為 的方向射線的方向射線l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并并問在怎樣的方向上此方向?qū)栐谠鯓拥姆较蛏洗朔较驅(qū)?數(shù)有數(shù)有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當(dāng)）當(dāng)4 時(shí)，時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值2;（2）當(dāng)當(dāng)45 時(shí)時(shí)，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達(dá)

6、達(dá)到到最最小小值值2 ;（3）當(dāng)）當(dāng)43 和和47 時(shí)，時(shí)，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxp沿著方向沿著方向 l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）.coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 l 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z例例 3 3 設(shè)設(shè)n是曲面是曲面632222 zyx 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 1 , 1(p處的指向外

7、側(cè)的法向量，求函數(shù)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)2122)86(1yxzu 在此處沿方向在此處沿方向n的方向的方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù).解解令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 ppzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具

8、有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)dyxp ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問題問題p sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradf時(shí)，時(shí)，lf 有有最最大大值值.設(shè)設(shè)jie si

9、ncos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論結(jié)論當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時(shí)時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為xfyf tangradfgradf p),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線

10、在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量p等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向?qū)?shù)向?qū)?shù)的方的方于函數(shù)在這個(gè)法線方向于函數(shù)在這個(gè)法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個(gè)方向相同，且線的一個(gè)方向相同，且在這點(diǎn)的法在這點(diǎn)的法高線高線的等的等的梯度的方向與點(diǎn)的梯度的方向與點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)cyxfp

11、yxpyxfz ),(),(),( 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)gzyxp ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量

12、面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxp的梯度的方向與的梯度的方向與過點(diǎn)過點(diǎn) p的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu