1、第二節(jié)第二節(jié) 兩向量的數(shù)量積與向量積兩向量的數(shù)量積與向量積 一一物物體體在在常常力力f作作用用下下沿沿直直線線從從點(diǎn)點(diǎn)1m移移動動到到點(diǎn)點(diǎn)2m，以以s表表示示位位移移，則則力力f所所作作的的功功為為 cos|sfw (其中其中 為為f與與s的夾角的夾角)啟示啟示向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個數(shù)量結(jié)果是一個數(shù)量.1、定義、定義一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;a

2、bba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba 關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba .|)1(2aaa , 0 .|cos|2aaaaa 證證10i ij jk ki jj kk i (3),cos|)4(baba,|cosbaba,321kajaiaakbjbibb321設(shè)設(shè) ba)(321kajaia)(321kbjbib,kji , 0 ikkjji, 1| kji332211babababa2、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 1 kkjjii數(shù)量積

3、的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式232221232221332211cosbbbaaabababa兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為0332211bababa解解ba )1(2)4()2(111 . 9 232221232221332211cos)2(bbbaaabababa,21 .43 322aijk493bijk例例2 證明向量和向量互相垂直。) 1, 1 , 1 (cbcab 與例例3 已知三點(diǎn)a（2,1，2），b（1，2，2）,求向量的數(shù)量積。向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac

4、 (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積1、向量積的概念、向量積的概念關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa 0,i ijjkkijkjki kij 對于基本單位向量，有kbjbibbkajaiaa321321,設(shè)設(shè) ba)(321kajaia)(321kbjbibk

5、babajbabaibaba)()()(122131132332向量積的坐標(biāo)表達(dá)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式式2、向量積的坐標(biāo)表示、向量積的坐標(biāo)表示向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示321321bbbaaakjibaba/332211bababa規(guī)定分母為零時，分子也為零。規(guī)定分母為零時，分子也為零。 例例3 設(shè)， ,求。1, 2,0a 2,1, 3b ab) 1, 3 , 2(),1 , 4 , 0(),3 , 2, 1 (cba例例4 已知三角形的頂點(diǎn)求三角形的面積。解解321321bbbaaakjibac211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kjabc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面積為的面積為|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd向量的